女人能做网站开发吗,鲜花网站建设主要内容,wordpress自定义登陆页面跳转,友情链接交换统计表#xff08;七#xff09;CILQR约束条件下的ILQR求解
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CILQR(Constrained Iterative Linear Quadratic Regulator) 是为了在 iLQR 基础上扩展处理控制输入和状态约束的问题。在这种情况下系统不仅要优化控制输入以最小化代价函数还需要满足各种物理约束例如控制输入的限制如力矩或速度的上下限、状态的约束如位置、速度的范围甚至是复杂的非线性约束条件。
要在 iLQR 中处理约束通常使用多种方法包括
投影法Projection Method惩罚函数法Penalty Method障碍函数法Barrier Method拉格朗日乘子法Lagrangian MethodQP 求解方法Quadratic Programming for Constraints
下面我们详细介绍这些方法在 iLQR 中的应用以及如何通过它们处理约束。 1. 投影法Projection Method
投影法 是一种简单的方法主要用于处理控制输入或状态的上下限边界约束。它通过在每次迭代后将违反约束的控制输入或状态投影到可行域内保证最终结果满足约束。
过程 迭代更新控制输入在优化的过程中根据 iLQR 更新控制输入和状态 。 投影回可行域如果控制输入或状态超出给定的限制则将其投影回到约束范围内 继续迭代在投影后继续下一步的前向和后向传播直到控制输入和状态满足收敛条件。
优缺点
优点方法简单易于实现适合处理简单的线性约束如上下限。缺点对于复杂的非线性约束不适用且强制投影可能会对算法收敛性和解的质量产生负面影响。 2. 惩罚函数法Penalty Method
惩罚函数法 是通过在代价函数中增加一个罚项用于惩罚违反约束的行为从而迫使解满足约束条件。罚项的大小取决于违反约束的程度随着违反约束的增大罚项的代价增加。
过程 定义罚项引入违反控制输入或状态约束的罚项例如对于控制输入 uk\mathbf{u}_kuk 的上下限约束可以定义一个惩罚项 其中是惩罚参数用来调节约束的严格性。 更新代价函数将惩罚项加入到原始代价函数中 优化通过 iLQR 的前向传播和后向传播最小化这个新的代价函数随着惩罚参数的增大解会更严格地满足约束条件。
优缺点
优点可以处理复杂的非线性约束能够逐渐逼近约束条件。缺点需要调整惩罚参数 ρ\rhoρ如果惩罚项选择不当可能导致收敛缓慢或约束不精确。 3. 障碍函数法Barrier Method
障碍函数法 是一种特殊的惩罚函数法通过引入障碍函数来处理约束条件。当控制输入或状态接近约束边界时障碍函数的值会趋向无穷大从而限制解靠近或超过约束边界。
过程 定义障碍函数常用的障碍函数是对数障碍函数例如对于控制输入的上下限约束 更新代价函数将障碍函数加入到代价函数中 其中是障碍函数的权重控制障碍的强度。 优化通过 iLQR 最小化这个新的代价函数使得解接近约束边界时代价函数趋向无穷大限制解超出可行域。
优缺点
优点能较好地处理边界约束保证解在可行域内。缺点数值稳定性差当解接近边界时障碍函数趋向无穷大可能导致数值不稳定。 4. 拉格朗日乘子法Lagrangian Method
拉格朗日乘子法 通过引入拉格朗日乘子将约束条件与目标函数相结合转化为一个对偶优化问题。这种方法特别适用于等式约束问题。
过程 定义拉格朗日函数假设约束为 h(xk,uk)0h(\mathbf{x}_k, \mathbf{u}_k) 0h(xk,uk)0可以构造拉格朗日函数 其中是拉格朗日乘子。 优化问题通过优化拉格朗日函数使得原目标函数最优的同时满足约束条件。 更新拉格朗日乘子迭代更新拉格朗日乘子 λk\lambda_kλk逐步逼近约束条件。
优缺点
优点适合处理等式约束问题尤其在严格的等式约束问题中具有良好的性能。缺点处理不等式约束较复杂优化过程中计算量较大。 5. QP 求解方法Quadratic Programming for Constraints
QP 求解方法 是通过将 iLQR 的每次迭代转化为一个带有约束的 二次规划问题Quadratic Programming, QP。通过引入二次规划求解器处理线性或二次型约束问题。
过程 线性化和二次化在每次迭代中将非线性系统线性化将代价函数二次化。对于每个时间步代价函数可以近似为 引入约束将控制输入或状态的约束引入到二次规划问题中例如 求解 QP 问题使用二次规划求解器如 OSQP来求解带有约束的二次规划问题得到满足约束的最优解。
优缺点
优点可以精确处理线性或二次型约束问题适用于更复杂的约束场景。缺点计算复杂度较高每次迭代需要求解一个 QP 问题适用于小规模系统或计算资源较充足的情况。 6. AL-iLQR求解方法Augmented Lagrangian ILQR
AL-iLQR通过引入 增广拉格朗日法Augmented Lagrangian Method将原始问题的约束条件通过拉格朗日乘子和惩罚项结合到代价函数中逐步逼近最优解。
对于带有等式和不等式约束的最优控制问题引入 增广拉格朗日函数 其中
是拉格朗日乘子对应等式约束。是惩罚系数用于控制惩罚项的强度。
总结
如果约束较为简单如上下限优先使用 投影法。如果需要处理较复杂的非线性约束可以选择 惩罚函数法 或 障碍函数法。如果约束是等式约束且必须严格满足拉格朗日乘子法 是一个较好的选择。如果系统较小且有复杂的线性或二次型约束QP 求解方法 能提供更精确的解。
