flash网站模板 asp,小企业网站建设流程,苏州seo公司,app软件制作多少钱在概率论中#xff0c;PMF#xff08;概率质量函数#xff09;、PDF#xff08;概率密度函数#xff09;和CDF#xff08;累积分布函数#xff09;是描述随机变量分布的三个重要概念。它们分别用于不同类型的随机变量#xff0c;并帮助我们理解随机事件的概率特性。本文…在概率论中PMF概率质量函数、PDF概率密度函数和CDF累积分布函数是描述随机变量分布的三个重要概念。它们分别用于不同类型的随机变量并帮助我们理解随机事件的概率特性。本文将详细介绍这些概念及其之间的关系。
PMF: Probability Mass Function 概率质量函数
PDF: Probability Density Function 概率密度函数
CDF: Cumulative Distribution Function 累积分布函数
1. PMF概率质量函数
PMF用于离散型随机变量。离散型随机变量的取值是有限的或可数的即它的可能值是可以一一列举出来的比如掷骰子时的点数1到6。
PMF的定义是对于一个离散型随机变量 X X XPMF P ( X x ) P(X x) P(Xx) 表示随机变量 X X X 取值为 x x x 的概率。具体来说PMF必须满足以下条件 P ( X x ) ≥ 0 P(X x) \geq 0 P(Xx)≥0 对于所有 x x x。 所有可能的值 x x x 的概率之和必须为1即 ∑ x P ( X x ) 1 \sum_{x} P(X x) 1 x∑P(Xx)1
例如在掷一个公平的六面骰子的情况下PMF为 P ( X x ) 1 6 , x 1 , 2 , 3 , 4 , 5 , 6 P(X x) \frac{1}{6}, \quad x 1, 2, 3, 4, 5, 6 P(Xx)61,x1,2,3,4,5,6
2. PDF概率密度函数
PDF用于连续型随机变量。与离散型随机变量不同连续型随机变量的取值是一个区间上的实数例如身高、体重、时间等。对于连续型随机变量 X X X我们无法直接计算 P ( X x ) P(X x) P(Xx)因为在任何单一的点上连续随机变量的概率为0。相反我们用概率密度来描述其概率分布。
PDF的定义是一个随机变量 X X X 的概率密度函数 f X ( x ) f_X(x) fX(x) 满足以下条件 f X ( x ) ≥ 0 f_X(x) \geq 0 fX(x)≥0 对于所有 x x x。 随机变量 X X X 取某个区间 [ a , b ] [a, b] [a,b] 内的值的概率可以通过积分计算 P ( a ≤ X ≤ b ) ∫ a b f X ( x ) d x P(a \leq X \leq b) \int_a^b f_X(x) \, dx P(a≤X≤b)∫abfX(x)dx 此外PDF的整体积分为1即 ∫ − ∞ ∞ f X ( x ) d x 1 \int_{-\infty}^{\infty} f_X(x) \, dx 1 ∫−∞∞fX(x)dx1
常见的PDF包括正态分布、均匀分布、指数分布等。
例如标准正态分布的PDF为 f X ( x ) 1 2 π e − x 2 / 2 f_X(x) \frac{1}{\sqrt{2\pi}} e^{-x^2 / 2} fX(x)2π 1e−x2/2 表示一个标准正态随机变量的概率密度。
3. CDF累积分布函数
CDF是描述随机变量小于或等于某个特定值的概率的函数。对于任意的随机变量 X X X无论是离散的还是连续的其累积分布函数 F X ( x ) F_X(x) FX(x) 定义为 F X ( x ) P ( X ≤ x ) F_X(x) P(X \leq x) FX(x)P(X≤x) CDF具有以下两个主要性质
单调性累积分布函数是单调非降的即 F X ( x 1 ) ≤ F X ( x 2 ) F_X(x_1) \leq F_X(x_2) FX(x1)≤FX(x2) 对于 x 1 ≤ x 2 x_1 \leq x_2 x1≤x2 成立。极限当 x → − ∞ x \to -\infty x→−∞ 时 F X ( x ) → 0 F_X(x) \to 0 FX(x)→0当 x → ∞ x \to \infty x→∞ 时 F X ( x ) → 1 F_X(x) \to 1 FX(x)→1。
CDF可以通过PDF或PMF推导得出 对于离散型随机变量CDF是PMF的累加 F X ( x ) ∑ x ′ ≤ x P ( X x ′ ) F_X(x) \sum_{x \leq x} P(X x) FX(x)x′≤x∑P(Xx′) 对于连续型随机变量CDF是PDF的积分 F X ( x ) ∫ − ∞ x f X ( t ) d t F_X(x) \int_{-\infty}^{x} f_X(t) \, dt FX(x)∫−∞xfX(t)dt
4. PMF, PDF, CDF 之间的关系 对于离散型随机变量PMF和CDF有直接的关系。CDF是PMF的累加表示随机变量小于等于某个值的概率。 对于连续型随机变量PDF和CDF通过积分和导数相关联。具体地CDF是PDF的积分而PDF是CDF的导数。即 F X ( x ) ∫ − ∞ x f X ( t ) d t , f X ( x ) d d x F X ( x ) F_X(x) \int_{-\infty}^{x} f_X(t) \, dt, \quad f_X(x) \frac{d}{dx} F_X(x) FX(x)∫−∞xfX(t)dt,fX(x)dxdFX(x)
