云南网站设计哪家好,wordpress页码,金融网站建设成功案例,wordpress头像代码三维向量旋转 问题描述问题分析 v ⃗ ∣ ∣ \vec{v}_{||} v ∣∣的旋转 v ⃗ ⊥ \vec{v}_{\bot} v ⊥的旋转 v ⃗ \vec{v} v 的旋转结论致谢 问题描述
如图1所示#xff0c;设一个向量 v ⃗ \vec{v} v 绕另一个向量 u ⃗ [ x , y , z ] T \vec{u}[x,y,z]^{T} u [x,y,z]T… 三维向量旋转 问题描述问题分析 v ⃗ ∣ ∣ \vec{v}_{||} v ∣∣的旋转 v ⃗ ⊥ \vec{v}_{\bot} v ⊥的旋转 v ⃗ \vec{v} v 的旋转结论致谢 问题描述
如图1所示设一个向量 v ⃗ \vec{v} v 绕另一个向量 u ⃗ [ x , y , z ] T \vec{u}[x,y,z]^{T} u [x,y,z]T旋转 θ 度变换到 v ⃗ ′ \vec{v}^{} v ′。 求旋转后得到的向量 v ⃗ ′ \vec{v}^{} v ′的表示形式。
图1 三维向量旋转示意图 问题分析
由于转轴 u ⃗ \vec{u} u 的模长 ∣ ∣ u ⃗ ∣ ∣ ||\vec{u}|| ∣∣u ∣∣对旋转结果没有影响所以可以假设 ∣ ∣ u ⃗ ∣ ∣ 1 ||\vec{u}||1 ∣∣u ∣∣1。 可以将 v ⃗ \vec{v} v 分解为平行于旋转轴 u ⃗ \vec{u} u 以及正交垂直于 u ⃗ \vec{u} u 的两个分量 v ⃗ ∣ ∣ \vec{v}_{||} v ∣∣和 v ⃗ ⊥ \vec{v}_{\bot} v ⊥即 v ⃗ v ⃗ ∣ ∣ v ⃗ ⊥ \vec{v}\vec{v}_{||}\vec{v}_{\bot} v v ∣∣v ⊥ 可以分别旋转这两个分向量再将它们旋转的结果相加获得旋转后的向量 v ⃗ ′ v ⃗ ∣ ∣ ′ v ⃗ ⊥ ′ \vec{v}^{}\vec{v}_{||}^{}\vec{v}_{\bot}^{} v ′v ∣∣′v ⊥′
图2 将 v ⃗ \vec{v} v 分解为平行于旋转轴 u ⃗ \vec{u} u 以及正交垂直于 u ⃗ \vec{u} u 的两个分量 可以看到 v ⃗ ∣ ∣ \vec{v}_{||} v ∣∣其实就是 v ⃗ \vec{v} v 在 u ⃗ \vec{u} u 上的正交投影根据正交投影的公式可以得出 v ⃗ ∣ ∣ u ⃗ ⋅ v ⃗ u ⃗ ⋅ u ⃗ u ⃗ u ⃗ ⋅ v ⃗ ∣ ∣ u ⃗ ∣ ∣ 2 u ⃗ \vec{v}_{||} \frac{\vec{u}\cdot\vec{v}}{\vec{u}\cdot\vec{u}}\vec{u}\frac{\vec{u}\cdot\vec{v}}{||\vec{u}||^{2}}\vec{u} v ∣∣u ⋅u u ⋅v u ∣∣u ∣∣2u ⋅v u 根据 ∣ ∣ u ⃗ ∣ ∣ 1 ||\vec{u}||1 ∣∣u ∣∣1可得 v ⃗ ∣ ∣ ( u ⃗ ⋅ v ⃗ ) u ⃗ \vec{v}_{||} (\vec{u}\cdot\vec{v})\vec{u} v ∣∣(u ⋅v )u 因为 v ⃗ v ⃗ ∣ ∣ v ⃗ ⊥ \vec{v}\vec{v}_{||}\vec{v}_{\bot} v v ∣∣v ⊥所以 v ⃗ ⊥ v ⃗ − v ⃗ ∣ ∣ v ⃗ − ( u ⃗ ⋅ v ⃗ ) u ⃗ \vec{v}_{\bot} \vec{v}-\vec{v}_{||} \vec{v}-(\vec{u}\cdot\vec{v})\vec{u} v ⊥v −v ∣∣v −(u ⋅v )u 分别求 v ⃗ ∣ ∣ \vec{v}_{||} v ∣∣和 v ⃗ ⊥ \vec{v}_{\bot} v ⊥的旋转结果就能得到 v ⃗ \vec{v} v 的旋转结果。 v ⃗ ∣ ∣ \vec{v}_{||} v ∣∣的旋转
这种情况其实非常简单从图2中就可以看到 v ⃗ ∣ ∣ \vec{v}_{||} v ∣∣其实根本就没有被旋转仍然与旋转轴 u ⃗ \vec{u} u 重合所以 当 v ⃗ ∣ ∣ \vec{v}_{||} v ∣∣平行于旋转轴 u ⃗ \vec{u} u 时旋转 θ 角度之后的 v ⃗ ∣ ∣ ′ \vec{v}_{||}^{} v ∣∣′为 v ⃗ ∣ ∣ ′ v ⃗ ∣ ∣ \vec{v}_{||}^{}\vec{v}_{||} v ∣∣′v ∣∣ v ⃗ ⊥ \vec{v}_{\bot} v ⊥的旋转
因为 v ⃗ ⊥ \vec{v}_{\bot} v ⊥与 u ⃗ \vec{u} u 的是正交的这个旋转可以看做是平面内的一个旋转。因为旋转不改变 v ⃗ ⊥ \vec{v}_{\bot} v ⊥的长度所以旋转路径是一个圆。下面是这个旋转的示意图右侧的为俯视图
图3 v ⃗ \vec{v} v 绕轴 u ⃗ \vec{u} u 旋转的俯视图 现在3D 的旋转被转化为了 2D 平面上的旋转由于在这个平面上们只有一个向量 v ⃗ ⊥ \vec{v}_{\bot} v ⊥用它来表示一个旋转是不够的还需要构造一个同时正交于 u ⃗ \vec{u} u 和 v ⃗ ⊥ \vec{v}_{\bot} v ⊥的向量 w ⃗ \vec{w} w 这个可以通过叉乘来获得 w ⃗ u ⃗ × v ⃗ ⊥ \vec{w}\vec{u}×\vec{v}_{\bot} w u ×v ⊥ 注意叉乘的顺序因为使用的是右手坐标系统按照右手定则可以发现这个新的向量 w ⃗ \vec{w} w 指向 v ⃗ ⊥ \vec{v}_{\bot} v ⊥逆时针旋转 /2 后的方向并且和 v ⃗ ⊥ \vec{v}_{\bot} v ⊥一样也处于正交于 u ⃗ \vec{u} u 的平面内因为 ∣ ∣ u ⃗ ∣ ∣ 1 ||\vec{u}||1 ∣∣u ∣∣1可以发现 ∣ ∣ w ⃗ ∣ ∣ ∣ ∣ u ⃗ × v ⃗ ⊥ ∣ ∣ ∣ ∣ u ⃗ ∣ ∣ ⋅ ∣ ∣ v ⃗ ⊥ ∣ ∣ ⋅ s i n ( π / 2 ) ∣ ∣ v ⃗ ⊥ ∣ ∣ ||\vec{w}||||\vec{u}×\vec{v}_{\bot}||||\vec{u}||\cdot||\vec{v}_{\bot}||\cdot sin(\pi/2)||\vec{v}_{\bot}|| ∣∣w ∣∣∣∣u ×v ⊥∣∣∣∣u ∣∣⋅∣∣v ⊥∣∣⋅sin(π/2)∣∣v ⊥∣∣ 也就是说 w ⃗ \vec{w} w 和 v ⃗ ⊥ \vec{v}_{\bot} v ⊥的模长是相同的所以 w ⃗ \vec{w} w 也位于圆上有了这个新的向量 w ⃗ \vec{w} w 就相当于在平面内有了两个坐标轴我们现在可以把 v ⃗ ⊥ ′ \vec{v}_{\bot}^{} v ⊥′投影到 w ⃗ \vec{w} w 和 v ⃗ ⊥ \vec{v}_{\bot} v ⊥上将其分解为 v ⃗ v ′ \vec{v}_{v}^{} v v′和 v ⃗ w ′ \vec{v}_{w}^{} v w′。使用三角学的知识就能得到 v ⃗ ⊥ ′ v ⃗ v ′ v ⃗ w ′ c o s ( θ ) v ⃗ ⊥ s i n ( θ ) w ⃗ c o s ( θ ) v ⃗ ⊥ s i n ( θ ) ( u ⃗ × v ⃗ ⊥ ) \vec{v}_{\bot}^{}\vec{v}_{v}^{}\vec{v}_{w}^{}cos(\theta)\vec{v}_{\bot}sin(\theta)\vec{w}cos(\theta)\vec{v}_{\bot}sin(\theta)(\vec{u}×\vec{v}_{\bot}) v ⊥′v v′v w′cos(θ)v ⊥sin(θ)w cos(θ)v ⊥sin(θ)(u ×v ⊥) 这也就完成了旋转的第二步可以得到这样一个定理 当 v ⃗ ⊥ \vec{v}_{\bot} v ⊥正交于旋转轴 u ⃗ \vec{u} u 时旋转 θ 角度之后的 v ⃗ ⊥ ′ \vec{v}_{\bot}^{} v ⊥′为 v ⃗ ⊥ ′ c o s ( θ ) v ⃗ ⊥ s i n ( θ ) ( u ⃗ × v ⃗ ⊥ ) \vec{v}_{\bot}^{}cos(\theta)\vec{v}_{\bot}sin(\theta)(\vec{u}×\vec{v}_{\bot}) v ⊥′cos(θ)v ⊥sin(θ)(u ×v ⊥) v ⃗ \vec{v} v 的旋转
将上面的两个结果组合就可以获得 v ⃗ ′ v ⃗ ∣ ∣ ′ v ⃗ ⊥ ′ v ⃗ ∣ ∣ c o s ( θ ) v ⃗ ⊥ s i n ( θ ) ( u ⃗ × v ⃗ ⊥ ) \vec{v}^{}\vec{v}_{||}^{}\vec{v}_{\bot}^{}\vec{v}_{||}cos(\theta)\vec{v}_{\bot}sin(\theta)(\vec{u}×\vec{v}_{\bot}) v ′v ∣∣′v ⊥′v ∣∣cos(θ)v ⊥sin(θ)(u ×v ⊥) 因为叉乘遵守分配律 u ⃗ × v ⃗ ⊥ u ⃗ × ( v ⃗ − v ⃗ ∥ ∣ ) u ⃗ × v ⃗ − u ⃗ × v ⃗ ∥ ∣ u ⃗ × v ⃗ \vec{u}×\vec{v}_{\bot} \vec{u}×(\vec{v}-\vec{v}_{\||}) \vec{u}×\vec{v}-\vec{u}×\vec{v}_{\||} \vec{u}×\vec{v} u ×v ⊥u ×(v −v ∥∣)u ×v −u ×v ∥∣u ×v 最后将 v ⃗ ∣ ∣ ( u ⃗ ⋅ v ⃗ ) u ⃗ \vec{v}_{||} (\vec{u}\cdot\vec{v})\vec{u} v ∣∣(u ⋅v )u 与 v ⃗ ⊥ v ⃗ − ( u ⃗ ⋅ v ⃗ ) u ⃗ \vec{v}_{\bot} \vec{v}-(\vec{u}\cdot\vec{v})\vec{u} v ⊥v −(u ⋅v )u 代入 v ⃗ ′ ( u ⃗ ⋅ v ⃗ ) u ⃗ c o s ( θ ) ( v ⃗ − ( u ⃗ ⋅ v ⃗ ) u ⃗ ) s i n ( θ ) ( u ⃗ × v ⃗ ) c o s ( θ ) v ⃗ ( 1 − c o s ( θ ) ) ( u ⃗ ⋅ v ⃗ ) u ⃗ s i n ( θ ) ( u ⃗ × v ⃗ ) \vec{v}^{} (\vec{u}\cdot\vec{v})\vec{u}cos(\theta)(\vec{v}-(\vec{u}\cdot\vec{v})\vec{u})sin(\theta)(\vec{u}×\vec{v}) \\cos(\theta)\vec{v}(1-cos(\theta))(\vec{u}\cdot\vec{v})\vec{u}sin(\theta)(\vec{u}×\vec{v}) v ′(u ⋅v )u cos(θ)(v −(u ⋅v )u )sin(θ)(u ×v )cos(θ)v (1−cos(θ))(u ⋅v )u sin(θ)(u ×v )
结论
3D 向量旋转公式向量型一般情况也叫做「Rodrigues’ Rotation Formula」 3D 空间中任意一个向量 v ⃗ \vec{v} v 沿着单位向量 u ⃗ \vec{u} u 旋转 θ 角度之后得到的向量 v ⃗ ′ \vec{v}^{} v ′为 v ⃗ ′ c o s ( θ ) v ⃗ ( 1 − c o s ( θ ) ) ( u ⃗ ⋅ v ⃗ ) u ⃗ s i n ( θ ) ( u ⃗ × v ⃗ ) \vec{v}^{}cos(\theta)\vec{v}(1-cos(\theta))(\vec{u}\cdot\vec{v})\vec{u}sin(\theta)(\vec{u}×\vec{v}) v ′cos(θ)v (1−cos(θ))(u ⋅v )u sin(θ)(u ×v )
致谢
本文主要参考https://github.com/Krasjet/quaternion
