智能网站搭建,什么网站可以做单词书,深圳网站建设公司 概况,详情页设计素材第三章#xff0c;矩阵#xff0c;08-矩阵的秩及相关性质 秩的定义1最高阶非零子式定理秩的定义2秩的性质性质1性质2性质3性质4性质5性质6性质7性质8性质9性质10性质11性质12性质12的推论 玩转线性代数(20)矩阵的秩的笔记#xff0c;相关证明以及例子见原文 秩的定义1
设矩… 第三章矩阵08-矩阵的秩及相关性质 秩的定义1最高阶非零子式定理秩的定义2秩的性质性质1性质2性质3性质4性质5性质6性质7性质8性质9性质10性质11性质12性质12的推论 玩转线性代数(20)矩阵的秩的笔记相关证明以及例子见原文 秩的定义1
设矩阵 A m ∗ n A_{m*n} Am∗n称其标准形中单位矩阵子块的阶数为矩阵A的秩记为 R ( A ) R(A) R(A)
最高阶非零子式
设在矩阵A中有一个r阶子式 D ≠ 0 D \neq 0 D0且所有r1阶子式如果存在的话全等于0那么D称为矩阵A的最高阶非零子式。
定理
设 A r ∼ B A^r \sim B Ar∼B则A与B中最高阶非零子式的阶数相等
秩的定义2
由定理得定义2:一个矩阵的秩为它的最高阶非零子式的阶数
秩的性质
首先要了解判断矩阵的秩的依据有三点 1、矩阵的秩为最高阶非零子式的阶数; 2、矩阵的秩为行阶梯的非零行数或列阶梯的非零列数或标准形中单位矩阵的阶数 3、初等变换不改变矩阵的秩
性质1
零矩阵的秩是零
性质2
若 A ≠ 0 A\neq0 A0则 R ( A ) ≥ 1 R(A)\geq1 R(A)≥1
性质3
若A为m*n矩阵则 0 ≥ R ( A ) ≥ m i n { m , n } 0\geq R(A)\geq min\{m,n\} 0≥R(A)≥min{m,n}
性质4
若 A ( B ∗ ∗ ∗ ) A \begin{pmatrix} B * \\* * \end{pmatrix} A(B∗∗∗)是一个分块矩阵B是A的子块则 R ( A ) ≥ R ( B ) R(A)\geq R(B) R(A)≥R(B)
性质5
若 A m ∗ n A_{m*n} Am∗n中有一个s阶非零子式则 R ( A ) ≥ s R(A)\geq s R(A)≥s若 A m ∗ n A_{m*n} Am∗n中所有t阶子式都为0则 R ( A ) t R(A)\lt t R(A)t
性质6
对任意矩阵A有 R ( A T ) R ( A ) R(A^T)R(A) R(AT)R(A)
性质7 ( A 0 0 B ) \begin{pmatrix} A 0 \\0 B \end{pmatrix} (A00B)是一个分块矩阵A、B是其子块则 R ( A 0 0 B ) R ( A ) R ( B ) R\begin{pmatrix} A 0 \\0 B \end{pmatrix} R(A) R(B) R(A00B)R(A)R(B)
性质8 ( A 0 B 0 ) \begin{pmatrix} A 0 \\ B 0 \end{pmatrix} (AB00)是一个分块矩阵A、B是其子块则 R ( A 0 B 0 ) ≤ R ( A ) R ( B ) R\begin{pmatrix} A 0 \\ B 0 \end{pmatrix}\leq R(A) R(B) R(AB00)≤R(A)R(B)
性质9
对任意m*n矩阵AB无论对其进行加、减、横排、竖排其秩均不超过 R ( A ) R ( B ) R(A) R(B) R(A)R(B)
性质10
分块矩阵 ( A , B ) (A,B) (A,B)、 ( A B ) \begin{pmatrix} A \\ B \end{pmatrix} (AB)、 ( A 0 B 0 ) \begin{pmatrix} A 0 \\ B 0 \end{pmatrix} (AB00)的秩都满足 ≥ m a x ( R ( A ) , R ( B ) ) \geq max(R(A), R(B)) ≥max(R(A),R(B))
性质11
若 A ∼ B A \sim B A∼B则 R ( A ) R ( B ) R(A)R(B) R(A)R(B)
性质12
若 A m n B n l C A_{mn}B_{nl}C AmnBnlC且 R ( A ) n R(A)n R(A)n则 R ( B ) R ( C ) R(B)R(C) R(B)R(C)可得若B行满秩则 R ( A ) R ( C ) R(A)R(C) R(A)R(C) 证 只证明列满秩的情况因 R ( A ) n R(A)n R(A)n知A行最简形矩阵为 ( E n O ) m ∗ n \begin{pmatrix} E_n \\ O \end{pmatrix}_{m*n} (EnO)m∗n并且有m阶可逆矩阵P使 P A ( E n O ) PA\begin{pmatrix} E_n \\ O \end{pmatrix} PA(EnO)于是 P C P A B ( E n O ) B ( B O ) PCPAB\begin{pmatrix} E_n \\ O \end{pmatrix}B\begin{pmatrix} B \\ O \end{pmatrix} PCPAB(EnO)B(BO) 知 R ( C ) R ( P C ) R(C)R(PC) R(C)R(PC)而 R ( B O ) R ( B ) R\begin{pmatrix} B \\ O \end{pmatrix}R(B) R(BO)R(B)故 R ( C ) R ( B ) R(C)R(B) R(C)R(B) 本例中的A为列满秩矩阵当A为方阵时列满秩矩阵就成为满秩矩阵也就是可逆矩阵。因此本例的结论当A为方阵时B和C就是等价关系当然秩相等。
性质12的推论
若 A m n B n l O A_{mn}B_{nl}O AmnBnlO且 R ( A ) n R(A)n R(A)n则BO矩阵乘法的消去律
