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概率论与统计学
概率论… 学习《概率论与数理统计》二十多年后在廖老师的指导下才厘清了各章之间的关系。首先这是两个学科综合的一门课程这一门课程中还有术语冲突的问题。这一门课程一条线两个分支脉络很清晰。
概率论与统计学
概率论与统计学是数学的两个分支它们密切相关但有着不同的侧重点和目标。 概率论 概率论是一门研究随机现象及其规律性的数学学科。它处理的是在给定条件下某个事件发生的可能性大小的问题。概率论通过定义样本空间、事件以及概率测度等概念来描述不确定性并基于这些概念发展出一系列理论工具如随机变量、分布函数、期望值、方差等。概率论的研究对象可以是离散型或连续型的随机变量也可以是多维随机变量和随机过程。 统计学 统计学则是利用数据来推断概率模型的参数或进行预测的一门科学。它关注如何收集、整理、分析和解释数据以从数据中提取有用的信息并作出决策或得出结论。统计学分为描述性统计和推断性统计两大类前者侧重于总结数据特征如均值、中位数、标准差等后者则涉及到对未知总体的估计和假设检验等问题。统计学还涉及实验设计、抽样方法、回归分析等多个方面。
数理统计是统计学的一个分支它依赖于概率论的理论基础并结合数学方法来研究如何有效地收集、分析和解释数据。数理统计主要关注的是从样本数据中得出关于总体的结论以及评估这些结论的可靠性。
知识体系
分支一从随机现象到样本空间到随机事件再到概率。
从随机事件到随机变量为了进行定量的数学处理必须把随机现象的结果数量化这就是引入随机变量的原因。
分支二从随机现象到样本空间到随机变量的取值到分布再到采样到随机样本根据样本统计推断估计分布。 概率论与数理统计的教材中缺少采样的部分就使这条线断了。
随机变量
随机变量的取值是随机变量定义在样本空间上的实值函数。
随机变量既是变量也是函数。 从变量的角度来看随机变量是指在随机试验或者随机过程中可能取不同数值的一种变量它的数值受随机因素影响无法事先确切预知。 从函数的角度来看随机变量是定义在样本空间随机试验所有可能结果组成的集合上的一个实值函数。它将随机试验的所有可能结果样本点映射到实数集合上每一个样本点对应一个实数值。随机变量的本质是对不确定事件结果的一种量化表示使得原本非数值化的随机现象可以用数学语言来描述。
随机变量结合了变量的不确定性属性与函数的映射特性它通过函数的方式将随机事件的结果量化并通过概率论的语言来描述这些结果出现的可能性分布。
随机变量的分布
有了随机变量然后就可以谈分布了。 定义 定义在样本空间Ω上的实值函数 X X ( ω ) XX(ω) XX(ω)称为随机变量常用大写字母X, Y, Z等表示随机变量其取值用小写字母x, y, z等表示。假如一个随机变量仅可能取有限个或可列个值则称其为离散随机变量。假如一个随机变量的可能取值充满数轴上的一个区间(a, b)则称其为连续随机变量其中a可以是 − ∞ -\infty −∞b可以是 ∞ \infty ∞。 连续型随机变量用概率密度函数描述分布离散型随机变量用分布律描述分布。 以后当我们提到一个随机变量 X X X的“概率分布”时指的是它的分布函数或者当 X X X是连续型随机变量时指的是它的概率密度当 X X X是离散型随机变量时指的是它的分布律。
总之分布描述随机变量取值的概率。
采样与随机样本
有了分布谈采样抽样就有了样本。 定义 设 X X X是具有分布函数 F F F的随机变量若 X 1 , X 2 , ⋯ , X n X_1, X_2, \cdots, X_n X1,X2,⋯,Xn是具有同一分布函数 F F F的、相互独立的随机变量则称 X 1 , X 2 , ⋯ , X n X_1, X_2,\cdots, X_n X1,X2,⋯,Xn为从分布函数 F F F或总体 F F F、或总体 X X X得到的容量为 n n n的简单随机样本简称样本它们的观察值 x 1 , x 2 , ⋯ , x n x_1, x_2,\cdots, x_n x1,x2,⋯,xn称为样本值又称为 X X X的 n n n个独立的观察值。 在统计学中样本是从总体Population中选取的一部分个体或观测值。它用来代表整个总体并用于估计总体的特征或参数。 统计推断
之后就是统计推断。
样本是进行统计推断的依据。在统计学中我们通常无法对整个总体进行测量或观察因此需要从总体中抽取一部分个体组成样本。通过对样本的分析我们可以对总体的特征进行估计和推断。
统计推断的基本问题可以分为两大类一类是估计问题另一类是假设检验问题。
Comments
概率论与数理统计理论性比较强很抽象但是这是一个很实用的学科相比高等代数和数学分析来说与我们更加接近。
然而这门课老师竟然讲成了一门抽象的理论课。凡是只讲怎么代入公式计算没有解释没有剖析不讲整个知识体系以及逻辑关系那样的概率老师都应该回家卖红薯。
