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说起来比较复杂#xff0c;但是看一下案例就非常清楚了
任何一个大于 1 的正整数都可以唯一地分解成有限个质数的乘积形式#xff0c;且这些质数按照从小到大的顺序排列#xff0c;其指数也是唯一确定的。 例如#…
算术基本定理又称正整数的唯一分解定理。
说起来比较复杂但是看一下案例就非常清楚了
任何一个大于 1 的正整数都可以唯一地分解成有限个质数的乘积形式且这些质数按照从小到大的顺序排列其指数也是唯一确定的。 例如整数 60 可以分解为 2×2×3×5这里的 2、3、5 都是质数且这种分解方式是唯一的。 质数 如果一个数除了 1 和本身没有其他的因数就是质数。 合数 如果一个数除了 1 和本身还有其他的因数就是合数。 1 既不是质数也不是合数。 一点一点过度别着急先看一下质数怎么判断
#include iostream
using namespace std;int main()
{int n;cin n;// 初始化标志变量默认 n 是质数bool flag true; for (int i 2; i n; i){// 如果 n 能被 i 整除if (n % i 0) {// 将标志变量设为 false表示 n 不是质数flag false; // 跳出循环因为已经确定 n 不是质数了break; }}// 根据标志变量的值输出结果if (flag){cout n 是质数。 endl;}else{cout n 不是质数。 endl;}return 0;
}
初学者是不是都这么写可能还不屑注释一堆字母就完事了
这个写法没毛病但是执行效率可能不是很高因为所有的数都要从2到n来除一遍。来看看稍微升级一点的写法
#include iostream
#include cmath
#include limitsint main() {int n;// 进入一个无限循环直到输入有效为止while (true) {cout 请输入一个正整数;// 尝试读取输入到 n如果读取成功并且 n 大于 1if (cin n n 1) {// 跳出循环输入有效break;} else {// 清除输入流的错误状态标志cin.clear();// 忽略输入流中的剩余字符直到遇到换行符防止错误输入影响后续输入cin.ignore(std::numeric_limitsstd::streamsize::max(), \n);cout 输入无效请重新输入。 endl;}}bool isPrime true;// 从 2 开始循环到 n 的平方根优化后的质数判断范围for (int i 2; i sqrt(n); i) {// 如果 n 能被 i 整除if (n % i 0) {// 将标志变量设为 false表示 n 不是质数isPrime false;// 跳出循环因为已经确定 n 不是质数了break;}}// 根据标志变量的值输出结果if (isPrime) {cout n 是质数。 endl;} else {cout n 不是质数。 endl;}return 0;
} 很多人可能像我一样刚开始学的时候一样有个疑问。sqrt是干嘛的为啥这么写。
在这段代码中sqrt(n)表示对变量n取算术平方根。
sqrt是 C 标准库中cmath头文件里定义的一个函数它接受一个参数并返回该参数的算术平方根。在这个代码片段中通过遍历从 2 到sqrt(n)的整数来判断n是否为质数。这样做的目的是优化判断质数的过程。因为如果一个数n不是质数那么它一定存在一个小于等于sqrt(n)的因子除了 1 和n本身。例如如果n 100那么sqrt(100)10在判断 100 是否为质数时只需要检查从 2 到 10 的整数是否能整除 100 即可而不需要检查到 99大大减少了循环次数提高了程序的效率。 可以这么理解一个数如果能被开平方得到一个新的整数那么这个数一定不是质数。
因为能被开平方得到整数意味着该数存在一个相同的因数与其自身相乘得到这个数比如 9 能被开平方为 39 3×3有除了 1 和它本身之外的因数 3所以不是质数。
比如 41 不能被开平方得到一个整数41 是质数。
而质数只能被 1 和它自身整除不存在可以开平方得到但是还是质数的情况的情况。
大大减少了循环次数提高了程序的效率。 而算术基本定理又称正整数的唯一分解定理它不完全等同于单纯的分解质因数但可以通过分解质因数来体现。 算术基本定理指出任何一个大于 1 的正整数都可以唯一地分解成有限个质数的乘积形式且这些质数按照从小到大的顺序排列其指数也是唯一确定的。
举个例子整数 60 可以分解为这里的 2、3、5 都是质数且这种分解方式是唯一的。
而分解质因数只是实现算术基本定理的一种操作手段算术基本定理强调的是正整数分解为质数乘积的唯一性这一本质属性。
一般我们编程思想和我们数学中用到的短除法非常的类似。简单来说短除法就是不断地用最小的质因数除以它本身。
给你一个数你怎么快速分解出他的质因数。就用这个方法。
比如100的质因数是2*2*5*5那我们利用短除法来求一下。 我们用代码来拆解一下
#include iostream
using namespace std;int main()
{// 输入int n;cin n;// 输出提示信息cout n 的质因数分解为;// 分解质因数for (int i 2; i n; i){// 当 n 能被 i 整除时进入循环while (n % i 0){// 输出质因数 icout i ;// 将 n 更新为 n 除以 i 的结果n / i;}}cout endl;return 0;
} 步骤说明 首先从用户处获取一个整数n。 int n; cin n;定义变量n并读取用户输入的整数。输出提示信息让用户知道即将看到的是输入整数的质因数分解结果。 cout n 的质因数分解为;输出提示语句。从i 2开始尝试分解质因数因为 2 是最小的质数。 for (int i 2; i n; i)循环从 2 开始一直到等于n确保所有可能的质因数都被考虑到。当n能被i整除时进入循环不断输出i并更新n。 while (n % i 0)只要n能被i整除就一直循环。cout i ;输出找到的质因数i。n / i;将n更新为n除以i的结果以便继续寻找下一个质因数。 例如输入整数 120 首先读取输入的 120。输出提示信息 “120 的质因数分解为”。从i 2开始 120 能被 2 整除输出 2n变为 60。60 能被 2 整除再次输出 2n变为 30。30 能被 2 整除又输出 2n变为 15。i 3时15 能被 3 整除输出 3n变为 5。i 4不满足循环条件继续下一个数。i 5时5 能被 5 整除输出 5此时n变为 1循环结束。
最终输出结果为 “120 的质因数分解为2 2 2 3 5”。 好了有任何问题我们来评论区讨论一下吧
