大型网站技术架构,做医药商城网站的公司,台州本地做网站的,网站表单点击切换文章目录 引言三、矩阵对角化理论3.1 一般矩阵的相似对角化3.2 实对称矩阵的相似对角化3.2.1 实对称矩阵相似对角化定理3.2.2 实对称矩阵相似对角化过程 写在最后 引言
承接前文#xff0c;我们来看看矩阵的对角化理论。
我们前面提到对角化是在矩阵相似那里#xff0c;若存… 文章目录 引言三、矩阵对角化理论3.1 一般矩阵的相似对角化3.2 实对称矩阵的相似对角化3.2.1 实对称矩阵相似对角化定理3.2.2 实对称矩阵相似对角化过程 写在最后 引言
承接前文我们来看看矩阵的对角化理论。
我们前面提到对角化是在矩阵相似那里若存在可逆矩阵 P P P 使得 P − 1 A P Λ P^{-1}AP\Lambda P−1APΛ 其中 Λ \Lambda Λ 为对角矩阵则称 A A A 可以相似对角化。 三、矩阵对角化理论
3.1 一般矩阵的相似对角化
设 A \pmb{A} A 为 n n n 阶矩阵其特征值为 λ 1 , λ 2 , ⋯ , λ n \lambda_1,\lambda_2,\cdots,\lambda_n λ1,λ2,⋯,λn 若存在可逆矩阵 P \pmb{P} P 使得 P − 1 A P [ λ 1 0 ⋯ 0 0 λ 2 ⋯ 0 ⋮ ⋮ ⋮ 0 0 ⋯ λ n ] , \pmb{P}^{-1}\pmb{AP}\begin{bmatrix} \lambda_{1} 0 \cdots 0\\ 0 \lambda_{2} \cdots 0 \\ \vdots \vdots \vdots \\ 0 0 \cdots \lambda_{n} \end{bmatrix}, P−1AP λ10⋮00λ2⋮0⋯⋯⋯00⋮λn , 称矩阵 A \pmb{A} A 可相似对角化或 A \pmb{A} A 可对角化或与对角矩阵相似。
第一步 由特征方程 ∣ λ E − A ∣ 0 |\lambda\pmb{E}-\pmb{A}|0 ∣λE−A∣0 求出矩阵 A \pmb{A} A 的特征值 λ 1 , λ 2 , ⋯ , λ n \lambda_1,\lambda_2,\cdots,\lambda_n λ1,λ2,⋯,λn ;
第二步 求齐次线性方程组 ( λ i E − A ) X 0 ( 1 ≤ i ≤ n ) (\lambda_i\pmb{E}-\pmb{A})\pmb{X}\pmb{0}(1\leq i \leq n) (λiE−A)X0(1≤i≤n) 的基础解系进而求出矩阵 A \pmb{A} A 的线性无关的特征向量 α 1 , α 2 , ⋯ , α m \pmb{\alpha_1,\alpha_2,\cdots,\alpha_m} α1,α2,⋯,αm 回忆一下 1.设 r ( A ) r n r(A)rn r(A)rn 则 A X 0 \pmb{AX0} AX0 所有解构成的解向量组的极大线性无关组称为方程组 A X 0 \pmb{AX0} AX0 的一个基础解系。基础解系中所含有的线性无关的解向量的个数为 ( n − r ) (n-r) (n−r) 个。具体求解方法见方程组那一篇文章传松门 。 2.上一篇文章有定理 4不同特征值对应的特征向量线性无关。 第三步
一若 m n mn mn 则矩阵 A \pmb{A} A 可相似对角化对角化过程如下 有定理 5设 A \pmb{A} A 为 n n n 阶矩阵则 A \pmb{A} A 可相似对角化或与对角矩阵相似的充分必要条件是 A \pmb{A} A 有 n n n 个线性无关的特征向量。 令 P ( α 1 , α 2 , ⋯ , α n ) \pmb{P}(\pmb{\alpha_1,\alpha_2,\cdots,\alpha_n}) P(α1,α2,⋯,αn) 显然 P \pmb{P} P 可逆。 列向量组线性无关则矩阵满秩自然是可逆的。 由 A α 1 λ 1 α 1 , A α 2 λ 2 α 2 , ⋯ , A α n λ n α n \pmb{A\alpha_1}\lambda_1\pmb{\alpha_1},\pmb{A\alpha_2}\lambda_2\pmb{\alpha_2},\cdots,\pmb{A\alpha_n}\lambda_n\pmb{\alpha_n} Aα1λ1α1,Aα2λ2α2,⋯,Aαnλnαn 得 A P ( A α 1 , A α 2 , ⋯ , A α n ) ( λ 1 α 1 , λ 2 α 2 , ⋯ , λ n α n ) P [ λ 1 0 ⋯ 0 0 λ 2 ⋯ 0 ⋮ ⋮ ⋮ 0 0 ⋯ λ n ] , \pmb{AP}(\pmb{A\alpha_1,A\alpha_2,\cdots,A\alpha_n})(\lambda_1\pmb{\alpha_1},\lambda_2\pmb{\alpha_2},\cdots,\lambda_n\pmb{\alpha_n})\pmb{P}\begin{bmatrix} \lambda_{1} 0 \cdots 0\\ 0 \lambda_{2} \cdots 0 \\ \vdots \vdots \vdots \\ 0 0 \cdots \lambda_{n} \end{bmatrix}, AP(Aα1,Aα2,⋯,Aαn)(λ1α1,λ2α2,⋯,λnαn)P λ10⋮00λ2⋮0⋯⋯⋯00⋮λn , 两边同时左乘以 P − 1 \pmb{P^{-1}} P−1 有 P − 1 A P [ λ 1 0 ⋯ 0 0 λ 2 ⋯ 0 ⋮ ⋮ ⋮ 0 0 ⋯ λ n ] . \pmb{P}^{-1}\pmb{AP}\begin{bmatrix} \lambda_{1} 0 \cdots 0\\ 0 \lambda_{2} \cdots 0 \\ \vdots \vdots \vdots \\ 0 0 \cdots \lambda_{n} \end{bmatrix}. P−1AP λ10⋮00λ2⋮0⋯⋯⋯00⋮λn . 二若 m n mn mn 则矩阵 A \pmb{A} A 不可相似对角化。
3.2 实对称矩阵的相似对角化
3.2.1 实对称矩阵相似对角化定理
定理 1 —— 若 A T A \pmb{A}^T\pmb{A} ATA 则 A \pmb{A} A 一定可以相似对角化。
定理 2 —— 设 A T A \pmb{A}^T\pmb{A} ATA 则存在正交矩阵 Q \pmb{Q} Q 使得 Q T A Q [ λ 1 0 ⋯ 0 0 λ 2 ⋯ 0 ⋮ ⋮ ⋮ 0 0 ⋯ λ n ] . \pmb{Q}^T\pmb{AQ}\begin{bmatrix} \lambda_{1} 0 \cdots 0\\ 0 \lambda_{2} \cdots 0 \\ \vdots \vdots \vdots \\ 0 0 \cdots \lambda_{n} \end{bmatrix}. QTAQ λ10⋮00λ2⋮0⋯⋯⋯00⋮λn .
3.2.2 实对称矩阵相似对角化过程
第一步 由特征方程 ∣ λ E − A ∣ 0 |\lambda\pmb{E}-\pmb{A}|0 ∣λE−A∣0 求出矩阵 A \pmb{A} A 的特征值 λ 1 , λ 2 , ⋯ , λ n \lambda_1,\lambda_2,\cdots,\lambda_n λ1,λ2,⋯,λn ;
第二步 求齐次线性方程组 ( λ i E − A ) X 0 ( 1 ≤ i ≤ n ) (\lambda_i\pmb{E}-\pmb{A})\pmb{X}\pmb{0}(1\leq i \leq n) (λiE−A)X0(1≤i≤n) 的基础解系进而求出矩阵 A \pmb{A} A 的线性无关的特征向量 α 1 , α 2 , ⋯ , α n \pmb{\alpha_1,\alpha_2,\cdots,\alpha_n} α1,α2,⋯,αn
第三步
一找可逆矩阵 P \pmb{P} P 按照上述一般矩阵对角化过程进行
令 P ( α 1 , α 2 , ⋯ , α n ) \pmb{P}(\pmb{\alpha_1,\alpha_2,\cdots,\alpha_n}) P(α1,α2,⋯,αn) 显然 P \pmb{P} P 可逆。
由 A α 1 λ 1 α 1 , A α 2 λ 2 α 2 , ⋯ , A α n λ n α n \pmb{A\alpha_1}\lambda_1\pmb{\alpha_1},\pmb{A\alpha_2}\lambda_2\pmb{\alpha_2},\cdots,\pmb{A\alpha_n}\lambda_n\pmb{\alpha_n} Aα1λ1α1,Aα2λ2α2,⋯,Aαnλnαn 得 A P ( A α 1 , A α 2 , ⋯ , A α n ) ( λ 1 α 1 , λ 2 α 2 , ⋯ , λ n α n ) P [ λ 1 0 ⋯ 0 0 λ 2 ⋯ 0 ⋮ ⋮ ⋮ 0 0 ⋯ λ n ] , \pmb{AP}(\pmb{A\alpha_1,A\alpha_2,\cdots,A\alpha_n})(\lambda_1\pmb{\alpha_1},\lambda_2\pmb{\alpha_2},\cdots,\lambda_n\pmb{\alpha_n})\pmb{P}\begin{bmatrix} \lambda_{1} 0 \cdots 0\\ 0 \lambda_{2} \cdots 0 \\ \vdots \vdots \vdots \\ 0 0 \cdots \lambda_{n} \end{bmatrix}, AP(Aα1,Aα2,⋯,Aαn)(λ1α1,λ2α2,⋯,λnαn)P λ10⋮00λ2⋮0⋯⋯⋯00⋮λn , 两边同时左乘以 P − 1 \pmb{P^{-1}} P−1 有 P − 1 A P [ λ 1 0 ⋯ 0 0 λ 2 ⋯ 0 ⋮ ⋮ ⋮ 0 0 ⋯ λ n ] . \pmb{P}^{-1}\pmb{AP}\begin{bmatrix} \lambda_{1} 0 \cdots 0\\ 0 \lambda_{2} \cdots 0 \\ \vdots \vdots \vdots \\ 0 0 \cdots \lambda_{n} \end{bmatrix}. P−1AP λ10⋮00λ2⋮0⋯⋯⋯00⋮λn . 二找正交矩阵 Q \pmb{Q} Q 使得 Q T A Q \pmb{Q}^T\pmb{AQ} QTAQ 为对角矩阵的过程如下
1将 α 1 , α 2 , ⋯ , α n \pmb{\alpha_1,\alpha_2,\cdots,\alpha_n} α1,α2,⋯,αn 进行施密特正交化为 β 1 , β 2 , ⋯ , β n \pmb{\beta_1,\beta_2,\cdots,\beta_n} β1,β2,⋯,βn
2将 β 1 , β 2 , ⋯ , β n \pmb{\beta_1,\beta_2,\cdots,\beta_n} β1,β2,⋯,βn 规范化为 γ 1 , γ 2 , ⋯ , γ n \pmb{\gamma_1,\gamma_2,\cdots,\gamma_n} γ1,γ2,⋯,γn 。令 Q ( γ 1 , γ 2 , ⋯ , γ n ) \pmb{Q(\gamma_1,\gamma_2,\cdots,\gamma_n}) Q(γ1,γ2,⋯,γn) 显然 Q \pmb{Q} Q 为正交矩阵。实对称矩阵特征向量进行施密特正交化后仍然为特征向量因此有 A γ 1 λ 1 γ 1 , A γ 2 λ 2 γ 2 , ⋯ , A γ n λ n γ n \pmb{A\gamma_1}\lambda_1\pmb{\gamma_1},\pmb{A\gamma_2}\lambda_2\pmb{\gamma_2},\cdots,\pmb{A\gamma_n}\lambda_n\pmb{\gamma_n} Aγ1λ1γ1,Aγ2λ2γ2,⋯,Aγnλnγn 得 A Q Q [ λ 1 0 ⋯ 0 0 λ 2 ⋯ 0 ⋮ ⋮ ⋮ 0 0 ⋯ λ n ] , \pmb{AQ}\pmb{Q}\begin{bmatrix} \lambda_{1} 0 \cdots 0\\ 0 \lambda_{2} \cdots 0 \\ \vdots \vdots \vdots \\ 0 0 \cdots \lambda_{n} \end{bmatrix}, AQQ λ10⋮00λ2⋮0⋯⋯⋯00⋮λn , 两边同时左乘以 Q T \pmb{Q^{T}} QT 有 Q T A Q [ λ 1 0 ⋯ 0 0 λ 2 ⋯ 0 ⋮ ⋮ ⋮ 0 0 ⋯ λ n ] . \pmb{Q}^{T}\pmb{AQ}\begin{bmatrix} \lambda_{1} 0 \cdots 0\\ 0 \lambda_{2} \cdots 0 \\ \vdots \vdots \vdots \\ 0 0 \cdots \lambda_{n} \end{bmatrix}. QTAQ λ10⋮00λ2⋮0⋯⋯⋯00⋮λn . 一般矩阵不一定能相似对角化要求有 n n n 个线性无关的特征向量才可以相似对角化。 实对称矩阵的不同特征值对应的特征向量本来就是正交的之所以还要正交规范化是为了求一个正交矩阵。 下面是一些笔记注解
若矩阵 A \pmb{A} A 的特征值都是单值则 A \pmb{A} A 一定可以相似对角化。若 A \pmb{A} A 为实对称矩阵则 A \pmb{A} A 一定可以相似对角化。若 n n n 阶矩阵 A \pmb{A} A 有 n n n 个线性无关的特征向量则 A \pmb{A} A 一定可以相似对角化。若矩阵 A \pmb{A} A 的每个特征值的重数与其对应的线性无关的特征向量的个数相同时 A \pmb{A} A 一定可以相似对角化。若 A \pmb{A} A 至少有一个特征值其重数与其对应的线性无关的特征向量的个数不同时 A \pmb{A} A 一定不能相似对角化。若 A \pmb{A} A 不是实对称矩阵则 A \pmb{A} A 在相似对角化的过程中不可对特征向量进行正交规范化。因为有可能正交规范后就不是特征向量了。 写在最后
这一块内容刚接触可太费头脑了而且一定是需要大量练习题目的。
那到此关于特征值和特征向量的理论部分告一段落了最后只剩下一个二次型了。
