wordpress建企业站教程,廊坊百度关键词排名平台,有没有卖设计的网站,开发公众号的体会文章目录 前言背包DP的简介问题描述目标解决方法1. **定义状态**2. **状态转移方程**3. **初始化**4. **目标**举个例子动态规划解决背包问题的核心 DP背包问题示例代码问题描述代码实现核心代码讲解#xff1a;举例#xff1a;总结#xff1a; 总结 前言
背包问题是算法竞… 文章目录 前言背包DP的简介问题描述目标解决方法1. **定义状态**2. **状态转移方程**3. **初始化**4. **目标**举个例子动态规划解决背包问题的核心 DP背包问题示例代码问题描述代码实现核心代码讲解举例总结 总结 前言
背包问题是算法竞赛中的经典题型之一特别是在CSP-J/S中国信息学奥林匹克竞赛复赛中动态规划DP解决背包问题是一个常见且基础的重要内容。背包DP问题通过构建状态转移方程利用「无后效性」这一特性可以高效地解决一系列组合优化问题。本文将简要介绍如何在背包问题中运用动态规划思想通过对状态的设计与转移公式的推导最终求解出最优解。这种方法不仅是算法竞赛中的常见考点也是在实际应用中有广泛运用的技巧。 背包DP的简介
背包问题Knapsack Problem是动态规划DP中的经典问题之一它描述了一个选择物品的最优化问题。背包问题有很多变种其中最常见的是0-1背包问题。我们以这个为例介绍一下。
问题描述
假设你有一个容量为 (C) 的背包以及 (n) 件物品。每件物品都有两个属性
重量 (w_i)物品的重量。价值 (v_i)物品的价值。
你需要从这 (n) 件物品中选择若干件装入背包但不能超过背包的容量 (C)。同时你希望背包中的物品总价值最大化。每件物品只能被选一次即「0-1」背包的「0-1」指的是每个物品只能取或者不取不能分割。
目标
最大化装入背包的物品的总价值条件是物品的总重量不超过背包容量。
解决方法
动态规划DP可以很好地解决这个问题。我们一步步设计DP的步骤
1. 定义状态
用 (dp[i][j]) 表示前 (i) 件物品在容量为 (j) 的背包里能够获得的最大价值。
例如(dp[3][5]) 表示用前三件物品在容量为5的背包里能获得的最大价值。
2. 状态转移方程
对第 (i) 件物品我们有两种选择
不选择这件物品那么最大价值就是前 (i-1) 件物品在容量 (j) 下的最大价值表达式为 d p [ i ] [ j ] d p [ i − 1 ] [ j ] dp[i][j] dp[i-1][j] dp[i][j]dp[i−1][j]选择这件物品如果当前物品 (i) 的重量 (w_i \leq j)那么我们可以选择它最大价值就是当前物品价值 (v_i) 加上剩下的背包容量 (j - w_i) 时前 (i-1) 件物品的最大价值表达式为 d p [ i ] [ j ] d p [ i − 1 ] [ j − w i ] v i dp[i][j] dp[i-1][j-w_i] v_i dp[i][j]dp[i−1][j−wi]vi
因此综合这两种情况状态转移方程为 d p [ i ] [ j ] max ( d p [ i − 1 ] [ j ] , d p [ i − 1 ] [ j − w i ] v i ) dp[i][j] \max(dp[i-1][j], dp[i-1][j-w_i] v_i) dp[i][j]max(dp[i−1][j],dp[i−1][j−wi]vi)
3. 初始化
对于初始状态若不选任何物品或背包容量为 0那么最大价值都是 0因此 d p [ 0 ] [ j ] 0 (对于所有的 j ) dp[0][j] 0 \quad \text{(对于所有的 \(j\))} dp[0][j]0(对于所有的 j) d p [ i ] [ 0 ] 0 (对于所有的 i ) dp[i][0] 0 \quad \text{(对于所有的 \(i\))} dp[i][0]0(对于所有的 i)
4. 目标
最终我们要的解就是 (dp[n][C])即前 (n) 件物品在背包容量为 (C) 的情况下可以获得的最大价值。
举个例子
假设有 4 件物品它们的重量和价值如下
物品 1重量 2价值 3物品 2重量 3价值 4物品 3重量 4价值 5物品 4重量 5价值 8
背包容量为 8。求解能够装入背包的最大价值是多少
通过 DP 表的推算最终可以得出最大价值为 11选择物品 2 和物品 4总重量为 3 5 8总价值为 4 8 11。
动态规划解决背包问题的核心
无后效性当前的状态选择第几件物品剩余容量多少只与之前的状态相关而不受未来的决策影响。子问题重叠每一个子问题的解会被多次使用因此通过 DP 的方式可以避免重复计算提高效率。
这种方法非常适合解决背包问题及其他类似的最优化问题。
DP背包问题示例代码
以下是一个用动态规划DP解决 0-1背包问题 的 C 语言代码示例并附上核心代码的讲解。
问题描述
我们有 n 个物品每个物品有重量 w[i] 和价值 v[i]。背包的容量为 C我们需要选择物品使得在不超过背包容量的情况下物品的总价值最大化。
代码实现
#include stdio.h#define MAX_N 100 // 物品最大数量
#define MAX_W 1000 // 背包最大容量int dp[MAX_N 1][MAX_W 1]; // DP表保存最大价值int max(int a, int b) {return (a b) ? a : b;
}int knapsack(int n, int W, int w[], int v[]) {// 初始化DP表0件物品或容量为0时价值都为0for (int i 0; i n; i) {for (int j 0; j W; j) {dp[i][j] 0;}}// 动态规划计算最大价值for (int i 1; i n; i) {for (int j 0; j W; j) {if (w[i-1] j) {// 状态转移方程dp[i][j] max(dp[i-1][j], dp[i-1][j-w[i-1]] v[i-1])dp[i][j] max(dp[i-1][j], dp[i-1][j - w[i-1]] v[i-1]);} else {// 如果当前物品重量大于容量不能选该物品dp[i][j] dp[i-1][j];}}}// 返回最大价值return dp[n][W];
}int main() {int n 4; // 物品数量int W 8; // 背包容量int w[] {2, 3, 4, 5}; // 每个物品的重量int v[] {3, 4, 5, 8}; // 每个物品的价值// 调用背包算法int max_value knapsack(n, W, w, v);printf(最大价值: %d\n, max_value);return 0;
}核心代码讲解 dp数组的定义 int dp[MAX_N 1][MAX_W 1];这里的 dp[i][j] 表示前 i 件物品在背包容量为 j 的时候可以获得的最大价值。dp 的维度是 (n1) x (W1)其中 n 是物品数量W 是背包容量。 初始化DP表 for (int i 0; i n; i) {for (int j 0; j W; j) {dp[i][j] 0;}
}初始状态是没有物品即 i 0或者背包容量为 0 时即 j 0那么背包中的最大价值显然是 0。这个初始化确保了后续状态转移时有合理的初始值。 状态转移方程 dp[i][j] max(dp[i-1][j], dp[i-1][j - w[i-1]] v[i-1]);这是动态规划的核心部分对于每个物品我们有两种选择 不选第 i 件物品此时最大价值和之前一样即 dp[i-1][j]。选第 i 件物品此时需要确保物品重量小于等于背包容量即 w[i-1] j那么最大价值就是当前物品的价值 v[i-1] 加上背包剩余容量 j - w[i-1] 的最大价值 dp[i-1][j - w[i-1]]。 返回结果 return dp[n][W];最终我们需要的答案是 dp[n][W]即前 n 件物品在背包容量为 W 时能够获得的最大价值。
举例
对于输入
物品数量4背包容量8物品重量{2, 3, 4, 5}物品价值{3, 4, 5, 8}
程序输出
最大价值: 11这个结果对应于选择了物品 2 和物品 4总重量为 3 5 8总价值为 4 8 11。
总结
这个代码通过动态规划解决 0-1 背包问题的核心在于状态转移方程它通过子问题的解来推导出全局问题的最优解。每个子问题的解被存储在 dp 数组中从而避免重复计算极大地提高了效率。 总结
背包DP算法通过构建一个DP表格依次推算每个子问题的最优解最终得出整个问题的最优解。核心在于合理设计状态和状态转移方程使得每一步的选择都依赖于之前的子问题结果。在CSP-J/S复赛中背包问题的灵活变化考验选手对动态规划思想的掌握理解其原理后能够有效提升问题解决的效率。熟练掌握背包问题的动态规划方法不仅能够应对竞赛中的挑战更能为更复杂的优化问题打下坚实基础。
