忻州推广型网站建设,知名网站建设制作,在线制作印章软件,网站关键词推广价格一.题目(爬楼梯)假设你正在爬楼梯。需要 n 阶你才能到达楼顶。每次你可以爬 1 或 2 个台阶。你有多少种不同的方法可以爬到楼顶呢#xff1f;注意#xff1a;给定 n 是一个正整数。示例 1#xff1a;输入#xff1a; 2输出#xff1a; 2解释#xff1a; 有两种方法可以爬…一.题目(爬楼梯)假设你正在爬楼梯。需要 n 阶你才能到达楼顶。每次你可以爬 1 或 2 个台阶。你有多少种不同的方法可以爬到楼顶呢注意给定 n 是一个正整数。示例 1输入 2输出 2解释 有两种方法可以爬到楼顶。1 阶 1 阶2 阶示例 2输入 3输出 3解释 有三种方法可以爬到楼顶。1 阶 1 阶 1 阶1 阶 2 阶2 阶 1 阶思路本题大家如果没有接触过的话会感觉比较难多举几个例子就可以发现其规律。爬到第一层楼梯有一种方法爬到二层楼梯有两种方法。那么第一层楼梯再跨两步就到第三层 第二层楼梯再跨一步就到第三层。所以到第三层楼梯的状态可以由第二层楼梯 和 到第一层楼梯状态推导出来那么就可以想到动态规划了。我们来分析一下动规五部曲定义一个一维数组来记录不同楼层的状态1确定dp数组以及下标的含义dp[i] 爬到第i层楼梯有dp[i]种方法2确定递推公式如何可以推出dp[i]呢从dp[i]的定义可以看出dp[i] 可以有两个方向推出来。首先是dp[i - 1]上i-1层楼梯有dp[i - 1]种方法那么再一步跳一个台阶不就是dp[i]了么。还有就是dp[i - 2]上i-2层楼梯有dp[i - 2]种方法那么再一步跳两个台阶不就是dp[i]了么。那么dp[i]就是 dp[i - 1]与dp[i - 2]之和所以dp[i] dp[i - 1] dp[i - 2] 。在推导dp[i]的时候一定要时刻想着dp[i]的定义否则容易跑偏。这体现出确定dp数组以及下标的含义的重要性3dp数组如何初始化在回顾一下dp[i]的定义爬到第i层楼梯有dp[i]中方法。那么i为0dp[i]应该是多少呢这个可以有很多解释但基本都是直接奔着答案去解释的。例如强行安慰自己爬到第0层也有一种方法什么都不做也就是一种方法即dp[0] 1相当于直接站在楼顶。但总有点牵强的成分。那还这么理解呢我就认为跑到第0层方法就是0啊一步只能走一个台阶或者两个台阶然而楼层是0直接站楼顶上了就是不用方法dp[0]就应该是0.其实这么争论下去没有意义大部分解释说dp[0]应该为1的理由其实是因为dp[0]1的话在递推的过程中i从2开始遍历本题就能过然后就往结果上靠去解释dp[0] 1。从dp数组定义的角度上来说dp[0] 0 也能说得通。需要注意的是题目中说了n是一个正整数题目根本就没说n有为0的情况。所以本题其实就不应该讨论dp[0]的初始化我相信dp[1] 1dp[2] 2这个初始化大家应该都没有争议的。所以原则是不考虑dp[0]如何初始化只初始化dp[1] 1dp[2] 2然后从i 3开始递推这样才符合dp[i]的定义。4确定遍历顺序从递推公式dp[i] dp[i - 1] dp[i - 2];中可以看出遍历顺序一定是从前向后遍历的。5举例推导dp数组举例当n为5的时候dp tabledp数组应该是这样的如果代码出问题了就把dp table 打印出来看看究竟是不是和自己推导的一样。此时大家应该发现了这不就是斐波那契数列么唯一的区别是没有讨论dp[0]应该是什么因为dp[0]在本题没有意义以上五部分析完之后C代码如下// 版本一
class Solution {
public:int climbStairs(int n) {if (n 1) return n; // 因为下面直接对dp[2]操作了防止空指针vectorint dp(n 1);dp[1] 1;dp[2] 2;for (int i 3; i n; i) { // 注意i是从3开始的dp[i] dp[i - 1] dp[i - 2];}return dp[n];}
};时间复杂度$O(n)$空间复杂度$O(n)$当然依然也可以优化一下空间复杂度代码如下// 版本二
class Solution {
public:int climbStairs(int n) {if (n 1) return n;int dp[3];dp[1] 1;dp[2] 2;for (int i 3; i n; i) {int sum dp[1] dp[2];dp[1] dp[2];dp[2] sum;}return dp[2];}
};时间复杂度$O(n)$空间复杂度$O(1)$后面将讲解的很多动规的题目其实都是当前状态依赖前两个或者前三个状态都可以做空间上的优化。
