wordpress炫酷博客,网站优化 ppt,wordpress 关掉缓存,夫妻找做伙食饭工作哪个网站好目录 1. 分布:PDF与PMFPDFPMF 2. 将概率密度函数应用于我们的问题用积分量化连续分布积分度量变化率#xff1a;导数 3. R语言实践4. 小结 1. 分布:PDF与PMF
PDF
PDF定义在连续值上。在连续型随机变量的情况下#xff0c;具体取某个数值的概率是0#xff0c;因此PDF并不直… 目录 1. 分布:PDF与PMFPDFPMF 2. 将概率密度函数应用于我们的问题用积分量化连续分布积分度量变化率导数 3. R语言实践4. 小结 1. 分布:PDF与PMF
PDF
PDF定义在连续值上。在连续型随机变量的情况下具体取某个数值的概率是0因此PDF并不直接给出某个点的概率而是给出了在某个区间内随机变量出现的概率密度。在数学上PDF就是定义在连续值上的概率密度函数。
概率密度函数probability density functionPDF β \beta β 分布 B e t a ( p ; a , b ) p a − 1 ⋅ ( 1 − p ) b − 1 B ( a , b ) Beta(p;a,b) \frac{p^{a-1} \cdot (1-p)^{b-1}}{B(a, b)} Beta(p;a,b)B(a,b)pa−1⋅(1−p)b−1 其中 0 ≤ x ≤ 1 0\leq x \leq 1 0≤x≤1, a b 0 a \gt b \gt 0 ab0。
p: 事件概率。黑盒子吐出两枚硬币可能概率的不同假设。 a:观察到的时间次数。黑盒子吐出两枚硬币。 b:事件不发生的次数。黑盒子吞掉硬币的次数。 实验总次数ab。
PMF
PMF实验总次数是n, k是感兴趣的发生次数。 注意分子不一样。 f ( k ∣ n , p ) ( n k ) p k ( 1 − p ) n − k f(k|n,p) \binom{n}{k} p^k (1-p)^{n-k} f(k∣n,p)(kn)pk(1−p)n−k PMF分子是 p k ( 1 − p ) n − k p^k (1-p)^{n-k} pk(1−p)n−k PDF分子是 p a − 1 ⋅ ( 1 − p ) b − 1 p^{a-1} \cdot (1-p)^{b-1} pa−1⋅(1−p)b−1指数项需要分别减1。我们从指数项中减去1并使用beta函数归一化所得的值——这可以确保分布之和为1。 我们最后得到了这样一个函数它描述的是每个可能假设的概率这些假设是我们相信从盒子里得到两枚硬币的概率前提是给定我们已经观察到一种结果出现a次、另一种结果出现b次。 β \beta β 分布代表了所有可能的二项分布对观察结果的最高描述程度。
2. 将概率密度函数应用于我们的问题
a14; b27
import numpy as np
import matplotlib.pyplot as plt
from scipy.stats import beta# 定义参数
a 14
b 27# 生成 x 值的范围
x np.linspace(0, 1, 1000)# 计算 Beta 分布的概率密度函数PDF
pdf beta.pdf(x, a, b)# 绘制图形
plt.plot(x, pdf, r-, lw2, labelPDF of Beta Distribution)
plt.title(Probability Density Function (PDF) of Beta Distribution (a14, b27))
plt.xlabel(x)
plt.ylabel(Probability Density)
plt.legend()
plt.grid(True)
plt.show()
通过这个黑盒子赔钱的概率要比赢钱的概率大。虽然通过图5-3可以看出信念的分布但我们还是希望能够准确地量化自己相信“黑盒子返回两枚硬币的概率小于0.5”的程度。要做到这一点我们只需要懂一点微积分和R语言。
用积分量化连续分布
计算曲线下面积积分 作者之前是不熟悉积分的所以我们会从最基本的概念开始理解。依旧a14; b27 我们想知道吐出两枚硬币的可能性是 1 2 \frac {1}{2} 21 的概率是多少 我们知道概率的基本规则是所有概率的和必然等于1。但在连续分布里每个单独的值都无穷小这就意味着任何特定值的概率实际上都是0。 二项分布想象一下你把一块1千克重的巧克力相当大平均分成了两份那么每份就有 1 2 \frac {1}{2} 21 千克重。 连续分布如果你把它平均分成了10份那么每份将重 1 10 \frac {1}{10} 101千克。随着你将巧克力分成的份数越来越多每一份就会变得越来越小小到你甚至看不见它。当分成的份数无穷大时每一份就会小得看不见就好像消失了
即使单独的每一份都消失了我们仍然可以讨论一定范围内的情况。例如即使将一块1千克重的巧克力分成了无限多块我们仍然可以将其中一半块数的重量加起来。同样当讨论连续分布中的概率时我们也可以将某个范围内的值相加。但如果每个具体的值都接近于0那么它们的和是不是仍然等于0呢
积分
这就是微积分要解决的问题。在微积分中有一种求无穷小值和的特殊方法叫作积分integral。如果想知道黑盒子返回硬币的概率是否小于0.5也就是值在0和0.5之间那么我们可以这样求和 ∫ 0 0.5 f ( x ) d x \int_{0}^{0.5} f(x) \, dx ∫00.5f(x)dx
这里的∫只是一个拉伸后的S意思是f(x)中所有矩形的面积之和。dx符号则提醒我们所谈论的是变量x很小的变化d是表示这些矩形的一种数学方法。当然在这个符号中只有一个变量x所以我们不会混淆。而且在本书中通常会删除dx或变量中所使用的相应值因为即使在示例中不写我们也可以明白。 d i s t ( T ) ∫ 0 T f ( t ) d t dist(T) \int_{0}^{T} f(t) \, dt dist(T)∫0Tf(t)dt 积分可以帮助我们把“某一时间的速度”转化为函数即“某一段时间的跑步距离”。
度量变化率导数
这里使用了类似于前面解释积分的方法积分时把曲线下的区域分成越来越细的矩形直到包含无数个细矩形然后将它们的面积相加只不过这里是把曲线分成无数个小线段。最终我们得到了一个新的函数而不是单一的斜率m来表示原始函数中每个点的变化率。这被称为导数derivative). d d x F ( x ) f ( x ) \frac{d}{dx}F(x)f(x) dxdF(x)f(x) F为f的原函数。
现在假设对函数f我们想在10和50之间对其积分也就是要计算 ∫ 10 50 f ( x ) d x F ( 50 ) − F ( 10 ) \int_{10}^{50} f(x) \, dxF(50)-F(10) ∫1050f(x)dxF(50)−F(10)
积分和导数之间的关系被称为微积分基本定理fundamental theorem of calculus。这是一个相当神奇的工具因为它允许用数学方法来解决积分问题这往往要比求导数困难得多。
3. R语言实践
R语言中有一个名为dbeta()的函数它就是beta分布的PDF。将它和integrate()函数一起使用就可以自动计算积分。
计算0-0.5之间的概率密度 integrate(function(p) dbeta(p,14,27),0,0.5)结果 0.9807613 with absolute error 5.9e-06 之所以出现绝对误差absolute error是因为计算机不能完美地计算积分而总会有一些误差。不过通常情况下误差很小我们不用担心。R语言计算出的这个结果告诉我们根据目前观察到的数据从黑盒子中得到两枚硬币的真实概率小于0.5的概率高达0.98。这意味着往黑盒子里放更多的硬币不是好主意因为你很有可能会输钱。
我们可以用收集到的数据去计算抽牌/抽奖时是否应该去碰运气。
4. 小结
在本章中我们学习了Beta分布它与二项分布密切相关其起作用的方式却大不相同。我们通过观察大量可能的二项分布对数据的解释程度建立了Beta分布。由于假设的数量无穷多因此我们需要一个连续的概率分布来描述所有的假设。Beta分布让我们能够表示自己对所有可能结果的出现概率有多大信心。这使得我们能够对观察到的数据进行统计推理其方式是通过确定将哪些概率分配给一个事件以及确定自己相信每个概率的程度这就是表示概率范围的概率。
Beta分布与二项分布的主要区别在于Beta分布是一个连续的概率分布。由于在分布中有无限多的值因此我们不能像在离散概率分布中那样对结果进行求和而是需要使用微积分对一定范围内的数值进行求和。幸运的是我们可以使用R语言代替手动求解复杂的积分。
