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市政投资拓宽市区道路#xff0c;本着执政为民#xff0c;节省纳税人钱的目的#xff0c;论证是否有必要对每一条路都施工拓宽#xff1f;
这是一个连问带答的好问题。项目制学习可以上下半场#xff0c;上半场头脑风暴节省投资的所有可行的思路
市政投资拓宽市区道路本着执政为民节省纳税人钱的目的论证是否有必要对每一条路都施工拓宽
这是一个连问带答的好问题。项目制学习可以上下半场上半场头脑风暴节省投资的所有可行的思路
下半场总结可行的思路归为算法问题解决。
思路
MST Minimum Spanning Tree 最小生成树
1、选择每一个节点的最短边加入树Tree涂成颜色标记如下 2、同时避免形成环路, 3、遍历所有的节点循环执行以上步骤直至所有节点都在MST中
使用Kruskal算法求解最小生成树(Minimum Spanning Tree)的Python代码实现
#上述代码利用Kruskal算法的贪心思想, 每次选择权值最小的边加入MST, 同时避免形成环路,
#直到遍历完所有节点, 得到最小生成树的所有边。 Kruskal算法和Prim算法都是解决最小生成树Minimum Spanning TreeMST问题的常用算法但它们的工作原理和实现方式略有不同。以下是它们之间的主要区别 工作原理 Kruskal算法Kruskal算法基于贪心策略。它首先将所有的边按权重升序排列然后从最小权重的边开始逐渐构建最小生成树。在构建的过程中Kruskal算法不断选择下一条最小权重的边但要确保选择的边不会形成环路。它使用了一个并查集Disjoint Set数据结构来判断边是否会形成环路。 Prim算法Prim算法也是一种贪心算法但它从一个初始顶点开始逐步添加顶点到最小生成树中。它每次选择一个与当前最小生成树相邻的顶点并选择连接它们的边中权重最小的那条边。这个过程一直进行直到所有顶点都包含在最小生成树中为止。 起始点 Kruskal算法Kruskal算法不需要指定一个起始点它从边集合出发根据权重来构建最小生成树。 Prim算法Prim算法需要指定一个起始点它从指定的起始点开始构建最小生成树。 数据结构 Kruskal算法Kruskal算法主要依赖于边的排序和并查集数据结构用于检测环路。 Prim算法Prim算法通常使用优先队列Priority Queue来管理候选边和顶点以及一个数组来维护顶点的键键表示连接到最小生成树的最小边的权重。 适用情况 Kruskal算法Kruskal算法适用于稀疏图即边相对较少的情况。它不受起始点选择的限制因此在不同起始点下可能会得到相同的最小生成树。 Prim算法Prim算法适用于稠密图即边相对较多的情况。它的最终结果可能受起始点选择的影响因为不同的起始点可能会导致不同的最小生成树。
总的来说Kruskal算法和Prim算法都是有效的最小生成树算法选择哪个算法取决于具体的问题和图的性质。在实际应用中可以根据图的密度和其他要求来选择适当的算法。
import sys
class Graph:def __init__(self):self.graph {}def add_edge(self, u, v, w):if u not in self.graph:self.graph[u] {}if v not in self.graph:self.graph[v] {}self.graph[u][v] wself.graph[v][u] wdef prim(self):key {}parent {}mst_set set()# 初始化key值为无穷大for vertex in self.graph:key[vertex] sys.maxsize# 从起始顶点开始start_vertex list(self.graph.keys())[0]key[start_vertex] 0parent[start_vertex] Nonewhile mst_set ! set(self.graph.keys()):# 找到key值最小的未加入MST的顶点min_vertex Nonefor vertex in self.graph:if vertex not in mst_set and (min_vertex is None or key[vertex] key[min_vertex]):min_vertex vertexmst_set.add(min_vertex)# 更新与min_vertex相邻的顶点的key值和parentfor neighbor, weight in self.graph[min_vertex].items():if neighbor not in mst_set and weight key[neighbor]:key[neighbor] weightparent[neighbor] min_vertex# 构建最小生成树的边列表mst_edges []for vertex, p in parent.items():if p is not None:mst_edges.append((p, vertex, key[vertex]))return mst_edges创建图并添加边
g Graph()
g.add_edge(A, B, 10)
g.add_edge(A, H, 11)
g.add_edge(A, G, 14)
g.add_edge(B, H, 12)
g.add_edge(B, C, 16)
g.add_edge(C, D, 15)
g.add_edge(D, K, 13)
g.add_edge(D, E, 14)
g.add_edge(E, K, 13)
g.add_edge(E, F, 17)
g.add_edge(F, H, 17)
g.add_edge(F, G, 16)
g.add_edge(G, H, 13)
g.add_edge(H, K, 15)计算最小生成树
mst g.prim()# 打印最小生成树的边和权重
s 0
for u, v, w in mst:s wprint(f{u} - {v}: {w})
print(total ,s)A - B: 10
A - H: 11
H - G: 13
D - C: 15
G - F: 16
H - K: 15
K - D: 13
K - E: 13total 106根据图的疏密程度选择合适的最小生成树算法是一个重要的考虑因素。下面是对于不同的图疏密程度如何选择算法的一些建议 稀疏图Sparse Graph Kruskal算法对于稀疏图通常边的数量相对较少这使得Kruskal算法的效率较高。因为Kruskal算法不依赖于起始点适合用于连接各个部分的边比较少的情况。如果图是非连通的Kruskal算法也可以应对。 Prim算法虽然Prim算法也可以用于稀疏图但在这种情况下通常Kruskal算法更具优势因为它的时间复杂度相对较低。 稠密图Dense Graph Prim算法稠密图通常包含大量的边此时Prim算法更适合因为它在连接到当前最小生成树的顶点之间选择边的效率更高。Prim算法的时间复杂度在稠密图中通常比Kruskal算法更低。 图的连通性 Kruskal算法如果图是非连通的Kruskal算法可以构建最小生成森林而不需要将图变为连通的。这在一些应用中可能很有用。 起始点选择 Kruskal算法Kruskal算法不受起始点选择的限制因此在不同的起始点下可能会得到相同的最小生成树。这对于某些问题可能是一个优点。 Prim算法Prim算法需要指定一个起始点因此选择起始点可能会影响最终的最小生成树结果。在某些情况下选择不同的起始点可能导致不同的最小生成树。
总的来说根据图的疏密程度、连通性和起始点选择的灵活性来选择最小生成树算法。通常如果图较稀疏可以优先考虑Kruskal算法如果图较稠密可以优先考虑Prim算法。然而具体的应用可能需要根据问题的特点进行权衡和选择。
同学对算法缺乏兴趣或没有时间研究的最好的选择也是Python的优势所在直接导入第三方库。
额外的福利是收获直观可见的无向图顺便学习一点可视化。
import networkx as nx
import matplotlib.pyplot as plt#1 创建一个空的无向图
G nx.Graph()#2 添加节点
G.add_node(A)
G.add_node(B)
G.add_node(C)
G.add_node(D)
G.add_node(E)
G.add_node(F)
G.add_node(G)
G.add_node(H)
G.add_node(K)#根据需求添加边两端连接节点#3 添加边连接节点
G.add_edge(A, B, weight10)
G.add_edge(A, H, weight11)
G.add_edge(A, G, weight14)
G.add_edge(B, H, weight12)
G.add_edge(B, C, weight16)
G.add_edge(C, D, weight15)
G.add_edge(D, K, weight13)
G.add_edge(D, E, weight14)
G.add_edge(E, K, weight13)
G.add_edge(E, F, weight17)
G.add_edge(F, H, weight17)
G.add_edge(F, G, weight16)
G.add_edge(G, H, weight13)
G.add_edge(H, K, weight15)# 绘制图形
pos nx.spring_layout(G)
nx.draw(G, pos, with_labelsTrue, node_size700, node_colorskyblue, font_size10, font_colorblack)
labels nx.get_edge_attributes(G, weight)
nx.draw_networkx_edge_labels(G, pos, edge_labelslabels)# 查找最小生成树
minimum_spanning_tree nx.minimum_spanning_tree(G)
print(Minimum Spanning Tree Edges:)
s 0
for edge in minimum_spanning_tree.edges(dataTrue):s edge[2][weight]print(edge)# 查找节点之间的最短路径
shortest_path nx.shortest_path(G, sourceA, targetD, weightweight)
print(Shortest Path from A to D:, shortest_path)# 计算最短路径长度
shortest_path_length nx.shortest_path_length(G, sourceA, targetD, weightweight)
print(Shortest Path Length from A to D:, shortest_path_length)# 查找节点之间的最短路径
shortest_path nx.shortest_path(G, sourceH, targetK, weightweight)
print(Shortest Path from H to K:, shortest_path)# 计算最短路径长度
shortest_path_length nx.shortest_path_length(G, sourceH, targetK, weightweight)
print(Shortest Path Length from H to K:, shortest_path_length)# Total length of Minimum Spanning Tree Edgesprint( totals )
print(minimum_spanning_tree) #Graph with 9 nodes and 8 edges
print([edge for edge in minimum_spanning_tree])
print(total length ,s)# 显示图形
plt.show()输出结果
Minimum Spanning Tree Edges:
(A, B, {weight: 10})
(A, H, {weight: 11})
(C, D, {weight: 15})
(D, K, {weight: 13})
(E, K, {weight: 13})
(F, G, {weight: 16})
(G, H, {weight: 13})
(H, K, {weight: 15})Shortest Path from A to D: [A, H, K, D]
Shortest Path Length from A to D: 39
Shortest Path from H to K: [H, K]
Shortest Path Length from H to K: 15totals
Graph with 9 nodes and 8 edges
[A, B, C, D, E, F, G, H, K]
total length 106与原题的图等价。 最小生成树为
(A, B, {weight: 10})
(A, H, {weight: 11})
(C, D, {weight: 15})
(D, K, {weight: 13})
(E, K, {weight: 13})
(F, G, {weight: 16})
(G, H, {weight: 13})
(H, K, {weight: 15})
