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图的同态#xff08;Graph Homomorphism#xff09;是图论中的一个重要概念#xff0c;用于描述图之间的一种映射关系。图的同态描述了一个图如何通过映射保留其边的结构。
### 图的同态定义
设有两个图 \( G (V_G, E_G) \) 和 \( H (V_H, …图的同态Graph Homomorphism
图的同态Graph Homomorphism是图论中的一个重要概念用于描述图之间的一种映射关系。图的同态描述了一个图如何通过映射保留其边的结构。
### 图的同态定义
设有两个图 \( G (V_G, E_G) \) 和 \( H (V_H, E_H) \)。一个从图 \( G \) 到图 \( H \) 的映射 \( f: V_G \to V_H \) 被称为图的同态如果对于 \( G \) 中的每一条边 \( (u, v) \in E_G \)在 \( H \) 中对应的边 \( (f(u), f(v)) \) 也在 \( E_H \) 中即 \[ \forall (u, v) \in E_G, (f(u), f(v)) \in E_H \]
这个定义意味着图的同态映射保留了边的存在性但不要求完全保留顶点间的连接关系。
### 例子
#### 例子 1简单图的同态
**图 \( G \)完全图 \( K_3 \)** - 顶点集合 \( V_G \{a, b, c\} \) - 边集合 \( E_G \{(a, b), (b, c), (c, a)\} \)
**图 \( H \)具有两个顶点和一条边的图** - 顶点集合 \( V_H \{x, y\} \) - 边集合 \( E_H \{(x, y)\} \)
**映射 \( f \)** - \( f(a) x \) - \( f(b) x \) - \( f(c) y \)
**验证同态** - 对于 \( G \) 中的每一条边 - 边 \( (a, b) \) 映射到 \( (x, x) \)但 \( E_H \) 中只有边 \( (x, y) \)因此这条边的映射不是有效的。 - 边 \( (b, c) \) 映射到 \( (x, y) \)这是有效的。 - 边 \( (c, a) \) 映射到 \( (y, x) \)这也是有效的。
在这个例子中映射 \( f \) 并没有完全保留边的结构因为 \( (a, b) \) 在 \( H \) 中并没有对应的边。因而\( f \) 并不是一个有效的同态。
#### 例子 2完整图的同态
**图 \( G \)有三个顶点和两条边的图** - 顶点集合 \( V_G \{1, 2, 3\} \) - 边集合 \( E_G \{(1, 2), (2, 3)\} \)
**图 \( H \)有四个顶点和两条边的图** - 顶点集合 \( V_H \{a, b, c, d\} \) - 边集合 \( E_H \{(a, b), (b, c)\} \)
**映射 \( f \)** - \( f(1) a \) - \( f(2) b \) - \( f(3) c \)
**验证同态** - 对于 \( G \) 中的每一条边 - 边 \( (1, 2) \) 映射到 \( (a, b) \)这在 \( H \) 中是存在的。 - 边 \( (2, 3) \) 映射到 \( (b, c) \)这在 \( H \) 中也是存在的。
在这个例子中映射 \( f \) 是一个有效的同态因为每条边在 \( G \) 中都有相应的边在 \( H \) 中与之对应。
### 总结
- 图的同态保留了边的存在性但不要求顶点间的连接关系完全一致。 - 同态映射可以用来研究图的结构特性和图的简化问题。 - 在第一个例子中映射并不是有效的同态因为并不是所有边都可以映射到目标图中而在第二个例子中映射是有效的同态因为所有边在目标图中都有对应的边。
同构Graph Isomorphism
图的同构Graph Isomorphism是图论中的一个核心概念用于描述两个图在结构上的完全等价关系。两个图 \( G \) 和 \( H \) 被称为同构的如果存在一个顶点的双射双向一一映射 \( f: V_G \to V_H \)使得对于 \( G \) 中的每一条边 \( (u, v) \in E_G \)在 \( H \) 中有一条边 \( (f(u), f(v)) \in E_H \)且这种映射保留了图的边的连接关系。即 \[ \forall (u, v) \in E_G, (f(u), f(v)) \in E_H \]
### 例子
#### 例子 1三角形图的同构
**图 \( G \)完全图 \( K_3 \)** - 顶点集合 \( V_G \{a, b, c\} \) - 边集合 \( E_G \{(a, b), (b, c), (c, a)\} \)
**图 \( H \)另外一个完全图 \( K_3 \)** - 顶点集合 \( V_H \{x, y, z\} \) - 边集合 \( E_H \{(x, y), (y, z), (z, x)\} \)
**同构映射 \( f \)** - \( f(a) x \) - \( f(b) y \) - \( f(c) z \)
**验证同构** - 对于 \( G \) 中的每一条边 - 边 \( (a, b) \) 映射到 \( (x, y) \)这在 \( H \) 中存在。 - 边 \( (b, c) \) 映射到 \( (y, z) \)这在 \( H \) 中存在。 - 边 \( (c, a) \) 映射到 \( (z, x) \)这在 \( H \) 中存在。
在这个例子中映射 \( f \) 是一个有效的同构映射因为它保留了边的结构说明图 \( G \) 和图 \( H \) 是同构的。
#### 例子 2具有不同标签的同构图
**图 \( G \)两个三角形共享一个公共边** - 顶点集合 \( V_G \{a, b, c, d, e\} \) - 边集合 \( E_G \{(a, b), (b, c), (c, a), (b, d), (d, e), (e, b)\} \)
**图 \( H \)另一个具有相同结构的图** - 顶点集合 \( V_H \{1, 2, 3, 4, 5\} \) - 边集合 \( E_H \{(1, 2), (2, 3), (3, 1), (2, 4), (4, 5), (5, 2)\} \)
**同构映射 \( f \)** - \( f(a) 1 \) - \( f(b) 2 \) - \( f(c) 3 \) - \( f(d) 4 \) - \( f(e) 5 \)
**验证同构** - 对于 \( G \) 中的每一条边 - 边 \( (a, b) \) 映射到 \( (1, 2) \)这在 \( H \) 中存在。 - 边 \( (b, c) \) 映射到 \( (2, 3) \)这在 \( H \) 中存在。 - 边 \( (c, a) \) 映射到 \( (3, 1) \)这在 \( H \) 中存在。 - 边 \( (b, d) \) 映射到 \( (2, 4) \)这在 \( H \) 中存在。 - 边 \( (d, e) \) 映射到 \( (4, 5) \)这在 \( H \) 中存在。 - 边 \( (e, b) \) 映射到 \( (5, 2) \)这在 \( H \) 中存在。
在这个例子中映射 \( f \) 是一个有效的同构映射因为它保留了边的结构说明图 \( G \) 和图 \( H \) 是同构的。
### 总结
- **图的同构** 需要存在一个顶点的双射使得图的每条边在两个图中都有对应的边并且这种映射完全保留了图的结构。 - **例子 1** 展示了两个完全图 \( K_3 \) 的同构它们的结构完全相同但顶点标签不同。 - **例子 2** 展示了两个具有不同标签但结构相同的图它们之间的映射也是同构的。
通过这些例子可以看到图的同构不仅考虑了图的结构而且还允许不同的顶点标签只要边的连接关系被保留。
