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向量外积是构造秩1矩阵的基本工具#xff0c;其本质是用两组向量的线性组合刻画矩阵的行和列相关性#xff1b;任意秩1矩阵必可表示为外积#xff0c;而低秩矩阵#xff08;秩 k k k#xff09;可分解为 k k k 个外积矩阵的和#x…向量外积与秩1矩阵的关系
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向量外积是构造秩1矩阵的基本工具其本质是用两组向量的线性组合刻画矩阵的行和列相关性任意秩1矩阵必可表示为外积而低秩矩阵秩 k k k可分解为 k k k 个外积矩阵的和这正是低秩分解通过“基向量组合”压缩矩阵信息的核心原理。从代数角度秩1矩阵必为两个向量的外积 u v T \boldsymbol{u}\boldsymbol{v}^T uvT其结构由两个向量唯一确定从几何角度秩1矩阵对应“将任意向量投影到 u \boldsymbol{u} u方向的线性变换”其变换效果仅由 u \boldsymbol{u} u像空间方向和 v \boldsymbol{v} v投影系数决定。这种分解是低秩分解的基础例如矩阵的奇异值分解SVD中秩1矩阵是构成任意矩阵的“原子单元”。
一、向量外积的定义与几何意义
1. 向量外积的定义 设两个列向量 u ∈ R m \mathbf{u} \in \mathbb{R}^m u∈Rm 和 v ∈ R n \mathbf{v} \in \mathbb{R}^n v∈Rn其外积Outer Product定义为矩阵乘法 u v T ( u 1 u 2 ⋮ u m ) ( v 1 v 2 ⋯ v n ) ( u 1 v 1 u 1 v 2 ⋯ u 1 v n u 2 v 1 u 2 v 2 ⋯ u 2 v n ⋮ ⋮ ⋱ ⋮ u m v 1 u m v 2 ⋯ u m v n ) \mathbf{u} \mathbf{v}^T \begin{pmatrix} u_1 \\ u_2 \\ \vdots \\ u_m \end{pmatrix} \begin{pmatrix} v_1 v_2 \cdots v_n \end{pmatrix} \begin{pmatrix} u_1v_1 u_1v_2 \cdots u_1v_n \\ u_2v_1 u_2v_2 \cdots u_2v_n \\ \vdots \vdots \ddots \vdots \\ u_mv_1 u_mv_2 \cdots u_mv_n \end{pmatrix} uvT u1u2⋮um (v1v2⋯vn) u1v1u2v1⋮umv1u1v2u2v2⋮umv2⋯⋯⋱⋯u1vnu2vn⋮umvn
外积的结果是一个 m × n m \times n m×n 的矩阵其每个元素为 u \mathbf{u} u 和 v \mathbf{v} v 对应元素的乘积。对比内积点积 u ⋅ v u T v ∑ i 1 m u i v i \mathbf{u} \cdot \mathbf{v} \mathbf{u}^T\mathbf{v} \sum_{i1}^m u_i v_i u⋅vuTv∑i1muivi结果是一个标量而外积结果是矩阵。
2. 外积矩阵的关键性质 以二维向量为例设 u ( a b ) \mathbf{u} \begin{pmatrix} a \\ b \end{pmatrix} u(ab) v ( c d ) \mathbf{v} \begin{pmatrix} c \\ d \end{pmatrix} v(cd)则外积为 u v T ( a b ) ( c d ) ( a c a d b c b d ) \mathbf{u}\mathbf{v}^T \begin{pmatrix} a \\ b \end{pmatrix} \begin{pmatrix} c d \end{pmatrix} \begin{pmatrix} ac ad \\ bc bd \end{pmatrix} uvT(ab)(cd)(acbcadbd)
观察矩阵结构每一行都是 v T \mathbf{v}^T vT 的倍数第一行是 a v T a\mathbf{v}^T avT第二行是 b v T b\mathbf{v}^T bvT即行向量线性相关每一列都是 u \mathbf{u} u 的倍数第一列是 c u c\mathbf{u} cu第二列是 d u d\mathbf{u} du即列向量线性相关。
二、秩1矩阵的定义与性质
1. 矩阵秩的定义 矩阵的秩是其线性无关的行向量或列向量的最大数量。若一个 m × n m \times n m×n 矩阵 A \mathbf{A} A 的秩为 1则
所有行向量都是某一非零行向量的标量倍数所有列向量都是某一非零列向量的标量倍数。
2. 秩1矩阵的核心特征 设 A \mathbf{A} A 是秩1的 m × n m \times n m×n 矩阵则存在非零向量 u ∈ R m \mathbf{u} \in \mathbb{R}^m u∈Rm 和 v ∈ R n \mathbf{v} \in \mathbb{R}^n v∈Rn使得 A u v T \mathbf{A} \mathbf{u}\mathbf{v}^T AuvT。
三、原理证明任意秩1矩阵可表示为外积
步骤1利用秩1矩阵的行向量线性相关 设 A \mathbf{A} A 的秩为 1且其第一行 r 1 ≠ 0 \mathbf{r}_1 \neq \mathbf{0} r10则其他行 r i \mathbf{r}_i ri 可表示为 r i k i r 1 \mathbf{r}_i k_i \mathbf{r}_1 rikir1 k i k_i ki 为标量。 令 u ( 1 k 2 ⋮ k m ) \mathbf{u} \begin{pmatrix} 1 \\ k_2 \\ \vdots \\ k_m \end{pmatrix} u 1k2⋮km v T r 1 \mathbf{v}^T \mathbf{r}_1 vTr1则 u v T ( 1 k 2 ⋮ k m ) r 1 ( r 1 k 2 r 1 ⋮ k m r 1 ) ( r 1 r 2 ⋮ r m ) A \mathbf{u}\mathbf{v}^T \begin{pmatrix} 1 \\ k_2 \\ \vdots \\ k_m \end{pmatrix} \mathbf{r}_1 \begin{pmatrix} \mathbf{r}_1 \\ k_2\mathbf{r}_1 \\ \vdots \\ k_m\mathbf{r}_1 \end{pmatrix} \begin{pmatrix} \mathbf{r}_1 \\ \mathbf{r}_2 \\ \vdots \\ \mathbf{r}_m \end{pmatrix} \mathbf{A} uvT 1k2⋮km r1 r1k2r1⋮kmr1 r1r2⋮rm A
步骤2示例验证 设秩1矩阵 A ( 2 4 6 − 1 − 2 − 3 3 6 9 ) \mathbf{A} \begin{pmatrix} 2 4 6 \\ -1 -2 -3 \\ 3 6 9 \end{pmatrix} A 2−134−266−39 观察行向量
第二行是第一行的 − 1 2 -\frac{1}{2} −21 倍第三行是第一行的 3 2 \frac{3}{2} 23 倍。 取第一行作为 v T ( 2 4 6 ) \mathbf{v}^T \begin{pmatrix} 2 4 6 \end{pmatrix} vT(246)系数向量 u ( 1 − 1 2 3 2 ) \mathbf{u} \begin{pmatrix} 1 \\ -\frac{1}{2} \\ \frac{3}{2} \end{pmatrix} u 1−2123 则 u v T ( 1 − 1 2 3 2 ) ( 2 4 6 ) ( 2 4 6 − 1 − 2 − 3 3 6 9 ) A \mathbf{u}\mathbf{v}^T \begin{pmatrix} 1 \\ -\frac{1}{2} \\ \frac{3}{2} \end{pmatrix} \begin{pmatrix} 2 4 6 \end{pmatrix} \begin{pmatrix} 2 4 6 \\ -1 -2 -3 \\ 3 6 9 \end{pmatrix} \mathbf{A} uvT 1−2123 (246) 2−134−266−39 A
四、从外积到低秩分解的本质理解
1. 秩1矩阵的“基向量”意义 外积 u v T \mathbf{u}\mathbf{v}^T uvT 可理解为
列向量 u \mathbf{u} u 定义了矩阵的“方向”所有列都是 u \mathbf{u} u 的线性组合行向量 v T \mathbf{v}^T vT 定义了矩阵的“权重”所有行都是 v T \mathbf{v}^T vT 的线性组合。 因此秩1矩阵本质上是用两个向量的外积来“压缩”矩阵信息仅保留一组基向量的线性组合。
2. 低秩分解的推广以秩k矩阵为例 任意秩 k k k 的矩阵 A \mathbf{A} A 可分解为 k k k 个秩1矩阵的和 A ∑ i 1 k u i v i T \mathbf{A} \sum_{i1}^k \mathbf{u}_i\mathbf{v}_i^T Ai1∑kuiviT 其中 { u i } \{\mathbf{u}_i\} {ui} 和 { v i } \{\mathbf{v}_i\} {vi} 分别为列向量和行向量组。这等价于用 k k k 组外积矩阵的线性组合近似表示 A \mathbf{A} A而原始矩阵的秩为 k k k即其信息可由 k k k 组基向量刻画。
五、简单示例秩2矩阵的外积分解
设矩阵 B ( 1 2 3 2 4 6 1 3 5 ) \mathbf{B} \begin{pmatrix} 1 2 3 \\ 2 4 6 \\ 1 3 5 \end{pmatrix} B 121243365 先求其秩
前两行线性相关第二行是第一行的2倍第三行与前两行线性无关故 rank ( B ) 2 \text{rank}(\mathbf{B}) 2 rank(B)2。
分解步骤
取前两行构成秩1矩阵 B 1 ( 1 2 3 2 4 6 0 0 0 ) u 1 v 1 T \mathbf{B}_1 \begin{pmatrix} 1 2 3 \\ 2 4 6 \\ 0 0 0 \end{pmatrix} \mathbf{u}_1\mathbf{v}_1^T B1 120240360 u1v1T其中 u 1 ( 1 2 0 ) \mathbf{u}_1 \begin{pmatrix} 1 \\ 2 \\ 0 \end{pmatrix} u1 120 v 1 T ( 1 2 3 ) \mathbf{v}_1^T \begin{pmatrix} 1 2 3 \end{pmatrix} v1T(123)剩余部分为 B − B 1 ( 0 0 0 0 0 0 1 3 5 ) u 2 v 2 T \mathbf{B} - \mathbf{B}_1 \begin{pmatrix} 0 0 0 \\ 0 0 0 \\ 1 3 5 \end{pmatrix} \mathbf{u}_2\mathbf{v}_2^T B−B1 001003005 u2v2T其中 u 2 ( 0 0 1 ) \mathbf{u}_2 \begin{pmatrix} 0 \\ 0 \\ 1 \end{pmatrix} u2 001 v 2 T ( 1 3 5 ) \mathbf{v}_2^T \begin{pmatrix} 1 3 5 \end{pmatrix} v2T(135)最终分解 B u 1 v 1 T u 2 v 2 T \mathbf{B} \mathbf{u}_1\mathbf{v}_1^T \mathbf{u}_2\mathbf{v}_2^T Bu1v1Tu2v2T。
