织梦网站2个模型,怎样在拼多多平台上卖货,上海网站建设开发哪家好,海报设计制作网站文章目录 Ch2. 一维随机变量及其分布1.一维随机变量1.随机变量2.分布函数 F ( x ) F(x) F(x)(1)定义(2)分布函数的性质 (充要条件)(3)分布函数的应用——求概率3.最大最小值函数 2.一维离散型随机变量及其概率分布(分布律)3.一维连续型随机变量及其概率分布(概率密度)4.一般类型… 文章目录 Ch2. 一维随机变量及其分布1.一维随机变量1.随机变量2.分布函数 F ( x ) F(x) F(x)(1)定义(2)分布函数的性质 (充要条件)(3)分布函数的应用——求概率3.最大最小值函数 2.一维离散型随机变量及其概率分布(分布律)3.一维连续型随机变量及其概率分布(概率密度)4.一般类型(混合型)随机变量及其分布5.常见的随机变量分布类型八大分布1.离散型 (5种)①0-1分布②二项分布 X~B(n,p)③泊松分布④几何分布⑤超几何分布 2. 连续型 (3种)①均匀分布②指数分布③正态分布独立可加性 (XY独立且同类型分布) 6.一维随机变量函数的分布 Ch3. 多维随机变量及其分布1.二维(n维)随机变量1.多维随机变量2.多维随机变量的分布函数(1)联合分布函数(2)边缘分布函数 2.二维离散型随机变量及其分布(1)联合分布律(2)边缘分布律(3)条件分布律 3.二维连续型随机变量及其分布(1)二维随机变量的概率密度 f(x,y)联合概率密度(1)定义(2)性质 (2)边缘分布1.边缘概率分布2.边缘概率密度 (3)条件分布1.条件概率密度2.条件分布函数 (4)二维均匀分布(5)二维正态分布 4.独立性 【随机变量的独立性】(1)定义 (相互独立的充要条件)(2)独立的性质 5.二维随机变量 函数的分布(1)(离散型,离散型)→离散型(2)(连续型,连续型)→连续型①分布函数法②卷积公式 (3)(离散型,连续型)→连续型①离散连续全概率公式 Ch2. 一维随机变量及其分布
1.一维随机变量
1.随机变量
①XX(ω) ②一般用大写字母表示 2.分布函数 F ( x ) F(x) F(x)
(1)定义
1.定义 称函数 F ( x ) P { X ≤ x } ( − ∞ x ∞ ) F(x)P\{ X≤x\} \ (-∞x∞) F(x)P{X≤x} (−∞x∞) 为随机变量X的分布函数或称 X服从F(x)分布记为X~F(x) (2)分布函数的性质 (充要条件)
① 0 ≤ F ( x ) ≤ 1 0≤F(x)≤1 0≤F(x)≤1分布函数是事件的概率满足有界性 ② F ( x ) 单调不减 F(x)单调不减 F(x)单调不减x从-∞取到∞的过程中F(x)单调不减从0逐渐变大到1 ③ F ( x ) 右连续 F(x)右连续 F(x)右连续F(a0)F(a) ④ lim x → − ∞ F ( x ) F ( − ∞ ) 0 lim x → ∞ F ( x ) F ( ∞ ) 1 \lim\limits_{x→-∞}F(x)F(-∞)0\lim\limits_{x→∞}F(x)F(∞)1 x→−∞limF(x)F(−∞)0x→∞limF(x)F(∞)1 若函数F(x)满足性质②-④则F(x)必为某个随机变量的分布函数。 ⑤ f ( x ) F ′ ( x ) f(x)F(x) f(x)F′(x) (3)分布函数的应用——求概率
1.一元分布函数 P { X ≤ a } F ( a ) P\{X≤a\}F(a) P{X≤a}F(a) P { X a } F ( a − ) P\{Xa\}F(a^-) P{Xa}F(a−) P { X a } P { X ≤ a } − P { X a } F ( a ) − F ( a − ) P\{Xa\}P\{X≤a\}-P\{Xa\}F(a)-F(a^-) P{Xa}P{X≤a}−P{Xa}F(a)−F(a−) 【一点处的概率用于离散型、混合型随机变量】 若 P { X a } 0 即 F ( a ) − F ( a − ) P\{Xa\}0即F(a)-F(a^-) P{Xa}0即F(a)−F(a−)即要求左连续。 P { X a } 1 − P { X ≤ a } 1 − F ( a ) P\{Xa\}1-P\{X≤a\}1-F(a) P{Xa}1−P{X≤a}1−F(a) 因为分布函数统一用F字母所以不同分布函数是用F的不同角标来区分如X和Y不同分布则分布函数为 F X ( z ) 、 F Y ( z F_X(z)、F_Y(z FX(z)、FY(z) 2.二元分布函数 F Z ( z ) P { Z ≤ z } P { Z ( X , Y ) ≤ z } F_Z(z) P\{Z≤z\}P\{Z(X,Y)≤z\} FZ(z)P{Z≤z}P{Z(X,Y)≤z} 3.最大最小值函数
① P { m a x { X , Y } ≤ a } P { X ≤ a Y ≤ a } P\{max\{X,Y\}≤a\}P\{X≤aY≤a\} P{max{X,Y}≤a}P{X≤aY≤a}
② P { m i n { X , Y } ≥ a } P { X ≥ a Y ≥ a } P\{min\{X,Y\}≥a\}P\{X≥aY≥a\} P{min{X,Y}≥a}P{X≥aY≥a} P { a m a x { X , Y } ≤ b } P { a U ≤ b } P { U ≤ b } − P { U ≤ a } P { X ≤ b Y ≤ b } − P { X ≤ a Y ≤ a } P\{amax\{X,Y\}≤b\}P\{aU≤b\}P\{U≤b\}-P\{U≤a\}P\{X≤bY≤b\}-P\{X≤aY≤a\} P{amax{X,Y}≤b}P{aU≤b}P{U≤b}−P{U≤a}P{X≤bY≤b}−P{X≤aY≤a} 例题108年7. Zmax{X,Y}与Zmin{X,Y}的分布函数
分析 F 2 ( x ) Z m a x { X , Y } F²(x)Zmax\{X,Y\} F2(x)Zmax{X,Y}独立同分布 F ( x ) F ( y ) Z m a x { X , Y } F(x)F(y)Zmax\{X,Y\} F(x)F(y)Zmax{X,Y}独立不同分布 1 − [ 1 − F ( x ) ] 2 Z m i n { X , Y } 1-[1-F(x)]²Zmin\{X,Y\} 1−[1−F(x)]2Zmin{X,Y}独立同分布 1 − [ 1 − F ( x ) ] [ 1 − F ( y ) ] Z m i n { X , Y } 1-[1-F(x)][1-F(y)]Zmin\{X,Y\} 1−[1−F(x)][1−F(y)]Zmin{X,Y}独立不同分布 答案A 例题1变式——将Z改为 Z m i n { X , Y } Zmin\{X,Y\} Zmin{X,Y}再求Z的分布函数
分析主要是看①max还是min②是否同分布。就看这两个。最大值是乘积最小值是 1-[ ]同分布无角标不同分布有角标 ①分布函数的定义分布函数F与概率P的关系 ②最大值最小值的定义 ③独立P的乘积可拆为乘积的P同理F可拆 ④同分布角标可以抹去了合并。 答案 4.习题 习题110年7.
分析 P X 1 F ( 1 ) − F ( 1 − 0 ) 1 − e − 1 − 1 2 1 2 − e − 1 P{X1}F(1)-F(1-0)1-e^{-1}-\dfrac{1}{2}\dfrac{1}{2}-e^{-1} PX1F(1)−F(1−0)1−e−1−2121−e−1
答案C 习题219年14. 分类讨论、数学期望
分析
答案 2 3 \dfrac{2}{3} 32 习题309年8. 分析
答案B 习题423李林四(一)9. 分析 答案D 习题516年22(3) 常见的两类随机变量——离散型随机变量、连续型随机变量 2.一维离散型随机变量及其概率分布(分布律)
1.离散型随机变量如果随机变量X只能取有限个或可列个值 x 1 , x 2 , . . . x_1,x_2,... x1,x2,...则称X为离散型随机变量 2.分布律 (1)分布律的定义 称 P { X x i } p i i 1 , 2 , . . . P\{Xx_i\}p_ii1,2,... P{Xxi}pii1,2,...为离散型随机变量X的分布律 或 X的概率分布记为 X ∼ p i X \sim p_i X∼pi。其函数图形为“步步高的阶梯函数”。 离散型随机变量的概率分布是分布律。可用矩阵或表格表示。 (2)分布律的性质(充要条件) ① p k ≥ 0 p_k≥0 pk≥0 ②规范性(归一性) ∑ i 1 ∞ p i 1 \sum\limits_{i1}^{∞}p_i1 i1∑∞pi1 3.特点 (1)分布函数 F ( x ) ∑ x i ≤ x p i F(x)\sum\limits_{x_i≤x}p_i F(x)xi≤x∑pi即F(x) x扫过的离散点的概率之和。F(x)是“步步高的阶梯函数”。 (2)归一性 ∑ i 1 n p i 1 \sum\limits_{i1}^np_i1 i1∑npi1 (3)概率 ①一点处概率 P { X a } F ( a ) − F ( a − 0 ) P\{Xa\}F(a)-F(a-0) P{Xa}F(a)−F(a−0) ②区间上概率 P { X ∈ B } ∑ x i ∈ B p i P\{X∈B\}\sum\limits_{x_i∈B}p_i P{X∈B}xi∈B∑pi 4.离散型随机变量的概率分布分布律
①先求该离散型随机变量的取值范围一一列举 ZXY的取值范围-101
②求每一个取值的概率 P{XY-1}… P{XY0}… P{XY1}…
③列分布律
ZXY-101P 例题123李林四(一)16. 数学期望分布律
分析
答案 3 − 3 2 \dfrac{3-\sqrt{3}}{2} 23−3 3.一维连续型随机变量及其概率分布(概率密度)
1.定义 若随机变量X的分布函数可表示为 F ( x ) ∫ − ∞ x f ( t ) d t ( − ∞ x ∞ ) F(x)\int_{-∞}^xf(t)dt \ (-∞x∞) F(x)∫−∞xf(t)dt (−∞x∞) 其中f(x)是非负可积函数则称X为连续型随机变量称f(x)为连续型随机变量X的概率密度函数简称概率密度记为 X~f(x) 2.概率密度f(x)的性质、充要条件 ①非负性 f ( x ) ≥ 0 f(x)≥0 f(x)≥0
②归一性 ∫ − ∞ ∞ f ( x ) d x 1 \int_{-∞}^{∞}f(x){\rm d}x1 ∫−∞∞f(x)dx1
③ P { a X ≤ b } F ( b ) − F ( a ) ∫ a b f ( x ) d x P\{aX≤b\} F(b) - F(a) \int_{a}^{b}f(x){\rm d}x P{aX≤b}F(b)−F(a)∫abf(x)dx
④在f(x)的连续点x处 F ′ ( x ) f ( x ) F(x) f(x) F′(x)f(x) 其中①② 非负性和归一性是f(x)成为概率密度的充要条件 已知f(x)为概率密度则 f ( a x b ) 为概率密度 ⇔ a ± 1 f(axb)为概率密度\Leftrightarrow a±1 f(axb)为概率密度⇔a±1 【若|a|≠1或f(x²) 或f²(x)均不是概率密度】 F 1 ( x ) F 2 ( x ) F_1(x)F_2(x) F1(x)F2(x)为 m a x { X 1 , X 2 } max\{X₁,X₂\} max{X1,X2}的分布函数 f 1 ( x ) F 2 ( x ) F 1 ( x ) f 2 ( x ) f_1(x)F_2(x)F_1(x)f_2(x) f1(x)F2(x)F1(x)f2(x)为它的概率密度 3.求解f(x) ①F(x)求导先求F(x)则 f ( x ) F ′ ( x ) f(x)F(x) f(x)F′(x) ②由二维概率密度求边缘概率密度已知f(x,y)表达式则 f X ( x ) ∫ − ∞ ∞ f ( x , y ) d y f_X(x)\int_{-∞}^{∞}f(x,y)dy fX(x)∫−∞∞f(x,y)dy 4.特点 (1)分布函数 F ( x ) P { X ≤ x } ∫ − ∞ x f ( t ) d t F(x)P\{X≤x\}\int_{-∞}^xf(t)dt F(x)P{X≤x}∫−∞xf(t)dt记为 X ∼ f ( x ) X\sim f(x) X∼f(x)。F(x)是连续函数。 (2)f(x)非负、可积且有归一性 ∫ − ∞ ∞ f ( x ) d x 1 \int_{-∞}^{∞}f(x){\rm d}x1 ∫−∞∞f(x)dx1 (3)概率 ①一点处概率 P { X a } 0 P\{Xa\}0 P{Xa}0 。(即、≤的概率相等) ②区间上概率 P { X ∈ B } ∫ B f ( x ) d x P\{X∈B\}\int_Bf(x){\rm d}x P{X∈B}∫Bf(x)dx 5.概率P、分布函数F、概率密度f的关系 ① P { X ≤ a } F ( a ) ∫ − ∞ a f ( x ) d x P\{X≤a\}F(a)\int_{-∞}^af(x)dx P{X≤a}F(a)∫−∞af(x)dx P { X a } P\{Xa\} P{Xa} 1 − P { X ≤ a } 1 − F ( a ) 1-P\{X≤a\}1-F(a) 1−P{X≤a}1−F(a) ∫ a ∞ f ( x ) d x \int_a^{∞}f(x)dx ∫a∞f(x)dx P P P{ a X ≤ b aX≤b aX≤b } F ( b ) − F ( a ) ∫ a b f ( x ) d x F(b)-F(a) \int_a^bf(x)dx F(b)−F(a)∫abf(x)dx
② F ( x ) ∫ − ∞ x f ( t ) d t F(x)\int_{-∞}^xf(t)dt F(x)∫−∞xf(t)dt f ( x ) F ′ ( x ) f(x)F(x) f(x)F′(x) f可以唯一确定F但F不能推出f。如U(a,b)和U[a,b]f的x一个开区间一个闭区间都能得到同样的F(x) 例题102年10.
分析
A. ∫ − ∞ ∞ f ( x ) d x ∫ − ∞ ∞ ( f 1 ( x ) f 2 ( x ) ) d x ∫ − ∞ ∞ f 1 ( x ) d x ∫ − ∞ ∞ f 2 ( x ) d x 2 ≠ 1 ∴ f 1 ( x ) f 2 ( x ) \int_{-∞}^{∞}f(x)dx\int_{-∞}^{∞}(f_1(x)f_2(x))dx\int_{-∞}^{∞}f_1(x)dx\int_{-∞}^{∞}f_2(x)dx2≠1 \quad ∴f_1(x)f_2(x) ∫−∞∞f(x)dx∫−∞∞(f1(x)f2(x))dx∫−∞∞f1(x)dx∫−∞∞f2(x)dx21∴f1(x)f2(x)不是概率密度 B. ∫ − ∞ ∞ f ( x ) d x ∫ − ∞ ∞ f 1 ( x ) f 2 ( x ) d x ≠ 1 ∴ f 1 ( x ) f 2 ( x ) \int_{-∞}^{∞}f(x)dx\int_{-∞}^{∞}f_1(x)f_2(x)dx≠1\quad ∴f_1(x)f_2(x) ∫−∞∞f(x)dx∫−∞∞f1(x)f2(x)dx1∴f1(x)f2(x)不是概率密度 C. F ( ∞ ) F 1 ( ∞ ) F 2 ( ∞ ) 2 ≠ 1 ∴ F 1 ( x ) F 2 ( x ) F(∞)F_1(∞)F_2(∞)2≠1 \quad ∴F_1(x)F_2(x) F(∞)F1(∞)F2(∞)21∴F1(x)F2(x)不是分布函数
D.① 0 ≤ F 1 ( x ) F 2 ( x ) ≤ 1 0≤F_1(x)F_2(x)≤1 0≤F1(x)F2(x)≤1 ② F 1 ( x ) F 2 ( x ) F_1(x)F_2(x) F1(x)F2(x)单调不减 ③ F 1 ( x ) F 2 ( x ) F_1(x)F_2(x) F1(x)F2(x)右连续 ④ F ( ∞ ) F 1 ( ∞ ) F 2 ( ∞ ) 1 F ( − ∞ ) F 1 ( − ∞ ) F 2 ( − ∞ ) 0 F(∞)F_1(∞)F_2(∞)1F(-∞)F_1(-∞)F_2(-∞)0 F(∞)F1(∞)F2(∞)1F(−∞)F1(−∞)F2(−∞)0 ∴ F 1 ( x ) F 2 ( x ) F_1(x)F_2(x) F1(x)F2(x)必为某个随机变量的分布函数。
答案D 例题211年7.
分析 ①如果对乘法的求导法则熟悉则会发现D的 f 1 ( x ) F 2 ( x ) f 2 ( x ) F 1 ( x ) [ F 1 ( x ) F 2 ( x ) ] ′ f_1(x)F_2(x)f_2(x)F_1(x) [F_1(x)F_2(x)] f1(x)F2(x)f2(x)F1(x)[F1(x)F2(x)]′ ②验证性质 ∫ − ∞ ∞ f 1 ( x ) F 2 ( x ) f 2 ( x ) F 1 ( x ) d x F 1 ( x ) F 2 ( x ) ∣ − ∞ ∞ 1 × 1 − 0 × 0 1 \int_{-∞}^{∞}f_1(x)F_2(x)f_2(x)F_1(x)\rm dxF_1(x)F_2(x)|_{-∞}^{∞}1×1-0×01 ∫−∞∞f1(x)F2(x)f2(x)F1(x)dxF1(x)F2(x)∣−∞∞1×1−0×01 满足 f ( x ) ≥ 0 f(x)≥0 f(x)≥0、 ∫ − ∞ ∞ f ( x ) d x 1 \int_{-∞}^{∞}f(x){\rm d}x1 ∫−∞∞f(x)dx1为概率密度
答案D 6.习题 习题12016年23. 求概率密度先求分布函数再求导。 答案 1FT(t) P{T≤t} P{ max{X1X2X3}≤t } P{ X1≤tX2≤tX3≤t } P{X1≤t}·P{X2≤t}·P{X3≤t} P3{X≤t} F3X(t)
2aT为θ的无偏估计 ⇦⇨ E(aT)θ 4.一般类型(混合型)随机变量及其分布
1.定义
2.解题 只能用定义 F ( X ) P { X ≤ x } F(X)P\{X≤x\} F(X)P{X≤x}分区间讨论。最好画图。注意自变量取遍(-∞,∞)
3.类型 ①离散型→离散型 ②连续型→连续型 或 混合型 5.常见的随机变量分布类型八大分布
1.离散型 (5种)
①0-1分布
0-1分布的概率分布为 ① P { X 1 } p P { X 0 } 1 − p P\{X1\}pP\{X0\}1-p P{X1}pP{X0}1−p
或 ② P { X k } p k ( 1 − p ) 1 − k k 0 , 1 P\{Xk\}p^k(1-p)^{1-k}k0,1 P{Xk}pk(1−p)1−kk0,1 ②二项分布 X~B(n,p)
n重伯努利实验干一件事要么成功要么失败。成功概率为p失败概率为1-p。则干这件事n次成功了k次的概率为 P { X k } C n k p k ( 1 − p ) n − k ( k 0 , 1 , 2 , . . . , n ) P\{Xk\}{\rm C}_n^kp^k(1-p)^{n-k} \qquad (k0,1,2,...,n) P{Xk}Cnkpk(1−p)n−k(k0,1,2,...,n) 其中 C n k n ⋅ ( n − 1 ) ⋅ . . . ⋅ ( n − k 1 ) k ! {\rm C}_n^k\dfrac{n·(n-1)·...·(n-k1)}{k!} Cnkk!n⋅(n−1)⋅...⋅(n−k1) 习题109年14. 二项分布的期望与方差、E(S²)D(X)、无偏估计
分析 答案-1 习题216年8. 分析
答案A 习题301年19. 考点二项分布、泊松分布、条件概率 ③泊松分布
若随机变量X的概率分布为 P { X k } λ k k ! e − λ ( k 0 , 1 , 2 , . . . ; λ 0 ) P\{Xk\}\dfrac{λ^k}{k!}e^{-λ} \qquad (k0,1,2,...;λ0) P{Xk}k!λke−λ(k0,1,2,...;λ0) 则称X服从参数为λ的泊松分布(Poisson)记作 X ∼ P ( λ ) X\sim P(λ) X∼P(λ)。E(X)λD(X)λ。 λ称为强度。泊松分布的数学期望 E(X)λ。 应用 ①某场合下单位时间内源源不断的质点来流的数量 ②稀有事件发生的概率 泊松分布由二项分布近似而来。 习题101年19. 考点二项分布、泊松分布、条件概率
分析 X服从泊松分布X~P(λ) Y服从二项分布Y~B(n,p) ④几何分布
【几何分布 G ( p ) G(p) G(p)首中即停止的伯努利试验。】
若X的概率分布为 P { X k } ( 1 − p ) k − 1 p ( k 1 , 2 , . . . ; 0 p 1 ) P\{Xk\}(1-p)^{k-1}p \qquad (k1,2,...;0p1) P{Xk}(1−p)k−1p(k1,2,...;0p1)则称X服从参数为p的几何分布记为 X ∼ G ( p ) X\sim G(p) X∼G(p) 几何分布是离散型的等待分布 例题1 几何分布推广首二中即停止 P C k − 1 1 ( 1 − p ) k − 2 p 2 PC_{k-1}^1(1-p)^{k-2}p^2 PCk−11(1−p)k−2p2 答案 ⑤超几何分布
超几何分布 H ( n , N , M ) H(n,N,M) H(n,N,M) P { X k } C M k C N − M n − k C N n P\{Xk\}\dfrac{C_M^kC_{N-M}^{n-k}}{C_N^n} P{Xk}CNnCMkCN−Mn−k 2. 连续型 (3种)
①均匀分布 均匀分布是一维的几何概型 ②指数分布 1.指数分布的概率密度 若连续型 随机变量X的概率密度为 f ( x ) { λ e − λ x , x 0 0 , x ≤ 0 f(x)\begin{cases} λe^{-λx}, x0\\ 0, x≤0 \end{cases} f(x){λe−λx,0,x0x≤0 其中λ0为常数则称X服从参数为λ的指数分布记为X~E(λ) 2.指数分布的分布函数 F ( x ) { 1 − e − λ x , x 0 0 , x ≤ 0 F(x)\begin{cases} 1-e^{-λx}, x0\\ 0, x≤0 \end{cases} F(x){1−e−λx,0,x0x≤0 指数分布是连续型等待分布。 指数分布的λ是失效率指数分布的数学期望 E ( X ) 1 λ E(X)\dfrac{1}{λ} E(X)λ1 3.指数分布的无记忆性 P { X s t ∣ X t } P { X s t } P { X t } e − λ ( s t ) e − λ t e − λ s P { X s } P\{Xst|Xt\}\dfrac{P\{Xst\}}{P\{Xt\}}\dfrac{e^{-λ(st)}}{e^{-λt}}e^{-λs}P\{Xs\} P{Xst∣Xt}P{Xt}P{Xst}e−λte−λ(st)e−λsP{Xs} ① P { X X 1 ∣ X X 2 } P { X X 1 − X 2 } P\{XX_1|XX_2\}P\{XX_1-X_2\} P{XX1∣XX2}P{XX1−X2} ②指数分布的λ是失效率在失效率λ不变的情况下该理想元件是无损耗的。因此工作1年失效的概率和工作2年失效的概率相等因此有无记忆性。 习题119年22(1)
分析Z 指数分布×两点分布
答案 (1) E(X)~1∴ F ( x ) { 1 − e − x , x 0 0 , x ≤ 0 F(x)\begin{cases} 1-e^{-x}, x0\\ 0, x≤0 \end{cases} F(x){1−e−x,0,x0x≤0 f Z ( z ) F Z ′ ( z ) f_Z(z)F_Z(z) fZ(z)FZ′(z)
对于FZ(z) FZ(z) P{Z≤z} P{XY≤z} P{Y-1}·P{XY≤z|Y-1} P{Y1}·P{XY≤z|Y1} p·P{-X≤z} (1-p)·P{X≤z}
对于P{-X≤z} P{-X≤z} P{-z≤X} P{X≥-z} 1-P{X≤-z} 1-FX(-z) [连续型随机变量某一点的概率为0]
∴FZ(z) p·[1-FX(-z)] (1-p)·FX(z)
对z的取值进行分类讨论 当z0时FZ(z) p·[1-0] (1-p)·(1-e-z) p(1-p)·(1-e-z) 当z≤0时FZ(z) p·[1-(1-ez)] (1-p)·0 pez
∴ F Z ( z ) { p ( 1 − p ) ⋅ ( 1 − e − z ) , z 0 p e z , z ≤ 0 F_Z(z) \begin{cases} p(1-p)·(1-e^{-z}) , z0\\ pe^z, z≤0 \end{cases} FZ(z){p(1−p)⋅(1−e−z),pez,z0z≤0
∴ f Z ( z ) F Z ′ ( z ) { ( 1 − p ) ⋅ e − z , z 0 p e z , z ≤ 0 f_Z(z) F_Z(z)\begin{cases} (1-p)·e^{-z} , z0\\ pe^z, z≤0 \end{cases} fZ(z)FZ′(z){(1−p)⋅e−z,pez,z0z≤0 ③正态分布
若X的概率密度为 f ( x ) 1 2 π σ e − 1 2 ( x − μ σ ) 2 1 2 π σ e − ( x − μ ) 2 2 σ 2 ( − ∞ x ∞ ) f(x)\dfrac{1}{\sqrt{2π}σ}e^{-\frac{1}{2}(\frac{x-μ}{σ})^2}\dfrac{1}{\sqrt{2π}σ}e^{-\frac{{(x-μ^)}^2}{2σ^2}} \quad(-∞x∞) f(x)2π σ1e−21(σx−μ)22π σ1e−2σ2(x−μ)2(−∞x∞) 其中-∞μ∞σ0则称X服从参数为N(μ,σ²)的正态分布或称X为正态变量记为 X ∼ N ( μ , σ 2 ) X\sim N(μ,σ²) X∼N(μ,σ2)。
①f(x)关于xμ对称。 ②当 x μ xμ xμ时f(x)取最大值 f ( μ ) 1 2 π σ f(μ)\dfrac{1}{\sqrt{2π}σ} f(μ)2π σ1只与 σ σ σ有关。 1.标准正态分布 X~N(0,1)则标准正态分布的概率密度φ(x)为 φ ( x ) 1 2 π e − x 2 2 ( − ∞ x ∞ ) Ф ( x ) ∫ − ∞ x 1 2 π e − x 2 2 d x ∫ − ∞ ∞ φ ( x ) d x ∫ − ∞ ∞ 1 2 π e − x 2 2 d x 1 φ(x)\dfrac{1}{\sqrt{2π}}e^{-\frac{x^2}{2}}\quad (-∞x∞)\\[5mm] Ф(x)\int_{-∞}^x\dfrac{1}{\sqrt{2π}}e^{-\frac{x^2}{2}}dx\\[5mm] \int_{-∞}^{∞}φ(x)dx\int_{-∞}^{∞}\frac{1}{\sqrt{2π}}e^{-\frac{x^2}{2}}{\rm d}x 1 φ(x)2π 1e−2x2(−∞x∞)Ф(x)∫−∞x2π 1e−2x2dx∫−∞∞φ(x)dx∫−∞∞2π 1e−2x2dx1 上α分位点 若X~N(0,1)点 μ α μ_α μα右侧概率为α ( P { X μ α } α P\{Xμ_α\}α P{Xμα}α)则称 μ α μ_α μα为标准正态分布的上α分位点(上侧α分位数) 公式 推论 ① Ф ( 0 ) 1 2 Ф(0)\dfrac{1}{2} Ф(0)21 ② Ф ( x ) Ф ( − x ) 1 Ф(x)Ф(-x)1 Ф(x)Ф(−x)1 结论对于标准正态分布 X ∼ N ( 0 , 1 ) X\sim N(0,1) X∼N(0,1) ① P ∫ − ∞ ∞ φ ( x ) d x 1 P\int_{-∞}^{∞}φ(x)dx1 P∫−∞∞φ(x)dx1 ② E ( X ) ∫ − ∞ ∞ x φ ( x ) d x 0 E(X)\int_{-∞}^{∞}xφ(x)dx0 E(X)∫−∞∞xφ(x)dx0 理解1φ(x)是偶函数xφ(x)为奇函数在对称区间上积分为0. 理解2 ∫ − ∞ ∞ x φ ( x ) d x \int_{-∞}^{∞}xφ(x)dx ∫−∞∞xφ(x)dx即为标准正态分布的数学期望X~N(0,1)则期望为0 2.正态分布的独立可加性 若X与Y分别服从正态分布 N ( μ 1 , σ 1 2 ) N(μ_1,σ_1^2) N(μ1,σ12)与 N ( μ 2 , σ 2 2 ) N(μ_2,σ_2^2) N(μ2,σ22)且X与Y相互独立。 则 Z X − Y ZX-Y ZX−Y也服从正态分布 Z ∼ N ( μ 1 − μ 2 , σ 1 2 σ 2 2 ) Z\sim N( μ_1-μ_2, σ_1^2σ_2^2) Z∼N(μ1−μ2,σ12σ22) 独立可加性 (XY独立且同类型分布)
若X与Y独立且满足以下5种同类型分布则具有独立可加性.
分布X,Y独立⇨ 独立可加性①二项分布X~B(m,p) Y~B(n,p)XY~ B(mn,p)②泊松分布X~P(λ₁) Y~P(λ₂)XY~ P(λ₁λ₂)③正态分布X~N(μ₁,σ₁²) Y~N(μ₂,σ₂²) X ± Y ∼ N ( μ 1 ± μ 2 σ 1 2 σ 2 2 ) X±Y\sim N(μ₁±μ₂σ²₁σ₂²) X±Y∼N(μ1±μ2σ12σ22)④卡方分布X~χ²(m) Y~χ²(n)XY~ χ²(mn)⑤指数分布X~E(λ₁) X~E(λ₂) m i n { X , Y } min\{X,Y\} min{X,Y} ∼ E ( λ 1 λ 2 ) \sim E(λ₁λ₂) ∼E(λ1λ2) 3.正态分布 μσ 对图像的影响 期望μ对称轴位置 方差σ方差越大越分散越不集中在均值附近的面积越小 例题123李林六套卷(三)9. 独立可加性
分析
答案C 习题117年14. 标准正态分布
分析
答案2 习题219年23(1) 习题312年23. 正态分布的独立可加性
分析 (3)注意样本与总体独立同分布
答案 (1)∵X与Y相互独立且分别服从正态分布 ∴由正态分布的独立可加性知 ZX-Y 也服从正态分布Z~N(0,3σ2)
(3) E ( σ ^ 2 ) E ( ∑ i 1 n Z i 2 3 n ) 1 3 n E ( ∑ i 1 n Z i 2 ) 1 3 n ∑ i 1 n E ( Z i 2 ) 1 3 n ∑ i 1 n E ( Z 2 ) 1 3 n × n × [ D ( Z ) E 2 ( Z ) ] 1 3 × ( 3 σ 2 0 ) σ 2 E(\hat{σ}^2)E(\dfrac{{\sum\limits_{i1}^n}Z_i^2}{3n})\dfrac{1}{3n}E(\sum\limits_{i1}^n{Z_i^2})\dfrac{1}{3n}\sum\limits_{i1}^nE({Z_i^2})\dfrac{1}{3n}\sum\limits_{i1}^nE({Z^2})\dfrac{1}{3n}×n×[D(Z)E^2(Z)]\dfrac{1}{3}×(3σ^20)σ^2 E(σ^2)E(3ni1∑nZi2)3n1E(i1∑nZi2)3n1i1∑nE(Zi2)3n1i1∑nE(Z2)3n1×n×[D(Z)E2(Z)]31×(3σ20)σ2 ∴ σ ^ 2 \hat{σ}^2 σ^2是σ2的无偏估计 习题413年07. 正态分布 μσ 对图像的影响
答案A 习题506年14. 正态分布 μσ 对图像的影响 答案A 习题616年7. 正态分布 μσ 对图像的影响
分析将X标准化为标准正态分布
答案B 6.一维随机变量函数的分布 Ch3. 多维随机变量及其分布 多维随机变量联合、边缘、条件、独立性、函数分布 1.二维(n维)随机变量
1.多维随机变量
X一维随机变量 (X,Y)二维随机变量 (X₁,X₂,…,Xn)n维随机变量 2.多维随机变量的分布函数
(1)联合分布函数
(1)概念 F ( x , y ) P { X ≤ x , Y ≤ y } F(x,y)P\{X≤x,Y≤y\} F(x,y)P{X≤x,Y≤y} (-∞x∞,-∞y∞) (2)性质 ③二维规范性/归一性若为二维连续型随机变量 F ( ∞ , ∞ ) ∫ − ∞ ∞ ∫ − ∞ ∞ f ( x , y ) d x d y 1 F(∞,∞)\int_{-∞}^{∞}\int_{-∞}^{∞}f(x,y){\rm d}x{\rm d}y 1 F(∞,∞)∫−∞∞∫−∞∞f(x,y)dxdy1 例题110年22.(1) (2)边缘分布函数 F X ( x ) P { X ≤ x , Y ≤ ∞ } F ( x , ∞ ) F_X(x)P\{X≤x,Y≤∞\}F(x,∞) FX(x)P{X≤x,Y≤∞}F(x,∞) F Y ( y ) P { X ≤ ∞ , Y ≤ y } F ( ∞ , y ) F_Y(y)P\{X≤∞,Y≤y\}F(∞,y) FY(y)P{X≤∞,Y≤y}F(∞,y) 边缘分布函数考试常考 常见的两类二维随机变量离散型随机变量、连续型随机变量 2.二维离散型随机变量及其分布
(1)联合分布律 p i j P { X x i , Y y j } i , j 1 , 2 , . . . p_{ij}P\{Xx_i,Yy_j\} \quad i,j1,2,... pijP{Xxi,Yyj}i,j1,2,... (X,Y)的分布律 或 X和Y的联合分布律记为 ( X , Y ) ∼ p i j (X,Y)\sim p_{ij} (X,Y)∼pij 联合分布律的求法求出每个P{ }的值画分布律 例题109年22.(2) (2)边缘分布律
联合分布律的右边缘 p i ⋅ p_{i·} pi⋅、下边缘 p ⋅ j p_{·j} p⋅j称为X、Y的边缘分布律
联合分布律 p i j P { X x i , Y y j } p_{ij}P\{Xx_i,Yy_j\} pijP{Xxi,Yyj}
边缘分布率 ① p i ⋅ P { X x i } p_{i·}P\{Xx_i\} pi⋅P{Xxi} ② p ⋅ j P { Y y j } p_{·j}P\{Yy_j\} p⋅jP{Yyj} (3)条件分布律 条件 联合 边缘 条件\dfrac{联合}{边缘} 条件边缘联合 3.二维连续型随机变量及其分布
(1)二维随机变量的概率密度 f(x,y)联合概率密度
(1)定义
设F(x,y) 是 二维随机变量(X,Y) 的 分布函数若存在非负函数f(x,y),使得对于任意实数x、y有 F ( x , y ) ∫ − ∞ y ∫ − ∞ x f ( u , v ) d u d v F(x,y)\int_{-∞}^y\int_{-∞}^xf(u,v)dudv F(x,y)∫−∞y∫−∞xf(u,v)dudv 则称(X,Y)为二维连续型随机变量称函数f(x,y)为二维随机变量(X,Y)的概率密度随机变量X和Y的联合概率密度 (2)性质
1.非负性f(x,y)≥0 2.规范性/归一性 F ( x , y ) ∫ − ∞ ∞ ∫ − ∞ ∞ f ( x , y ) d x d y F ( ∞ , ∞ ) 1 F(x,y)\int_{-∞}^{∞}\int_{-∞}^{∞}f(x,y)dxdyF(∞,∞)1 F(x,y)∫−∞∞∫−∞∞f(x,y)dxdyF(∞,∞)1 3.设D是xOy平面上的一个区域则(X,Y)落在D内的概率为 P { ( X , Y ) ∈ D } ∬ D f ( x , y ) d x d y P\{(X,Y)∈D\}\iint\limits_Df(x,y){\rm d}x{\rm d}y P{(X,Y)∈D}D∬f(x,y)dxdy
举例 若 Z 2 X − Y 则 F Z ( z ) P { Z ≤ z } P { 2 X − Y ≤ z } ∬ 2 x − y ≤ z f ( x , y ) d x d y 若Z2X-Y则F_Z(z)P\{Z≤z\}P\{2X-Y≤z\}\iint\limits_{2x-y≤z}f(x,y)dxdy 若Z2X−Y则FZ(z)P{Z≤z}P{2X−Y≤z}2x−y≤z∬f(x,y)dxdy
当(X,Y)服从二维均匀分布时 P { ( X , Y ) ∈ D } ∬ D f ( x , y ) d x d y S ( D ) S ( A ) P\{(X,Y)∈D\}\iint\limits_Df(x,y){\rm d}x{\rm d}y\dfrac{S(D)}{S(A)} P{(X,Y)∈D}D∬f(x,y)dxdyS(A)S(D)
4.偏导 例题103年5. 二维连续型随机变量的分布f(x,y)的性质 注意积分区域的限D∩定义域
分析设D是xOy平面上的一个区域则(X,Y)落在D内的概率为 P { ( X , Y ) ∈ D } ∬ D f ( x , y ) d x d y P\{(X,Y)∈D\}\iint\limits_Df(x,y){\rm d}x{\rm d}y P{(X,Y)∈D}D∬f(x,y)dxdy
答案 1 4 \dfrac{1}{4} 41 例题212年07. f(x,y)的性质 P { ( X , Y ) ∈ D } ∬ D f ( x , y ) d x d y P\{(X,Y)∈D\}\iint\limits_Df(x,y){\rm d}x{\rm d}y P{(X,Y)∈D}D∬f(x,y)dxdy 分析 答案A 例题316年22.(2) (2)边缘分布
1.边缘概率分布 F X ( x ) F ( x , ∞ ) ∫ − ∞ x [ ∫ − ∞ ∞ f ( u , v ) d v ] d u F_X(x)F(x,∞)\int_{-∞}^x[\int_{-∞}^{∞}f(u,v)dv]du FX(x)F(x,∞)∫−∞x[∫−∞∞f(u,v)dv]du F Y ( y ) F ( ∞ , y ) F_Y(y)F(∞,y) FY(y)F(∞,y)
2.边缘概率密度 f X ( x ) ∫ − ∞ ∞ f ( x , y ) d y f_X(x) \int_{-∞}^{∞}f(x,y){\rm d}y fX(x)∫−∞∞f(x,y)dy 【注意上下限是代y的取值x是常数】 f Y ( y ) ∫ − ∞ ∞ f ( x , y ) d x f_Y(y) \int_{-∞}^{∞}f(x,y){\rm d}x fY(y)∫−∞∞f(x,y)dx 例题1由联合概率密度求边缘概率密度 口诀求谁不积谁后积先定限限内画条线先交写下限后交写上限 例题210年22.(2) (3)条件分布
1.条件概率密度 f X ∣ Y ( x ∣ y ) f ( x , y ) f Y ( y ) f_{X|Y}(x\ |\ y) \dfrac{f(x,y)}{f_Y(y)} fX∣Y(x ∣ y)fY(y)f(x,y) f Y ∣ X ( y ∣ x ) f ( x , y ) f X ( x ) f_{Y|X}(y\ |\ x) \dfrac{f(x,y)}{f_X(x)} fY∣X(y ∣ x)fX(x)f(x,y) 【条件 联合/边缘】
概率密度乘法公式 2.条件分布函数 例题107年10. 条件概率密度 分析 ∵ 随机变量(X,Y)服从二维正态分布且X与Y不相关则X与Y相互独立。 ∴ f X ∣ Y ( x ∣ y ) f ( x , y ) f Y ( y ) f X ( x ) ⋅ f Y ( y ) f Y ( y ) f X ( x ) f_{X|Y}(x\ |\ y) \dfrac{f(x,y)}{f_Y(y)}\dfrac{f_X(x)·f_Y(y)}{f_Y(y)}f_X(x) fX∣Y(x ∣ y)fY(y)f(x,y)fY(y)fX(x)⋅fY(y)fX(x) 答案A 例题222年10.
答案D 例题310年22.(2) (4)二维均匀分布
设D是坐标平面xOy上面积为A的有界区域D若二维随机变量(X,Y)的概率密度为 f ( x , y ) { 1 A , ( x , y ) ∈ D 0 , ( x , y ) ∉ D f(x,y) \left \{\begin{array}{cc} \dfrac{1}{A}, (x,y)∈D\\ 0, (x,y)∉D \end{array}\right. f(x,y){A1,0,(x,y)∈D(x,y)∈/D 则称(X,Y)在区域D上服从均匀分布记为 (X,Y) ~ UD 例题116年22.
答案查看李艳芳的讲解 (5)二维正态分布
1.定义 若二维随机变量(X,Y)的概率密度为
则称(X,Y)为服从参数μ1,μ2,σ1,σ2,ρ的二维正态分布记作 ( X , Y ) ∼ N ( μ 1 , μ 2 ; σ 1 , σ 2 ; ρ ) (X,Y)\sim N(μ_1,μ_2;σ_1,σ_2;ρ) (X,Y)∼N(μ1,μ2;σ1,σ2;ρ) 2.性质 (1)二维正态分布X与Y相互独立 ⇦⇨ X与Y不相关ρXY0
(2)若(X,Y)服从二维正态分布则 ①X、Y各自服从一维正态分布 即若有 ( X , Y ) ∼ N ( μ 1 , μ 2 ; σ 1 , σ 2 ; ρ ) (X,Y)\sim N(μ_1,μ_2;σ_1,σ_2;ρ) (X,Y)∼N(μ1,μ2;σ1,σ2;ρ)则 X ∼ N ( μ 1 , σ 1 ) X\sim N(μ_1,σ_1) X∼N(μ1,σ1) Y ∼ N ( μ 2 , σ 2 ) Y\sim N(μ_2,σ_2) Y∼N(μ2,σ2)
②X,Y的线性组合 a X b Y ( a ≠ 0 或 b ≠ 0 ) aXbY\quad (a≠0或b≠0) aXbY(a0或b0) 也服从正态分布 例题115年14. 二维正态分布 ρ 0 ρ0 ρ0则X与Y独立 分析
答案 1 2 \dfrac{1}{2} 21 例题211年14.
分析∵ρ0 ∴X与Y相互独立 ∴E(XY²)E(X)·E(Y²)E(X)·[D(X)E²(Y)]μ(σ²μ²)
答案μ(σ²μ²) 例题307年10. 4.独立性 【随机变量的独立性】
(1)定义 (相互独立的充要条件)
对于(X,Y)是二维随机变量
①普通 P { X ≤ x Y ≤ y } P { X ≤ x } ⋅ P { Y ≤ y } ⇔ X , Y 独立 P\{X≤xY≤y\}P\{X≤x\}·P\{Y≤y\}\Leftrightarrow X,Y独立 P{X≤xY≤y}P{X≤x}⋅P{Y≤y}⇔X,Y独立 F ( x , y ) F X ( x ) ⋅ F Y ( y ) ⇔ X , Y 独立 F(x,y)F_X(x)·F_Y(y)\Leftrightarrow X,Y独立 F(x,y)FX(x)⋅FY(y)⇔X,Y独立
②离散 ∀ i , j ∀i,j ∀i,j有 p i j p i ⋅ ⋅ p ⋅ j ⇔ X , Y 独立 p_{ij}p_{i·}·p_{·j}\Leftrightarrow X,Y独立 pijpi⋅⋅p⋅j⇔X,Y独立 若 ョ i , j ョi,j ョi,j使得 p i j ≠ p i ⋅ ⋅ p ⋅ j p_{ij}≠p_{i·}·p_{·j} pijpi⋅⋅p⋅j则X,Y不独立
③连续 f ( x , y ) f X ( x ) ⋅ f Y ( y ) ⇔ X , Y 独立 f(x,y)f_X(x)·f_Y(y)\Leftrightarrow X,Y独立 f(x,y)fX(x)⋅fY(y)⇔X,Y独立 (2)独立的性质
两变量独立则P{ }可拆P{X≤a}·P{Y≤b} P{X≤a,Y≤b} 注意F要先转换为P然后P可拆。
详情查看此文https://blog.csdn.net/Edward1027/article/details/126604163 5.二维随机变量 函数的分布 常考三类多维随机变量 (1)(离散型,离散型)→离散型
比较简单 (2)(连续型,连续型)→连续型
①分布函数法 P { ( X , Y ) ∈ D } ∬ D f ( x , y ) d x d y P\{(X,Y)∈D\}\iint\limits_Df(x,y){\rm d}x{\rm d}y P{(X,Y)∈D}D∬f(x,y)dxdy
① F Z ( z ) P { Z ≤ z } P { g ( x , y ) ≤ z } ∬ g ( x , y ) ≤ z f ( x , y ) d x d y F_Z(z)P\{Z≤z\}P\{g(x,y)≤z\}\iint\limits_{g(x,y)≤z}f(x,y){\rm d}x{\rm d}y FZ(z)P{Z≤z}P{g(x,y)≤z}g(x,y)≤z∬f(x,y)dxdy ② f Z ( z ) F Z ′ ( z ) f_Z(z)F_Z(z) fZ(z)FZ′(z) ②卷积公式
卷积公式专门针对 加、减、乘、除 口诀积谁不换谁换完求偏导 (对z求偏导乘其系数的绝对值) (3)(离散型,连续型)→连续型
①离散连续全概率公式
X和Y一格离散一个连续ZXY先用全概率公式再用独立性 例题1基础30讲 3.11 离散连续全概率公式 (“全集分解思想”)
答案 习题109年8. 离散连续全概率公式
分析
答案B 习题223李林4套卷(二)22.(1) 离散连续全概率公式 答案
