做外贸做网站,阿里云备案 网站备案域名,城市建设者官方网站,公司网站开发类属什么费用第六章#xff0c;线性变换#xff0c;1-线性变换、表示矩阵、线性算子 线性变换表示矩阵 线性算子 R 2 R^2 R2中特殊的线性变换旋转变换算子反射变换算子投影变换算子伸压变换算子剪切变换算子 玩转线性代数(32)线性变换的相关概念的笔记#xff0c;相关证明以及例子见原文… 第六章线性变换1-线性变换、表示矩阵、线性算子 线性变换表示矩阵 线性算子 R 2 R^2 R2中特殊的线性变换旋转变换算子反射变换算子投影变换算子伸压变换算子剪切变换算子 玩转线性代数(32)线性变换的相关概念的笔记相关证明以及例子见原文 线性变换
一个将向量空间V映射到向量空间W的映射L如果对所有的 v 1 , v 2 ∈ V v_1,v_2\in V v1,v2∈V及所有的标量 α \alpha α和 β \beta β有 L ( α v 1 β v 2 ) α L ( v 1 ) β L ( v 2 ) L(\alpha v_1\beta v_2)\alpha L(v_1)\beta L(v_2) L(αv1βv2)αL(v1)βL(v2) 则称L为V到W上的一个线性变换记为 L : V → W L:V\rightarrow W L:V→W 判断方法若L为V到W上的一个线性变换等价于 L ( v 1 v 2 ) L ( v 1 ) L ( v 2 ) ; L ( λ v 1 ) λ L ( v 1 ) L(v_1v_2)L(v_1)L(v_2); L(\lambda v_1) \lambda L(v_1) L(v1v2)L(v1)L(v2);L(λv1)λL(v1)
表示矩阵
对任一矩阵 A m ∗ n A_{m*n} Am∗n可以定义一个由 R n R^n Rn到 R m R^m Rm的线性变换 L A L_A LA称A为 L A L_A LA的表示矩阵。而每一线性变换均可由矩阵来定义如果是 R n R^n Rn上的线性算子则其对应矩阵为n阶方阵。
线性算子
如果V与W相同称 L : V → V L:V\rightarrow V L:V→V为V上的一个线性算子是一个向量空间到其自身的线性变换。 R 2 R^2 R2中特殊的线性变换
示意图见原文
旋转变换算子 A ( cos θ − sin θ sin θ cos θ ) A\begin{pmatrix} \cos\theta -\sin\theta \\ \sin\theta \cos\theta \end{pmatrix} A(cosθsinθ−sinθcosθ) 绕逆时针旋转 θ \theta θ角
反射变换算子 B 1 ( 1 0 0 − 1 ) B_1\begin{pmatrix} 1 0 \\ 0 -1 \end{pmatrix} B1(100−1) x轴对称 B 2 ( − 1 0 0 1 ) B_2\begin{pmatrix} -1 0 \\ 0 1 \end{pmatrix} B2(−1001) y轴对称
投影变换算子 C 1 ( 1 0 0 0 ) C_1\begin{pmatrix} 1 0 \\ 0 0 \end{pmatrix} C1(1000) 只取了x坐标所以是投影到x轴 C 2 ( 0 0 0 1 ) C_2\begin{pmatrix} 0 0 \\ 0 1 \end{pmatrix} C2(0001) 只取了y坐标所以是投影到y轴
伸压变换算子 D 1 ( t 0 0 1 ) D_1\begin{pmatrix} t 0 \\ 0 1 \end{pmatrix} D1(t001) x坐标缩放t倍y不变 D 2 ( 0 0 0 t ) D_2\begin{pmatrix} 0 0 \\ 0 t \end{pmatrix} D2(000t) x坐标不变y缩放t倍
剪切变换算子 E 1 ( 1 0 k 1 ) E_1\begin{pmatrix} 1 0 \\ k 1 \end{pmatrix} E1(1k01) x不变将x坐标的k倍加到y上离y轴越远(x绝对值越大)形变越大垂直变换 E 2 ( 1 k 0 1 ) E_2\begin{pmatrix} 1 k \\ 0 1 \end{pmatrix} E2(10k1) y不变将y坐标的k倍加到x上离x轴越远(y绝对值越大)形变越大水平变换
