wordpress做外贸站,wordpress默认主题修改,做动画的网站有哪些,网站建设都分几个阶段三、对引理 24.10 的证明进行改善#xff0c;使其可以处理最短路径权重为 ∞ ∞ ∞ 和 − ∞ -∞ −∞ 的情况。引理 24.10(三角不等式)的内容是#xff1a;设 G ( V , E ) G(V,E) G(V,E) 为一个带权重的有向图#xff0c;其权重函数由 w : E → R w:E→R w:E→R 给出使其可以处理最短路径权重为 ∞ ∞ ∞ 和 − ∞ -∞ −∞ 的情况。引理 24.10(三角不等式)的内容是设 G ( V , E ) G(V,E) G(V,E) 为一个带权重的有向图其权重函数由 w : E → R w:E→R w:E→R 给出其源结点为 s s s 。那么对于所有的边 ( u , v ) ∈ E (u,v)∈E (u,v)∈E 我们有 δ ( s , u ) ⩽ δ ( s , u ) w ( u , v ) δ(s,u)⩽δ(s,u) w(u,v) δ(s,u)⩽δ(s,u)w(u,v) 。如果要写代码请用go语言。
文心一言
为了处理最短路径权重为 ∞ ∞ ∞ 和 − ∞ -∞ −∞ 的情况我们需要对三角不等式引理 24.10 的证明进行一定的调整。在这种情况下我们需要特别注意权重的边界情况即当路径不存在时其权重应视为 ∞ ∞ ∞而当路径权重为 − ∞ -∞ −∞ 时也需要进行适当的处理。
下面是改进后的引理 24.10 的证明以及使用 Go 语言实现的代码示例。
改进后的引理 24.10 证明
设 G ( V , E ) G(V,E) G(V,E) 为一个带权重的有向图其权重函数由 w : E → R w:E→R w:E→R 给出其源结点为 s s s。我们需要证明对于所有的边 ( u , v ) ∈ E (u,v)∈E (u,v)∈E有 δ ( s , v ) ⩽ δ ( s , u ) w ( u , v ) δ(s,v) \leqslant δ(s,u) w(u,v) δ(s,v)⩽δ(s,u)w(u,v)
其中 δ ( s , u ) δ(s,u) δ(s,u) 表示从源结点 s s s 到结点 u u u 的最短路径权重。如果路径不存在则 δ ( s , u ) ∞ δ(s,u) ∞ δ(s,u)∞。
证明 基础情况如果 δ ( s , u ) ∞ δ(s,u) ∞ δ(s,u)∞则 δ ( s , u ) w ( u , v ) ∞ δ(s,u) w(u,v) ∞ δ(s,u)w(u,v)∞因为 w ( u , v ) w(u,v) w(u,v) 是有限的可以是任意实数包括 ∞ ∞ ∞ 和 − ∞ -∞ −∞但在此上下文中边的权重通常是有限的。由于 δ ( s , v ) δ(s,v) δ(s,v) 最多为 ∞ ∞ ∞如果路径不存在因此不等式 δ ( s , v ) ⩽ δ ( s , u ) w ( u , v ) δ(s,v) \leqslant δ(s,u) w(u,v) δ(s,v)⩽δ(s,u)w(u,v) 成立。 一般情况假设 δ ( s , u ) δ(s,u) δ(s,u) 是有限的即存在从 s s s 到 u u u 的路径。那么 δ ( s , v ) δ(s,v) δ(s,v) 要么是从 s s s 到 v v v 的直接路径通过边 ( u , v ) (u,v) (u,v)要么是通过其他路径到达 v v v。 如果 δ ( s , v ) δ(s,v) δ(s,v) 是通过边 ( u , v ) (u,v) (u,v) 到达的则 δ ( s , v ) δ ( s , u ) w ( u , v ) δ(s,v) δ(s,u) w(u,v) δ(s,v)δ(s,u)w(u,v)不等式显然成立。如果 δ ( s , v ) δ(s,v) δ(s,v) 不是通过边 ( u , v ) (u,v) (u,v) 到达的则 δ ( s , v ) δ(s,v) δ(s,v) 必然小于或等于任何从 s s s 到 v v v 的其他路径的权重包括通过 u u u 再到 v v v 的路径即 δ ( s , u ) w ( u , v ) δ(s,u) w(u,v) δ(s,u)w(u,v)。因此 δ ( s , v ) ⩽ δ ( s , u ) w ( u , v ) δ(s,v) \leqslant δ(s,u) w(u,v) δ(s,v)⩽δ(s,u)w(u,v)。 特殊情况如果 w ( u , v ) − ∞ w(u,v) -∞ w(u,v)−∞则 δ ( s , u ) w ( u , v ) δ(s,u) w(u,v) δ(s,u)w(u,v) 可能为 − ∞ -∞ −∞。在这种情况下如果 δ ( s , v ) δ(s,v) δ(s,v) 不是 − ∞ -∞ −∞则必然存在一条从 s s s 到 v v v 的路径其权重是有限的不是 − ∞ -∞ −∞。然而由于我们可以总是选择通过 u u u 和 ( u , v ) (u,v) (u,v) 到达 v v v 来获得权重 − ∞ -∞ −∞如果 δ ( s , u ) δ(s,u) δ(s,u) 不是 ∞ ∞ ∞因此 δ ( s , v ) δ(s,v) δ(s,v) 实际上应该是 − ∞ -∞ −∞使得不等式仍然成立。
Go 语言实现
以下是使用 Go 语言实现上述逻辑的示例代码
package mainimport (fmtmath
)// 定义图的边
type Edge struct {From, To intWeight float64
}// 计算最短路径权重的函数使用 Floyd-Warshall 算法作为示例
func shortestPaths(graph [][]Edge, numVertices int) [][]float64 {// 初始化距离矩阵dist : make([][]float64, numVertices)for i : range dist {dist[i] make([]float64, numVertices)for j : range dist[i] {if i j {dist[i][j] 0} else {dist[i][j] math.Inf(1) // 初始化为正无穷大}}}// 设置边的权重for _, vertex : range graph {for _, edge : range vertex {dist[edge.From][edge.To] edge.Weight}}// Floyd-Warshall 算法for k : 0; k numVertices; k {for i : 0; i numVertices; i {for j : 0; j numVertices; j {if dist[i][k] ! math.Inf(1) dist[k][j] ! math.Inf(1) dist[i][k]dist[k][j] dist[i][j] {dist[i][j] dist[i][k] dist[k][j]}}}}return dist
}// 检查三角不等式
func checkTriangleInequality(graph [][]Edge, source int, numVertices int) {dist : shortestPaths(graph, numVertices)for _, vertex : range graph {for _, edge : range vertex {u, v : edge.From, edge.Tow : edge.WeightdeltaSU : dist[source][u]deltaSV : dist[source][v]fmt.Printf(Checking (%d, %d) with weight %f: δ(s,u) %f, δ(s,v) %f\n, u, v, w, deltaSU, deltaSV)if !(deltaSV deltaSUw) {fmt.Printf(Triangle inequality violated for (%d, %d)!\n, u, v)} else {fmt.Println(Triangle inequality holds.)}}}
}func main() {// 示例图邻接表表示graph : [][]Edge{{{0, 1, 1.0}, {0, 2, 4.0}},{{1, 2, 2.0}, {1, 3, -math.Inf(1)}}, // 包含 -∞ 的边{{2, 3, 5.0}},{},}source : 0numVertices : len(graph)checkTriangleInequality(graph, source, numVertices)
}在这个示例中我们使用了 Floyd-Warshall 算法来计算最短路径权重并检查三角不等式是否成立。注意这个实现假设了边的权重可以是任意实数包括 ∞ ∞ ∞ 和 − ∞ -∞ −∞。在实际应用中你可能需要根据具体情况对算法进行调整以处理特定的图结构和权重约束。 讯飞星火
为了处理最短路径权重为 ∞ ∞ ∞ 和 − ∞ -∞ −∞ 的情况我们需要对引理 24.10 进行一些修改。在带权重的有向图中如果存在一条边的权重为 ∞ ∞ ∞ 或 − ∞ -∞ −∞那么这条边的存在可能会影响最短路径的计算。
以下是改进后的引理 24.10 以及相应的 Go 语言代码实现
改进后的引理 24.10
设 G ( V , E ) G(V,E) G(V,E) 为一个带权重的有向图其权重函数由 w : E → R w:E→R w:E→R 给出其源结点为 s s s。对于所有的边 ( u , v ) ∈ E (u,v)∈E (u,v)∈E我们有 δ ( s , u ) w ( u , v ) ≤ δ ( s , v ) δ(s,u) w(u,v) \leq δ(s,v) δ(s,u)w(u,v)≤δ(s,v) 其中 δ ( s , u ) δ(s,u) δ(s,u) 表示从源结点 s s s 到结点 u u u 的最短路径权重。
Go 语言代码实现
package mainimport (fmtmath
)// Edge represents a directed edge with a weight
type Edge struct {from intto intweight float64
}// Graph represents a directed graph with weights
type Graph struct {vertices intedges []Edge
}// BellmanFord implements the Bellman-Ford algorithm to find shortest paths from source vertex
func BellmanFord(graph *Graph, source int) ([]float64, error) {distance : make([]float64, graph.vertices)for i : range distance {distance[i] math.Inf(1) // Initialize distances to infinity}distance[source] 0 // Distance to the source is zero// Relax edges repeatedlyfor i : 0; i graph.vertices-1; i {for _, edge : range graph.edges {if distance[edge.from] ! math.Inf(1) distance[edge.from]edge.weight distance[edge.to] {distance[edge.to] distance[edge.from] edge.weight}}}// Check for negative-weight cyclesfor _, edge : range graph.edges {if distance[edge.from] ! math.Inf(1) distance[edge.from]edge.weight distance[edge.to] {return nil, fmt.Errorf(graph contains a negative-weight cycle)}}return distance, nil
}func main() {// Example usage of Bellman-Ford algorithmgraph : Graph{vertices: 5,edges: []Edge{{from: 0, to: 1, weight: 6},{from: 0, to: 2, weight: 7},{from: 1, to: 2, weight: 8},{from: 1, to: 3, weight: 5},{from: 1, to: 4, weight: -4},{from: 2, to: 3, weight: -3},{from: 2, to: 4, weight: 9},{from: 3, to: 1, weight: -2},{from: 4, to: 0, weight: 2},{from: 4, to: 3, weight: 7},},}source : 0distances, err : BellmanFord(graph, source)if err ! nil {fmt.Println(Error:, err)} else {fmt.Println(Shortest path distances from source:, distances)}
}解释
Graph Representation: 我们使用 Edge 结构体来表示有向边及其权重并使用 Graph 结构体来表示整个图。Bellman-Ford Algorithm: 我们实现了 Bellman-Ford 算法来计算从源节点到所有其他节点的最短路径。该算法可以处理负权重边并且能够检测负权重循环。Initialization: 初始化所有距离为无穷大math.Inf(1)并将源节点的距离设置为0。Relaxation: 重复松弛所有边更新最短路径估计值。Negative-Weight Cycle Check: 最后一步检查是否存在负权重循环。如果存在则返回错误。
通过这种方式我们可以处理最短路径权重为 ∞ ∞ ∞ 和 − ∞ -∞ −∞ 的情况并确保算法的正确性和鲁棒性。
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为了改进引理 24.10 的证明使其能够处理最短路径权重为 ( \infty ) 和 ( -\infty ) 的情况我们需要仔细考虑这些特殊情况下的行为。具体来说我们需要确保在这些情况下三角不等式仍然成立。
改进后的引理 24.10
引理 24.10 (改进的三角不等式): 设 ( G (V, E) ) 为一个带权重的有向图其权重函数由 ( w: E \to \mathbb{R} \cup {\infty, -\infty} ) 给出其源结点为 ( s )。那么对于所有的边 ( (u, v) \in E )我们有 [ \delta(s, u) \leq \delta(s, v) w(u, v) ]
其中( \delta(s, u) ) 表示从源结点 ( s ) 到结点 ( u ) 的最短路径权重。
证明 基本情况: 如果 ( \delta(s, u) \infty )则不等式 ( \delta(s, u) \leq \delta(s, v) w(u, v) ) 自然成立因为任何数加上有限值或无穷大都不会小于无穷大。如果 ( \delta(s, u) -\infty )则不等式 ( \delta(s, u) \leq \delta(s, v) w(u, v) ) 也自然成立因为负无穷大加上任何数仍然是负无穷大。 一般情况: 假设 ( \delta(s, u) ) 是有限值。根据最短路径的定义从 ( s ) 到 ( u ) 的最短路径权重 ( \delta(s, u) ) 不会大于从 ( s ) 到 ( v ) 的最短路径权重加上从 ( u ) 到 ( v ) 的边权重 ( w(u, v) )。因此我们有 [ \delta(s, u) \leq \delta(s, v) w(u, v) ]
Go 语言实现
以下是用 Go 语言实现的代码用于验证改进后的三角不等式
package mainimport (fmtmath
)// Weight represents the weight of an edge, which can be finite or infinite.
type Weight float64const (Infinity Weight math.Inf(1)NegativeInfinity Weight math.Inf(-1)
)// ShortestPathWeight represents the shortest path weight from source to a vertex.
type ShortestPathWeight map[string]Weight// Graph represents a weighted directed graph.
type Graph struct {Vertices []stringEdges map[string]map[string]WeightSource stringShortestPaths ShortestPathWeight
}// NewGraph creates a new graph with given vertices and edges.
func NewGraph(vertices []string, edges map[string]map[string]Weight, source string) *Graph {return Graph{Vertices: vertices,Edges: edges,Source: source,ShortestPaths: make(ShortestPathWeight),}
}// InitializeShortestPaths initializes the shortest path weights from the source.
func (g *Graph) InitializeShortestPaths() {for _, v : range g.Vertices {if v g.Source {g.ShortestPaths[v] 0} else {g.ShortestPaths[v] Infinity}}
}// Relax relaxes the edge (u, v) if a shorter path is found.
func (g *Graph) Relax(u, v string, weight Weight) {if g.ShortestPaths[u] weight g.ShortestPaths[v] {g.ShortestPaths[v] g.ShortestPaths[u] weight}
}// VerifyTriangleInequality verifies the triangle inequality for all edges.
func (g *Graph) VerifyTriangleInequality() bool {for u, neighbors : range g.Edges {for v, weight : range neighbors {if g.ShortestPaths[u] ! NegativeInfinity g.ShortestPaths[v] ! Infinity {if g.ShortestPaths[u] g.ShortestPaths[v]weight {return false}}}}return true
}func main() {vertices : []string{s, u, v}edges : map[string]map[string]Weight{s: {u: 10},u: {v: 5},v: {},}source : sgraph : NewGraph(vertices, edges, source)graph.InitializeShortestPaths()// Relax edges to find shortest pathsgraph.Relax(s, u, 10)graph.Relax(u, v, 5)fmt.Println(Shortest Paths:, graph.ShortestPaths)fmt.Println(Triangle Inequality Verified:, graph.VerifyTriangleInequality())
}解释
Weight 类型: 定义了一个 Weight 类型它可以表示有限值、正无穷大和负无穷大。Graph 结构体: 表示一个带权重的有向图包含顶点、边、源结点和最短路径权重。InitializeShortestPaths 方法: 初始化从源结点到所有顶点的最短路径权重。Relax 方法: 松弛边更新最短路径权重。VerifyTriangleInequality 方法: 验证所有边是否满足改进后的三角不等式。main 函数: 创建图并初始化最短路径权重松弛边验证三角不等式。
通过这种方式我们可以确保在处理最短路径权重为 ( \infty ) 和 ( -\infty ) 的情况下三角不等式仍然成立。
智谱清言
在处理最短路径权重为 ∞ ∞ ∞ 和 − ∞ -∞ −∞ 的情况时我们需要首先明确几个前提 如果源结点 s s s 到任何结点 u u u 的最短路径权重 δ ( s , u ) δ(s,u) δ(s,u) 为 ∞ ∞ ∞那么这意味着在图中不存在从 s s s 到 u u u 的路径。 在大多数图算法中权重 − ∞ -∞ −∞ 不是一个有效的权重因为它会导致算法的不确定性。通常我们假设权重函数 w w w 的值域是实数集中的有限值。 然而如果我们必须处理 ∞ ∞ ∞ 和 − ∞ -∞ −∞ 的情况我们可以对引理 24.10 的证明进行以下修改 当 δ ( s , u ) ∞ δ(s,u) ∞ δ(s,u)∞ 时不等式 δ ( s , u ) ⩽ δ ( s , u ) w ( u , v ) δ(s,u)⩽δ(s,u) w(u,v) δ(s,u)⩽δ(s,u)w(u,v) 自然成立因为 ∞ ∞ ∞ 加上任何数仍然是 ∞ ∞ ∞。 当 δ ( s , u ) − ∞ δ(s,u) -∞ δ(s,u)−∞ 时不等式可能不成立因为 − ∞ -∞ −∞ 加上一个正数会变成一个小于 − ∞ -∞ −∞ 的数。然而通常我们不会在图中使用 − ∞ -∞ −∞ 作为权重因此这种情况在现实中不太可能出现。 以下是使用 Go 语言编写的代码示例它考虑了 ∞ ∞ ∞ 的情况
package main
import (fmtmath
)
// Edge represents a directed edge with a weight.
type Edge struct {from stringto stringweight float64
}
// Graph represents a weighted directed graph.
type Graph struct {edges map[string][]Edge
}
// NewGraph creates a new Graph.
func NewGraph() *Graph {return Graph{edges: make(map[string][]Edge),}
}
// AddEdge adds a new edge to the graph.
func (g *Graph) AddEdge(from, to string, weight float64) {g.edges[from] append(g.edges[from], Edge{from: from, to: to, weight: weight})
}
// ShortestPath calculates the shortest path from source to target.
func (g *Graph) ShortestPath(source, target string) float64 {dist : make(map[string]float64)for node : range g.edges {dist[node] math.Inf(1) // Initialize distances with infinity}dist[source] 0 // Distance to the source is 0// Relax edges repeatedlyfor {updated : falsefor _, edges : range g.edges {for _, edge : range edges {if dist[edge.from] ! math.Inf(1) dist[edge.from]edge.weight dist[edge.to] {dist[edge.to] dist[edge.from] edge.weightupdated true}}}if !updated {break}}return dist[target]
}
func main() {g : NewGraph()g.AddEdge(s, u, 1)g.AddEdge(u, v, 2)g.AddEdge(s, v, 4) // This edge should not be used in the shortest path from s to v// Check the triangle inequalitydistSU : g.ShortestPath(s, u)distUV : g.ShortestPath(u, v)distSV : g.ShortestPath(s, v)// Check if the triangle inequality holds, considering infinityif distSV distSUdistUV || math.IsInf(distSU, 1) || math.IsInf(distUV, 1) {fmt.Println(Triangle inequality holds.)} else {fmt.Println(Triangle inequality does not hold.)}
}在上述代码中我们首先初始化所有结点的最短路径为 ∞ ∞ ∞然后通过重复放松边来计算最短路径。在检查三角不等式时我们考虑了 ∞ ∞ ∞ 的情况。如果 δ ( s , u ) δ(s,u) δ(s,u) 或 δ ( u , v ) δ(u,v) δ(u,v) 为 ∞ ∞ ∞则不等式自然成立。如果都不是 ∞ ∞ ∞我们再比较它们的大小。
天工
分析问题 首先原引理中的三角不等式在常规情况下成立。当要处理最短路径权重为(∞)和(-∞)的情况时需要重新审视不等式中的各项含义。对于(∞)的情况如果(\delta(s, u)\infty)那么(\delta(s, u)w(u, v)\infty)当(w(u, v))为有限值时不等式依然成立。如果(w(u, v)\infty)也需要相应处理。对于(-∞)的情况当(\delta(s, u)-\infty)或者(w(u, v)-\infty)时不等式的形式需要特殊处理因为涉及到负无穷的加法运算。 改善证明思路不涉及代码 当(\delta(s, u)\infty)时 如果(w(u, v))是有限值那么(\delta(s, u)w(u, v)\infty)显然(\delta(s, u)\leqslant\delta(s, u)w(u, v))成立。如果(w(u, v)\infty)同样(\delta(s, u)\leqslant\delta(s, u)w(u, v))成立。 当(\delta(s, u)-\infty)时 如果(w(u, v))是有限值(\delta(s, u)w(u, v)-\infty)不等式(\delta(s, u)\leqslant\delta(s, u)w(u, v))成立两边都是(-\infty)。如果(w(u, v)-\infty)根据最短路径的定义和三角不等式的含义在有向图的路径权重定义下需要重新定义这种情况下不等式的意义可能需要从图的结构和路径可达性角度去解释不等式依然成立例如从源点(s)到(u)的最短路径权重已经是负无穷再加上到(v)的边权重整体路径权重仍然是负无穷或者更负不等式在这种广义的路径权重概念下成立。 当(\delta(s, u))为有限值时 如果(w(u, v))是有限值原证明方法基本适用只是需要明确在处理(∞)和(-∞)情况的框架下这种常规情况的位置。如果(w(u, v)\infty)则(\delta(s, u)w(u, v)\infty)(\delta(s, u)\leqslant\delta(s, u)w(u, v))成立。如果(w(u, v)-\infty)类似前面(\delta(s, u)-\infty)的情况去处理从路径权重的广义概念和图结构角度确保不等式成立。 Go语言代码示例假设图的结构已经定义并且有计算(\delta)函数等相关函数
package main// 假设这里有图的结构体定义以及相关的函数来获取边的权重和计算delta等// 这里只是一个伪代码框架实际需要根据完整的图结构定义来完善
func checkTriangleInequality(s int, u int, v int, graph Graph) bool {delta_su : calculateDelta(s, u, graph)weight_uv : getWeight(u, v, graph)if delta_su float64(163 - 1) {// 处理delta(s,u)为正无穷的情况if weight_uv float64(163 - 1) {return true}return true} else if delta_su float64(-163) {// 处理delta(s,u)为负无穷的情况if weight_uv float64(-163) {// 根据前面的分析处理这种情况return true}return true} else {// 常规情况delta_sv : calculateDelta(s, v, graph)if delta_su delta_suweight_uv {return true}return false}
}请注意上述代码中的Graph类型、calculateDelta函数和getWeight函数需要根据实际的图结构定义来实现。这个代码只是为了展示在处理(∞)和(-∞)情况时的大致框架。
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引理 24.10 的三角不等式可以表述为在一个带权重的有向图中源节点 ( s ) 到节点 ( u ) 的最短路径权重应当小于或等于从 ( s ) 到 ( u )、再加上从 ( u ) 到 ( v ) 的边的权重。这一定理本质上依赖于路径的加法性质并且对于所有的节点及其之间的边有效。
要考虑最短路径权重为 ( \infty ) 和 ( -\infty ) 的情况我们需要首先确定这些权重的意义 最短路径权重为 ( \infty )表示从源节点 ( s ) 到节点 ( u ) 不可达因此 ( \delta(s, u) \infty )。在这种情况下任何加法 ( \delta(s, u) w(u, v) ) 的结果也会是 ( \infty )因此不等式仍然成立因为 [ \infty \leq \infty ] 并且如果 ( \delta(s, u) \infty ) 且 ( w(u, v) ) 是有限值那么结果为 ( \infty ) 不等于真实路径的情况是讨论的一种边界情况。 最短路径权重为 ( -\infty )表示存在路径可达性问题通常会出现在有负权重环的情况下。这种情况下我们常常会令最短路径标志为 ( -\infty ) 意味着在某个点之后开始无限缩小路径的权重因此对于所有延展的路径构造出不等式的方式需要小心。
因此在处理这些情况时对引理 24.10 的表达和证明可以考虑如下逻辑
改进的引理证明
对于每一条边 ( (u, v) \in E )我们考虑以下几种情况 假设 ( \delta(s, u) \infty ) 由于 ( \delta(s, u) ) 是不可达的那么对于任何值 ( w(u, v) ), [ \delta(s, u) w(u, v) \infty w(u, v) \infty ] 不等式自然成立。 假设 ( \delta(s, u) -\infty ) 由于这里实际上意味着到达的路径存在负环可形成无穷下降因此所有后续添加 ( w(u, v) ) 的边也将导致总体路径权重趋近于负无穷保持不等式成立。 假设 ( \delta(s, u) ) 和 ( w(u, v) ) 是有限值 传统的三角不等式依旧成立 [ \delta(s, u) w(u, v) \text{ 结果也将是凡是 } \delta(s, v) \text{ 的可达性无影响} ]
这种讨论确保了不等式在所有情况下均成立。
Go 语言实现
以下是简单的 Go 实现可以帮助判断并在图中采用三角不等式进行更新
package mainimport (fmtmath
)const inf math.Inf(1) // 定义正无穷
const negInf math.Inf(-1) // 定义负无穷// Graph 存储图的结构
type Graph struct {vertices intedges [][]float64
}// NewGraph 创建一个新图
func NewGraph(v int) *Graph {g : Graph{vertices: v}g.edges make([][]float64, v)for i : range g.edges {g.edges[i] make([]float64, v)for j : range g.edges[i] {g.edges[i][j] inf // 初始化为无穷大}}return g
}// AddEdge 添加边到图
func (g *Graph) AddEdge(u, v int, weight float64) {g.edges[u][v] weight
}// FloydWarshall 实现 Floyd-Warshall 算法
func (g *Graph) FloydWarshall() [][]float64 {dist : make([][]float64, g.vertices)for i : range dist {dist[i] make([]float64, g.vertices)copy(dist[i], g.edges[i])}for k : 0; k g.vertices; k {for i : 0; i g.vertices; i {for j : 0; j g.vertices; j {if dist[i][k] ! inf dist[k][j] ! inf {dist[i][j] min(dist[i][j], dist[i][k]dist[k][j])}}}}return dist
}// min 辅助函数返回最小值
func min(a, b float64) float64 {if a b {return a}return b
}func main() {g : NewGraph(4)g.AddEdge(0, 1, 3)g.AddEdge(1, 2, 4)g.AddEdge(2, 3, 2)g.AddEdge(0, 3, 10)g.AddEdge(3, 1, -6) // 负环边distances : g.FloydWarshall()for i : range distances {for j : range distances[i] {if distances[i][j] inf {fmt.Print(∞ )} else {fmt.Printf(%v , distances[i][j])}}fmt.Println()}
}说明
图的创建与边的添加部分如上实现通过 FloydWarshall 方法计算所有节点之间的最短路径请注意可以增强打印自动识别达到 ∞ 的情况。该方法可以进一步调整以融入更复杂的边权处理逻辑。
kimi
要证明引理 24.10三角不等式可以处理最短路径权重为 ( \infty ) 和 ( -\infty ) 的情况我们需要考虑这些特殊情况对不等式的影响。
引理 24.10三角不等式的一般形式
设 ( G (V, E) ) 为一个带权重的有向图其权重函数由 ( w: E \to \mathbb{R} ) 给出其源结点为 ( s )。那么对于所有的边 ( (u, v) \in E )我们有 [ \delta(s, u) \leq \delta(s, u) w(u, v) ]
特殊情况下的考虑 最短路径权重为 ( \infty ) 如果 ( \delta(s, u) \infty )那么不等式 ( \delta(s, u) \leq \delta(s, u) w(u, v) ) 总是成立因为 ( \infty w(u, v) \infty ) 对于任何实数 ( w(u, v) ) 都成立。 最短路径权重为 ( -\infty ) 如果 ( \delta(s, u) -\infty )那么不等式 ( \delta(s, u) \leq \delta(s, u) w(u, v) ) 总是成立因为 ( -\infty \leq -\infty w(u, v) ) 对于任何实数 ( w(u, v) ) 都成立。
证明的改善
为了处理这些特殊情况我们可以将引理 24.10 重新表述为 [ \delta(s, u) \leq \delta(s, u) w(u, v) ] 其中 ( \delta(s, u) ) 可以是任何实数包括 ( \infty ) 和 ( -\infty )。
Go 语言实现
在 Go 语言中我们可以使用 math.Inf 来表示 ( \infty ) 和 ( -\infty )。以下是如何在 Go 中实现这个不等式的示例
package mainimport (fmtmath
)// 定义最短路径权重类型
type PathWeight float64// 检查三角不等式是否成立
func checkTriangleInequality(deltaSU, wUV PathWeight) bool {return deltaSU deltaSU wUV
}func main() {// 示例权重deltaSU : PathWeight(math.Inf(1)) // 表示无穷大wUV : PathWeight(5)// 检查不等式if checkTriangleInequality(deltaSU, wUV) {fmt.Println(三角不等式成立:, deltaSU, , deltaSUwUV)} else {fmt.Println(三角不等式不成立)}// 示例权重deltaSU PathWeight(math.Inf(-1)) // 表示负无穷大wUV PathWeight(5)// 检查不等式if checkTriangleInequality(deltaSU, wUV) {fmt.Println(三角不等式成立:, deltaSU, , deltaSUwUV)} else {fmt.Println(三角不等式不成立)}
}这段代码展示了如何在 Go 语言中处理最短路径权重为 ( \infty ) 和 ( -\infty ) 的情况并验证三角不等式是否成立。
混元
为了处理最短路径权重为 ∞ ∞ ∞ 和 − ∞ -∞ −∞ 的情况我们需要对引理 24.10 的证明进行一些调整。具体来说我们需要确保在计算最短路径时正确处理这些特殊情况。
以下是改进后的引理 24.10 的证明并附带 Go 语言代码实现
改进后的引理 24.10 证明 初始化 设 δ ( s , s ) 0 δ(s,s) 0 δ(s,s)0。对于所有 v ∈ V v ∈ V v∈V 且 v ≠ s v ≠ s vs设 δ ( s , v ) ∞ δ(s,v) ∞ δ(s,v)∞。对于所有 v ∈ V v ∈ V v∈V设 δ ( s , v ) − ∞ δ(s,v) -∞ δ(s,v)−∞ 如果存在一条从 s s s 到 v v v 的路径其权重为负无穷。 三角不等式 对于所有的边 ( u , v ) ∈ E (u,v) ∈ E (u,v)∈E我们需要证明 δ ( s , u ) ≤ δ ( s , u ) w ( u , v ) δ(s,u) ≤ δ(s,u) w(u,v) δ(s,u)≤δ(s,u)w(u,v)。 处理特殊情况 如果 δ ( s , u ) ∞ δ(s,u) ∞ δ(s,u)∞ 或 w ( u , v ) ∞ w(u,v) ∞ w(u,v)∞则 δ ( s , u ) w ( u , v ) ∞ δ(s,u) w(u,v) ∞ δ(s,u)w(u,v)∞显然 δ ( s , u ) ≤ ∞ δ(s,u) ≤ ∞ δ(s,u)≤∞。如果 δ ( s , u ) − ∞ δ(s,u) -∞ δ(s,u)−∞ 或 w ( u , v ) − ∞ w(u,v) -∞ w(u,v)−∞则 δ ( s , u ) w ( u , v ) − ∞ δ(s,u) w(u,v) -∞ δ(s,u)w(u,v)−∞显然 δ ( s , u ) ≤ − ∞ δ(s,u) ≤ -∞ δ(s,u)≤−∞。如果 δ ( s , u ) δ(s,u) δ(s,u) 和 w ( u , v ) w(u,v) w(u,v) 都是有限值则直接应用三角不等式 δ ( s , u ) ≤ δ ( s , u ) w ( u , v ) δ(s,u) ≤ δ(s,u) w(u,v) δ(s,u)≤δ(s,u)w(u,v)。
Go 语言代码实现
package mainimport (fmtmath
)const (inf math.Inf(1)negInf math.Inf(-1)
)type Edge struct {to intweight float64
}func shortestPath(graph [][]Edge, source int) []float64 {n : len(graph)dist : make([]float64, n)for i : range dist {if i source {dist[i] 0} else {dist[i] inf}}for i : range graph {for _, edge : range graph[i] {if dist[i]edge.weight dist[edge.to] {dist[edge.to] dist[i] edge.weight}}}return dist
}func main() {graph : [][]Edge{{{to: 1, weight: 1}, {to: 2, weight: 4}},{{to: 2, weight: 2}, {to: 3, weight: 5}},{{to: 3, weight: 1}},{},}source : 0dist : shortestPath(graph, source)for i, d : range dist {if d inf {fmt.Printf(Distance from %d to %d is ∞\n, source, i)} else if d negInf {fmt.Printf(Distance from %d to %d is -∞\n, source, i)} else {fmt.Printf(Distance from %d to %d is %.2f\n, source, i, d)}}
}解释 初始化 dist 数组初始化为 ∞ ∞ ∞源节点的距离为 0 0 0。 更新距离 使用 Bellman-Ford 算法更新每个节点的最短路径距离。如果发现更短的路径则更新距离。 处理特殊情况 在输出结果时检查距离是否为 ∞ ∞ ∞ 或 − ∞ -∞ −∞并相应地输出。
通过这种方式我们可以确保引理 24.10 的证明能够处理最短路径权重为 ∞ ∞ ∞ 和 − ∞ -∞ −∞ 的情况。
