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小学奥数
假设全是鸡#xff0c;则有 14 2 28 14 \time…灵感来自bilibili巨佬
我们有 14 14 14 个头 32 32 32 只脚所有鸡和兔都没有变异头和脚都完整没有数错。还有什么 Bug 吗
小学奥数
假设全是鸡则有 14 × 2 28 14 \times 2 28 14×228 只脚。
但是少了 4 4 4 只脚因为我们看到一只兔子就施展膜法将其变成了鸡导致所有兔子都变成了鸡。
每只兔子变成鸡头数不变少了两只脚所以有 4 ÷ 2 2 4 \div 2 2 4÷22 只兔子有 14 − 2 12 14 - 2 12 14−212 只鸡。
初中
鸡爷解设有 x x x 只鸡 y y y 只兔。
则有 { x y 14 2 x 4 y 32 \begin{cases} xy14 \\ 2x4y32 \end{cases} {xy142x4y32
解得过程太简单不写了 自行高斯消元 { x 12 y 2 \begin{cases} x12 \\ y2 \end{cases} {x12y2
进入正题已经完全了解矩阵的神犇跳到最后
线性变换线性映射是什么一个函数输入输出都是向量满足如下性质 f ( k x ⃗ ) k f ( x ⃗ ) f ( x ⃗ y ⃗ ) f ( x ⃗ ) f ( y ⃗ ) \begin{aligned} f(k\vec x)kf(\vec x) \\ f(\vec x \vec y) f(\vec x) f(\vec y) \end{aligned} f(kx )f(x y )kf(x )f(x )f(y )
这个 f f f 就是一个线性映射通常记为 A A A。
向量是什么一个 vector还不懂吗。哦读者可能不是 C艹 党所以说一下向量就是一系列数类似我们幼儿园就学过的数对。
向量也可以用来表示一个点学习时通常是 2 2 2 维或 3 3 3 维的
----------------
| | | | H | | | |
--------------O--
| | | | H | | | |
----------------
| | | | H | | | || | | | H | | | |
----------------
| | | | H | | | |
----------------
| | | | H | | | |
----------------- 和 | 是坐标轴 是 x x x 轴H 是 y y y 轴每条小线段长度为 1 1 1
我们要表示图中的 O 点就可以用数对注意到 O 点在第 3 3 3 列第 2 2 2 行所以可以表示为 ( 3 , 2 ) (3, 2) (3,2)。
如果我们想换种方法呢 [ 3 2 ] \begin{bmatrix} 3 \\ 2 \end{bmatrix} [32]
记为 O ⃗ \vec{O} O 怎么样 O O O 是名字上面的箭头 ⃗ \vec{} 表示它是一个向量。
实际上向量可以理解为一个点也可以理解为一条从原点指向某个点的箭头。
向量的数乘就是一个数字乘上一个向量就是把这个向量的长度乘上这个数也就是把 x x x 和 y y y 坐标分别乘上这个数。
向量的加法两个向量之和就是把两个向量头尾拼起来然后记录它们最终指向的点它们的和就是这个点。
是不是感觉和复数有点像没错复数可以表示向量但是仅限二维然而向量可以是三维四维一维零维甚至 114514 114514 114514 维我乱说的和 12288 12288 12288 维据说 GPT 内部的向量就是这个。
现在我们有一个神奇的线性映射 A A A作用是把向量的长度乘 2 2 2。容易验证它满足线性映射的条件。
则对 O ⃗ \vec{O} O 进行 A A A 映射会怎么样原本要记作 A ( O ⃗ ) A(\vec{O}) A(O ) 的但是我们可以省略括号真的吗函数也可以吗记作 A O ⃗ A\vec{O} AO 不管你是怎么想的反正目前数学界就是这么写的也可以记作 A A A 和 O ⃗ \vec{O} O 的积也就是它们相乘的结果。
其实一个线性映射就是一个矩阵它的具体含义暂且不谈这里只需要知道两个矩阵相乘就是两个矩阵相继作用的结果比如 A A A 和 B B B 相乘就是 A B AB AB表示先进行 B B B 变换再进行 A A A 变换很奇怪但是函数不就是这样的吗 A ( B ( u ⃗ ) ) A(B(\vec{u})) A(B(u )) 嘛省略掉括号。
我们来看看这种运算是否满足交换律结合律显然满足分配律因为就是定义 f ( g ( x ) ) ̸ g ( f ( x ) ) f(g(x)) \not g(f(x)) f(g(x))g(f(x))不满足交换律 f ( g ( h ( x ) ) ) f ( g ( h ( x ) ) ) f(g(h(x))) f(g(h(x))) f(g(h(x)))f(g(h(x)))满足结合律
不过好像有点不太好我们来详细地说一下。 ( A B ) C A ( B C ) (AB)C A(BC) (AB)CA(BC)
对于前者依次进行 C C C B B B A A A 变换。
对于后者依次进行 C C C B B B A A A 变换。
有什么可以证明的
接下来讲讲矩阵里面具体是什么。
对于一个二维空间所有点都可以由两个向量 u ⃗ \vec{u} u 和 v ⃗ \vec{v} v 分别乘上两个数 a a a 和 b b b 的和得到具体来讲是 x ⃗ a u ⃗ b v ⃗ \vec{x}a\vec{u}b\vec{v} x au bv 。
通常这个 u ⃗ \vec{u} u 就是 [ 1 0 ] \begin{bmatrix} 1\\0\end{bmatrix} [10]一条指向正右方的长度为 1 1 1 的向量 v ⃗ \vec{v} v 就是 [ 0 1 ] \begin{bmatrix} 0 \\ 1 \end{bmatrix} [01]而你会惊喜地发现 a a a 和 b b b 就分别是 x x x 坐标和 y y y 坐标而这个向量就记作 [ a b ] \begin{bmatrix} a \\ b \end{bmatrix} [ab]。
而这里的 u ⃗ \vec{u} u 和 v ⃗ \vec{v} v 就称作二维空间中的两个基向量两个二维的基向量可以张成一个二维空间就是可以控制 a a a 和 b b b 到达二维空间上的每一个点这个二维空间记作 s p a n ( u ⃗ , v ⃗ ) \mathrm{span}(\vec{u},\vec{v}) span(u ,v )不过超纲了大小写我也不大记得了。
但如果 u ⃗ \vec{u} u 或者 v ⃗ \vec{v} v 不是这两个向量那么还可不可以这样呢绝大多数无法这样的情况存在但是是一个零测集情况下可以。但是就不会是 x x x 坐标和 y y y 坐标了。
比如加入 u ⃗ [ 3 0 ] \vec{u} \begin{bmatrix} 3 \\ 0 \end{bmatrix} u [30] v ⃗ [ 0 2 ] \vec{v} \begin{bmatrix} 0 \\ 2 \end{bmatrix} v [02]那么这里 a a a 和 b b b 就都是 1 1 1可以记作由我们的新的基向量张成的空间上的点 [ 1 1 ] \begin{bmatrix} 1 \\ 1 \end{bmatrix} [11]此时 a b 1 ab1 ab1。
而一个矩阵就是两个基向量拼起来输入的向量在表达上不变。
具体来讲设原来的通常是由上面提到的最经典的使得 a x , b y ax,by ax,by 的两个基向量空间上有一个向量 u ⃗ \vec{u} u 然后这个矩阵所含有的两个向量张成的空间上找到一个向量 v ⃗ \vec{v} v 使得两个向量字面上一样。
比如原本的空间是这样的两个基向量分别是 [ 1 0 ] \begin{bmatrix} 1 \\ 0 \end{bmatrix} [10] 和 [ 0 1 ] \begin{bmatrix} 0 \\ 1 \end{bmatrix} [01] --------------A--
| | | | H | | | |
----------------
| | | | H | | | |
--------------O--
| | | | H | | | |
----------------
| | | | H | | | || | | | H | | | |
----------------
| | | | H | | | |
----------------
| | | | H | | | |
----------------矩阵的两个向量张成的空间是这样的两个基向量分别是 [ 1 0 ] \begin{bmatrix} 1 \\ 0 \end{bmatrix} [10] 和 [ 0 2 ] \begin{bmatrix} 0 \\ \color{red}2 \end{bmatrix} [02]
----------------
| | | | H | | | |
| | | | H | | | |
--------------P--
| | | | H | | | |
| | | | H | | | |
----------------
| | | | H | | | |
| | | | H | | | || | | | H | | | |
| | | | H | | | |
----------------
| | | | H | | | |
| | | | H | | | |
----------------
| | | | H | | | |
| | | | H | | | |
----------------其中 O 点和 P 点在字面上都是 [ 3 2 ] \begin{bmatrix} 3 \\ 2 \end{bmatrix} [32]但是它们的位置却完全不一样。
而实际上如果把第二个空间直接平移到第一个空间上面使得原点重合线性映射的性质保证了原点必然不变那么 P P P 点会移动到 A A A 点的位置实际上不会因为我画的坐标轴的线是有宽度的实际上不应该有宽度而这个 A A A 点就是这个结果也就是 [ 3 4 ] \begin{bmatrix} 3 \\ 4 \end{bmatrix} [34]。
那么如何计算呢每算一个都画两个网格完全没必要吧没事我们来跟踪一下 x x x 和 y y y设两个基向量为 [ a b ] \begin{bmatrix} a \\ b \end{bmatrix} [ab] 和 [ c d ] \begin{bmatrix} c \\ d \end{bmatrix} [cd]。
那么先看 x x x 坐标原本的基向量的 x x x 分别是 1 1 1 和 0 0 0显然因为右边是 0 0 0所以第一个基向量的系数如果你记忆力还不错的话 a a a就是原本的 x x x而现在变成了 a x ax ax。而第二个基向量的系数为 y y y所以 x x x 又增加了 c y cy cy最终的 x x x 坐标为 a x c y axcy axcy。
再看 y y y 坐标同理是 b x d y bxdy bxdy。
而一个矩阵到底如何表示呢很简单把两个基向量拼到一起即可。
所以我们就得到了公式注意我把各个数的位置调换了一下原本是 [ a c b d ] \begin{bmatrix} a c \\ b d \end{bmatrix} [abcd] [ a b c d ] [ e f ] [ a e b f c e d f ] \begin{bmatrix} a b \\ c d \end{bmatrix} \begin{bmatrix} e \\ f \end{bmatrix} \begin{bmatrix} aebf \\ cedf \end{bmatrix} [acbd][ef][aebfcedf]
鼓掌
那么我们如何计算两个矩阵相继作用的结果也就是它们的积呢 [ a b c d ] [ e f g h ] what? \begin{bmatrix} a b \\ c d \end{bmatrix} \begin{bmatrix} e f \\ g h \end{bmatrix} \text{what?} [acbd][egfh]what?
我们可以看看两个基向量的去向。
首先原本的基向量为 [ e g ] \begin{bmatrix} e \\ g \end{bmatrix} [eg] 和 [ f g ] \begin{bmatrix} f \\ g \end{bmatrix} [fg]。
第一个基向量变换后为 [ a e b g c e d g ] \begin{bmatrix} aebg \\ ce dg\end{bmatrix} [aebgcedg]。
第二个基向量变换后为 $\begin{bmatrix} afbh \ cfdh \end{bmatrix} $。
所以最终的矩阵为 [ a e b g a f b h c e d g c f d h ] \begin{bmatrix} aebg afbh \\ cedg cfdh\end{bmatrix} [aebgcedgafbhcfdh]。
当然多次用矩阵乘法也可以证明结合律试试看会逝世的最好别试
矩阵除法咋办 A B A ⋅ 1 B A B − 1 \dfrac{A}{B}A \cdot \dfrac{1}{B} AB^{-1} BAA⋅B1AB−1
矩阵求逆如何求 A − 1 ? A^{-1}? A−1?。
先介绍一个单位矩阵的概念其实就是多个最纯粹的基向量拼起来。比如二阶单位矩阵为 [ 1 0 0 1 ] \begin{bmatrix} 1 0 \\ 0 1 \end{bmatrix} [1001]三阶单位矩阵为 [ 1 0 0 0 1 0 0 0 1 ] \begin{bmatrix} 1 0 0 \\ 0 1 0 \\ 0 0 1 \end{bmatrix} 100010001 。
介绍一种方法先把这个矩阵和单位矩阵拼起来类似这样$ \left[\begin{array}{c c|c c} ab10 \ cd01 \end{array}\right] $我擦这 KaTeX \KaTeX KATEX 好难打然后进行初等行变换直到左边为单位矩阵类似这样$ \left[\begin{array}{c c|c c} 10ef \ 01gh \end{array}\right] $右边的就是 A A A 的逆。
初等行变换是什么
交换两行记作 r a ↔ r b r_a \leftrightarrow r_b ra↔rb。把一行所有元素同时变成原来的某一倍记作 k r a kr_a kra。把两行元素相加存到这两行中的某一行中记作 r a r b r_ar_b rarb。
其实第三种和第二种结合可以变成一种更厉害的一般用这种
把两行元素同时扩倍不同的相同也可以倍数后相加结果存到这两行中的某一行中记作 k 1 r a k 2 r b k_1r_ak_2r_b k1rak2rb。
于是我们就可以这样干
将鸡兔同笼的矩阵记为 [ 1 1 2 4 ] \begin{bmatrix} 1 1 \\ 2 4 \end{bmatrix} [1214]。
将题目记为 [ 14 32 ] \begin{bmatrix}14 \\ 32 \end{bmatrix} [1432]。
我们对矩阵求个逆 [ 1 1 1 0 2 4 0 1 ] → r 2 − 2 r 1 [ 1 1 1 0 0 2 − 2 1 ] → r 1 − 1 2 r 2 [ 1 0 2 − 1 2 0 2 − 2 1 ] → 1 2 r 2 [ 1 0 2 − 1 2 0 1 − 1 1 2 ] \begin{aligned} \left[\begin{array}{c c|c c} 1110 \\ 2401 \end{array}\right] \\ \xrightarrow{r_2-2r_1} \left[\begin{array}{c c|c c} 1110 \\ 02-21 \end{array}\right] \\ \xrightarrow{r_1-{1 \over 2} r_2} \left[\begin{array}{c c|c c} 102-{1\over 2} \\ 02-21 \end{array}\right] \\ \xrightarrow{{1 \over 2}r_2} \left[\begin{array}{c c|c c} 102-{1\over 2} \\ 01-11 \over 2 \end{array}\right] \end{aligned} r2−2r1 r1−21r2 21r2 [12141001][10121−201][10022−2−211][10012−1−2121] 故逆矩阵为 [ 2 − 1 2 − 1 1 2 ] \begin{bmatrix} 2 -{1 \over 2} \\ -1 1 \over 2 \end{bmatrix} [2−1−2121]。
将逆矩阵乘上 [ 14 32 ] \begin{bmatrix}14 \\ 32 \end{bmatrix} [1432] [ 2 − 1 2 − 1 1 2 ] [ 14 32 ] [ 28 − 16 16 − 14 ] [ 12 2 ] \begin{bmatrix} 2 -{1 \over 2} \\ -1 1 \over 2 \end{bmatrix}\begin{bmatrix}14 \\ 32 \end{bmatrix}\begin{bmatrix}28-16 \\ 16-14 \end{bmatrix}\begin{bmatrix}12 \\ 2 \end{bmatrix} [2−1−2121][1432][28−1616−14][122]
我们成功地用 229 229 229 行 Markdown 代码解出了超级难的鸡兔同笼问题鼓掌
