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何为向量 从物理上看 向量就是既有大小又有方向的量只要这两者一定就可以在空间中随便移动。 从计算机应用的角度看向量和列表很接近可以用来描述某对象的几个不同属性 比如长2宽3就可以写成。 数学上给出最为广义的定义一切对于相加和数乘有意义的都可以是向量。这实际上暗示了这两种运算会贯穿整个线性代数。
一种思考方式 一种很好的思考向量的方式是看到一个向量想到一个箭头它落在某个坐标系且起点大多数时候固定在原点。 这与上述的第一种定义契合即“向量是空间中的箭头”。 现在再看第二种定义即“向量是有序的数字列表”在定义了单位长度之后我们就可以给出一个向量的坐标这就是一个有序列表它指示我们如何从向量的出发点原点到达向量的尖端。比如告诉我们应该先沿着x轴负方向走2单位再沿着y轴正方向走3个单位。 每个有序列表对应唯一一个箭头每个箭头对应唯一一个有序列表。 向量相加 现在来考虑两种最基本运算中的加法。 几何上看 沿用上述的思考方式定义中的向量相加就是把两个箭头首尾相接然后画一个从前一个向量的首原点到后一个向量的尾的向量这个向量就是结果。像这样 但为什么要这样定义 而不是从首到首呢像这样 因为往往将向量看作一个特定的运动从首到尾 按这种定义向量的和就是先后沿着两个向量运动的整体上的结果具有很直观的意义。 实际上如果把这种加法放到一维坐标系数轴上其实就是在数轴上做数字加减的方法。 代数上看 第一个向量坐标是1 2第二个向量坐标是3 -1。 前面提到过这个坐标指示我们如何通过先后沿平行x轴和y轴的方向移动从一个向量的首走到尾那么对于两个首位相接的向量我们做加法的任务就是找出类似的这种方案从第一个向量的首走到第二个向量的尾。 在得到这个方案之前我们只知道先走第一个向量再紧接着走第二个向量按坐标给出的信息这是一个4步的方案x轴1y轴2x轴3y轴-1。我们要得到的方案是两步的也就是x轴几y轴几。 因为x轴和y轴上的行走是独立的所以我们可以交换顺序先做水平运动再做竖直运动。整体上看就等同于在x轴走13在y轴走2-1。这样我们就找到了我们要找的方案。 这样我们也就推出了向量的加法法则也知道了为什么要这样加。即有 向量数乘 对向量乘上一个数本质上就是在做缩放scaling 拉伸或压缩如果有负号就反向。 这个用来缩放scaling的数英文上很自然的可以叫做scalar确实有这个词而它的中文翻译是标量。所以标量其实就可以理解成用来缩放向量的东西。在线性代数中标量的作用基本上就是用来缩放向量。 数乘的运算法可以用相似推出来 就是对每个分量分别乘上标量。 实际上无论从哪个角度来看待向量都可线性代数的效用很少仅仅体现在其中一个角度上而是体现在这些不同角度的相互转化中。
