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注意
特征
运算
拓展 定义
设函数f(x)的定义域D#xff1b;
如果对于函数定义域D内的任意一个x#xff0c;都有f(-x)#xff0d;f#xff08;x#xff09;#xff0c;那么函数f#xff08;x#xff09;就叫做奇函数。如果对于函数定义域D内的任意一个x…目录 定义
注意
特征
运算
拓展 定义
设函数f(x)的定义域D
如果对于函数定义域D内的任意一个x都有f(-x)fx那么函数fx就叫做奇函数。如果对于函数定义域D内的任意一个x都有f(-x)fx那么函数fx就叫做偶函数。如果对于函数定义域D内的任意一个xf(-x)-f(x与f(-x)f(x同时成立那么函数f(x既是奇函数又是偶函数称为既奇又偶函数。如果对于函数定义域内的任意一个xf(-x)-f(x或f(-x)f(x都不能成立那么函数f(x既不是奇函数又不是偶函数称为非奇非偶函数。
注意
①奇、偶性是函数的整体性质对整个定义域而言。
②奇、偶函数的定义域一定关于原点对称如果一个函数的定义域不关于原点对称则这个函数一定不是奇或偶函数。
③判断或证明函数是否具有奇偶性的根据是定义、变式。
变式
奇f(x)f(-x)0 f(x)*f(-x) -f^2(x) f(x)/f(-x) -1.
偶f(x)-f(-x) 0 f(x)*f(-x) f^2(x) f(x)/f(-x) 1.
特征
定理奇函数的图像关于原点成中心对称图形偶函数的图象关于y轴对称。
推论
如果对于任一个x都有f(ax)f(b-x)c那么函数图像关于a/2b/2c/2中心对称如果对于任意一个x有f(ax)f(a-x那么函数图像关于xa轴对称。
奇函数的图像关于原点对称 —— 点x,y→-x,-y
偶函数的图像关于y轴对称 —— 点x,y→-x,y
奇函数在某一区间上单调递增则在它的对称区间上也是单调递增。
偶函数在某一区间上单调递增则在它的对称区间上单调递减。
运算 两个偶函数相加所得的和为偶函数。两个奇函数相加所得的和为奇函数。两个偶函数相乘所得的积为偶函数。两个奇函数相乘所得的积为偶函数。一个偶函数与一个奇函数相乘所得的积为奇函数。几个函数复合只要有一个是偶函数结果是偶函数若无偶函数则是奇函数。偶函数的和差积商是偶函数。奇函数的和差是奇函数。奇函数的偶数个积商是偶函数。奇函数的奇数个积商是奇函数。奇函数的绝对值为偶函数。偶函数的绝对值为偶函数。
拓展
1设f(x)可导则
f(x)是奇函数----f(x)是偶函数f(x)是偶函数----f(x)是奇函数
2连续的奇函数其原函数都是偶函数 连续的偶函数其原函数中有且仅有一个是奇函数。
3设f(x)连续
若f(x)是奇函数则是偶函数若f(x)是偶函数则是奇函数。
