ftp上传网站之后,嘉兴企业网站,商业网站备案流程,关键词排名优化教程一、插值与拟合简介
在数学建模过程中#xff0c;通常要处理由试验、测量得到的大量数据或一些过于复杂而不便于计算的函数表达式#xff0c;针对此情况#xff0c;很自然的想法就是#xff0c;构造一个简单的函数作为要考察数据或复杂函数的近似。插值和拟合就可以解决这…一、插值与拟合简介
在数学建模过程中通常要处理由试验、测量得到的大量数据或一些过于复杂而不便于计算的函数表达式针对此情况很自然的想法就是构造一个简单的函数作为要考察数据或复杂函数的近似。插值和拟合就可以解决这样的问题。
给定一组数据需要确定满足特定要求的曲线如果所求曲线通过所给定有限个数据点这就是插值。有时由于给定的数据存在测量误差往往具有一定的随机性。因而要求曲线通过所有数据点不现实也不必要。如果不要求曲线通过所有数据点而是要求它反映对象整体的变化态势得到简单实用的近似函数这就是曲线拟合。
插值和拟合都是根据组数据构造一个近似函数 但由于近似的要求不同二者在数学方法上是完全不同的。而面对个实际问题究竞应该用插值还是拟合有时容易确定有时并不明显。
由于插值和拟合是一种手段并无绝对的适用赛题也并不算是一种模型故本篇没有适用赛题、模型流程、流程解析部分。后面将重于使用分别介绍插值和拟合的操作。 二、插值
1.一维插值
①基本概念
已知未知函数在n1个互不相同的观测点x0x1...xn处的函数值(或观测值)
yi f(xi) , i 0, 1, ..., n
寻求一个近似函数即近似曲线中φ(x) 使之满足
φ(xi) yi, i 0, 1, ..., n
即求一条近似曲线φ(x)使其通过所有数据点(xi, yi) i 0, 1, ..., n
对任意非观测点X(X ≠ xi, i 0,1, ..., n)要估计该点的函数值f(X)就可以用φ(X)的值作为f(X)的近似估计值即φ(X) ≈ f(X)。通常称此类建模问题为插值问题而构造近似函数的方法就称为插值方法。
观测点xi(i 0, 1, ..., n)称为插值节点f(x)称为被插函数或原函数φ(x)为插值函数φ(xi) yi称为插值条件含xi(i 0, 1, ..., n)的最小区间[a, b](a min{xi}, b max{xi})称为插值区间X称为插值点φ(X)为被插函数f(x)在X ∈ [a, b] 点处的插值。
这里对于多项式插值拉格朗日插值、牛顿插值等方法理论部分不做介绍有兴趣的同学自行查阅。
②函数使用
Ⅰinterp1函数
MATLAB中一维函数interp1的调用格式为
vq interp1(x0, y0, xq, method, extrapolation) x0已知的插值节点 y0对应x0的函数值 xq欲求函数值的节点坐标 vq求得的节点xq处的函数值 method指定插值的方法默认为线性插值。其值常用的有
nearest最近邻插值linear线性插值spline三次样条插值函数是二次光滑的cubic立方插值函数是一次光滑的
MATLAB2020A不提倡使用函数interp1建议使用函数griddedInterpolant。
ⅡgriddedInterpolant函数
函数griddedInterpolant适用于任意维数的插值。
一维插值的调用格式为
F griddedInterpolant(x, v, method, extrapolation)
计算对应的函数值的使用格式为
vq F(xq)
n维插值的调用格式为
F griddedInterpolant(x1, x2,..., xn, v, method, extrapolation)
计算对应的函数值的使用格式为
vq F(xq1, xq2,..., xqn)
Ⅲcsape三次样条插值函数
三次样条插值还可以使用函数ecsapecsape的返回值是pp形式。求插值点的函数值调用函数fnval。
pp csape(x0, y0)使用默认的边界条件即拉格朗日边界条件。
pp csape(x0, y0, conds, valconds)中的conds指定插值的边界条件详细见官网
利用pp结构的返回值还可以计算返回值函数的导数和积分命令分别为fnderfnint这两个函数的返回值还是pp结构。
调用格式函数功能pp1 csape(x0, y0)计算插值函数pp2 fnder(pp1) 计算pp1对应函数的导数返回值pp2也是pp结构 pp3 fnint(pp1)计算pp1对应函数的积分返回值pp3也是pp结构y fnval(pp1, x)计算pp1对应的函数在x点的取值 2.二维插值
①基本概念
二维插值的基本概念和一维差不多只不过曲线变成了曲面而已不做赘述。
②网格数据的插值
已知m×n个节点(xi, yi, zij)(i 1, 2,.., m; j 1, 2, ..., n)且x1 ... xm; y1 ... yn。求点(x, y)处的插值z。
Ⅰinterp2函数
z interp2(x0, y0, z0, x, y, method) x0y0m维和n维向量表示插值节点 z0n×m矩阵表示对应插值节点函数值 xy一维数组表示插值点。x与y应是方向不同的向量即一个是行向量另一个是列向量 z矩阵行数为y的维数列数为x的维数表示得到的插值 method用法同上面的一维插值
如果是三次样条插值可以使用函数griddedInterpolant和csape。函数girddedInterpolant前面已经介绍过。
Ⅱcsape函数
pp csape({x0, y0}, z0, conds, valconds);
z fnval(pp, {x, y}) x0y0分别为m维和n维向量 z0m×n矩阵 z矩阵行数为y的维数列数为x的维数表示得到的插值
③散乱数据的插值
已知n个插值节点(xi, yi, zi)(i 1, 2, ..., n)求点(x, y)处的插值z。
Ⅰgriddata函数
函数griddata的调用格式为
ZI griddata(x, y, z, XI, YI) xyz均为n维向量指明所给数据点的横坐标、纵坐标和竖坐标 XIYI给定的网格点的横坐标和纵坐标 ZI网格(XI, YI)处的函数值。XI与YI应是方向不同的向量即一个是行向量另一个是列向量
ⅡscatteredInterpolant函数
函数scatteredInterpolant的调用格式为
Fz scatteredInterpolant(x0, y0, z0, Method, ExtrapolationMethod); 返回值Fz是结构数组相当于给出了插值函数的表达式 x0y0z0分别为已知n个点的xyz坐标Method插值方法ExtrapolationMethod区域外部节点的外插方法
要计算插值点(x, y)处的值调用Fz即可
z Fz(x, y); 三、拟合
1.线性最小二乘法
①解线性方程组拟合参数
要拟合等式中的参数a1, a2, ..., am把观测值代入等式得到线性方程组
RA Y
则A pinv(R) * Y或简化格式A R \ Y
②约束线性最小二乘解
在最小二乘意义下解约束线性方程组 即求解数学规划问题 求解上述问题调用函数lsqlin
x lsqlin(C, d, A, b, Aeq, beq, lb, ub);
③多项式拟合
多项式拟合的函数为polyfit调用格式为
p polyfit(x, y, n) % 拟合n次多项式返回值p是多项式对应的系数排列次序为从高次幂系数到低次幂系数
计算多项式p在x处的函数值
y polyval(p, x);
2.fittype和fit函数
函数fit需要和函数fittype配合使用fittype用于定义拟合的函数类fit进行函数拟合。fit既可以拟合一元或二元线性函数也可以拟合一元或二元非线性函数。 这里介绍这两个函数的调用格式。
fittype的调用格式为
aFittype fittype(libraryModeName) % 利用库模型定义函数类
aFittype fittype(expression, Name, Value) % 利用字符串定义函数类
aFittype fittype(linearModeTerm, Name, Value) % 利用基函数的线性组合定义函数类
aFittype fittype(anonymousFunction, Name, Value) % 利用匿名函数定义函数类
函数fit的调用格式为
fitobject fit(x, y, aFittype) % x和y分别为自变量和因变量的观测值列向量返回值fitobject为拟合函数的信息
fitobject fit([x, y], z, aFittype) % [x, y]为自变量的观测值的两列矩阵z为因变量的观测值列向量这里是拟合二元函数
[fitobject, gof] fit(x, y, aFittype, Name, Value) % 返回值gof为结构数组给出了模型的一些检验统计量
3.非线性拟合
MATLAB非线性拟合的主要函数有fit和lsqcurvefitfit函数使用很方便但只能拟合一元和二元函数lsqcurvefit可以拟合任意多个自变量的函数并且可以约束未知参数的上界和下界下面用例子讲解。
①fit函数
用下表数据拟合函数
x162674259x249538582y14.207739.362217.807711.831032.861816.962233.094111.1737
xy0 d([1, 2], :);
z0 d(3, :);
g fittype(a * exp(b * x) C*y^2, dependent ,z , independent, {x, y});
[f, st] fit(xy0, z0, g, StartPoint, rand(1,3));
求得z6.193e的0.04353x次方0.3995y²
拟合优度R² 0.9995拟合的剩余标准差RMSE 0.2970拟合效果很好。
②lsqcurvefit函数
要拟合函数y f(θ, x)给定x的观测值xdatay的观测值ydata求参数向量θ使得误差平方和最小。
lsqcurvefit函数的调用格式为
theta lsqcurvefit(fun, theta0, xdata, ydata, lb, ub, options)
fun定义函数f(θ, x)的M函数或匿名函数thata0θ初始值lbub参数θ的下界和上界options设置计算过程的一些算法theta拟合参数θ的值 本篇只是很浅显地介绍了各个函数每个函数的具体用法和参数设置有兴趣的同学可以到官网查询。如果对其中原理理论部分感兴趣也可以查文献搜索。
