南京学习网站建设,天津做网站哪家公司好,搜索引擎优化的方法和技巧,永州市住房和城乡建设局网站小蓝的班上有 n n n 个人#xff0c;一次考试之后小蓝想统计同学们的成绩#xff0c;第 i 名同学的成绩为 a i a_i ai 。当小蓝统计完前 x x x 名同学的成绩后#xff0c;他可以从 1 ∼ x 1 ∼ x 1∼x 中选出任意 k k k 名同学的成绩#xff0c;计算出这 k k k 个成…小蓝的班上有 n n n 个人一次考试之后小蓝想统计同学们的成绩第 i 名同学的成绩为 a i a_i ai 。当小蓝统计完前 x x x 名同学的成绩后他可以从 1 ∼ x 1 ∼ x 1∼x 中选出任意 k k k 名同学的成绩计算出这 k k k 个成绩的方差。小蓝至少要检查多少个人的成绩才有可能选出 k k k 名同学他们的方差小于一个给定的值 T T T
提示 k k k 个数 v 1 , v 2 , ⋯ , v k v_1, v_2, \cdots, v_k v1,v2,⋯,vk 的方差 σ 2 σ^2 σ2 定义为 σ 2 ∑ k i 1 ( v i − v ′ ) / k σ^2∑ k_i1(v_i−v)/k σ2∑ki1(vi−v′)/k 其中 v ′ v v′ 表示 v v v 的平均值 v ′ ∑ k i 1 v i k v∑k_{i1} \frac{v_i}{k} v′∑ki1kvi 。
关键点 问题目标找到最小的 x x x使得在前 x x x 名同学的成绩中存在一个大小为 k k k 的子集其方差小于 T T T。 方差的含义 方差越小说明数据越集中。如果选择的 k k k 个数非常接近方差会很小。 解决思路 对前 x x x 名同学的成绩排序。使用 滑动窗口 检查所有连续的 k k k 个数的方差是否小于 T T T。通过 二分搜索 找到最小的 x x x。
#include iostream
#include vector
#include algorithm
#include cmath
using namespace std;// 计算 k 个数的方差
double calculateVariance(const vectorint nums, int start, int k) {double sum 0;for (int i start; i start k; i) {sum nums[i];}double mean sum / k; // 平均值double variance 0;for (int i start; i start k; i) {variance (nums[i] - mean) * (nums[i] - mean);}return variance / k;
}// 检查前 x 个数中是否存在 k 个数的方差小于 T
bool check(const vectorint a, int x, int k, double T) {vectorint subset(a.begin(), a.begin() x); // 取前 x 个数sort(subset.begin(), subset.end()); // 排序for (int i 0; i x - k; i) { // 滑动窗口double variance calculateVariance(subset, i, k);if (variance T) {return true;}}return false;
}// 二分搜索找到最小的 x
int findMinX(const vectorint a, int k, double T) {int n a.size();int left k, right n; // x 的最小值是 k最大值是 nint result n 1; // 初始化为一个不可能的值while (left right) {int mid left (right - left) / 2;if (check(a, mid, k, T)) {result mid; // 更新结果right mid - 1; // 尝试更小的 x} else {left mid 1; // 尝试更大的 x}}return result n ? result : -1; // 如果找到返回 x否则返回 -1
}复杂度分析 时间复杂度 排序 O ( x l o g x ) O(x\ log\ x) O(x log x)其中 x x x 是检查的人数滑动窗口检查方差 O ( x ) O(x) O(x)二分搜索 O ( l o g n ) O(log\ n) O(log n)总复杂度 O ( n l o g n ⋅ l o g n ) O(nlog\ n⋅logn) O(nlog n⋅logn) 空间复杂度 存储子集 O ( n ) O(n) O(n)
总结
通过排序和滑动窗口可以高效地检查是否存在满足条件的子集。二分搜索用于快速找到最小的 x x x。该方法在时间和空间复杂度上都是可行的适用于中等规模的数据。
