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1.图与网络的基本概念
1. 无向图和有向图
2. 简单图、完全图、赋权图
3. 顶点的度
4. 子图与图的连通性
2.图的矩阵表示
1. 关联矩阵
2. 邻接矩阵
3.最短路问题
1.Dijkstra 算法
2.Floyd 算法
4.最小生成树问题
1.Kruskal 算法
2.Prim 算法
5.着色问题
6.…目录
1.图与网络的基本概念
1. 无向图和有向图
2. 简单图、完全图、赋权图
3. 顶点的度
4. 子图与图的连通性
2.图的矩阵表示
1. 关联矩阵
2. 邻接矩阵
3.最短路问题
1.Dijkstra 算法
2.Floyd 算法
4.最小生成树问题
1.Kruskal 算法
2.Prim 算法
5.着色问题
6.旅行商问题
近似算法
7.网络最大流问题
Ford-Fulkerson 算法
8.计划评审方法与关键路径
9.钢管订购和运输
总结 专栏数学建模学习笔记 上一篇【MATLAB】和【Python】进行【图与网络模型】的高级应用与分析】 本篇是对上一篇的升华进一步学习 1.图与网络的基本概念
1. 无向图和有向图
根据PPT内容我们知道图的基本概念包括无向图和有向图。
无向图边没有方向表示为 (u, v) (v, u)。有向图边有方向表示为 (u, v) ≠ (v, u)。
PPT中的示例图可以用以下代码进行可视化
import networkx as nx
import matplotlib.pyplot as plt
import numpy as np
from matplotlib.font_manager import FontProperties# 设置中文字体
font FontProperties(fnamerC:\Windows\Fonts\simsun.ttc, size15)# 无向图的邻接矩阵
A_undirected np.array([[0, 1, 1, 0],[1, 0, 1, 1],[1, 1, 0, 1],[0, 1, 1, 0]
])# 有向图的邻接矩阵
A_directed np.array([[0, 1, 0, 0],[0, 0, 1, 0],[0, 0, 0, 1],[1, 0, 0, 0]
])# 使用邻接矩阵创建无向图和有向图
G_undirected nx.from_numpy_array(A_undirected)
G_directed nx.from_numpy_array(A_directed, create_usingnx.DiGraph)# 绘制无向图
plt.figure(figsize(10, 5))
plt.subplot(1, 2, 1)
nx.draw(G_undirected, with_labelsTrue, node_colorskyblue, edge_colorblack, node_size1500, font_size20)
plt.title(无向图, fontpropertiesfont)# 绘制有向图
plt.subplot(1, 2, 2)
nx.draw(G_directed, with_labelsTrue, node_colorlightgreen, edge_colorred, node_size1500, font_size20, arrowsTrue)
plt.title(有向图, fontpropertiesfont)plt.show()代码解析
networkx库用于创建和操作图。matplotlib库用于绘图。nx.Graph()创建无向图nx.DiGraph()创建有向图。add_edges_from()方法添加边。nx.draw()方法绘制图形。
2. 简单图、完全图、赋权图
简单图没有自环和重边的图。完全图任意两个不同顶点之间都有边的图。赋权图边上有权值的图。
PPT中的示例图可以用以下代码进行可视化
import networkx as nx
import matplotlib.pyplot as plt
# 简单图
G_simple nx.Graph()
G_simple.add_edges_from([(1, 2), (2, 3), (3, 4), (4, 1)])
plt.figure(figsize(8, 6))
plt.title(Simple Graph)
nx.draw(G_simple, with_labelsTrue, node_colorlightgreen, node_size2000, edge_colorblack, linewidths1, font_size15)
plt.show()# 完全图
G_complete nx.complete_graph(5)
plt.figure(figsize(8, 6))
plt.title(Complete Graph)
nx.draw(G_complete, with_labelsTrue, node_colorlightcoral, node_size2000, edge_colorblack, linewidths1, font_size15)
plt.show()# 赋权图
G_weighted nx.Graph()
G_weighted.add_weighted_edges_from([(1, 2, 0.6), (1, 3, 0.2), (2, 3, 0.8), (2, 4, 0.4)])
plt.figure(figsize(8, 6))
plt.title(Weighted Graph)
pos nx.spring_layout(G_weighted)
nx.draw(G_weighted, pos, with_labelsTrue, node_colorlightblue, node_size2000, edge_colorblack, linewidths1, font_size15)
labels nx.get_edge_attributes(G_weighted, weight)
nx.draw_networkx_edge_labels(G_weighted, pos, edge_labelslabels)
plt.show()代码解析
nx.complete_graph()创建完全图。nx.add_weighted_edges_from()添加有权值的边。nx.spring_layout()设置图的布局。nx.draw_networkx_edge_labels()显示边的权值。
3. 顶点的度
顶点的度连接该顶点的边的数目。
PPT中的示例可以用以下代码展示顶点的度
import networkx as nx
import matplotlib.pyplot as plt# 计算无向图的顶点度
G_undirected nx.Graph()
G_undirected.add_edges_from([(1, 2), (1, 3), (2, 4), (3, 4)])
G_undirected_degree G_undirected.degree()
plt.figure(figsize(8, 6))
plt.title(Undirected Graph - Node Degree)
nx.draw(G_undirected, with_labelsTrue, node_colorskyblue, node_size[v * 1000 for k, v in G_undirected_degree], edge_colorblack, linewidths1, font_size15)
plt.show()# 计算有向图的顶点入度和出度
G_directed nx.DiGraph()
G_directed.add_edges_from([(1, 2), (1, 3), (2, 4), (3, 4)])
G_directed_in_degree G_directed.in_degree()
G_directed_out_degree G_directed.out_degree()
plt.figure(figsize(8, 6))
plt.title(Directed Graph - Node In-Degree)
nx.draw(G_directed, with_labelsTrue, node_colorskyblue, node_size[v * 1000 for k, v in G_directed_in_degree], edge_colorblack, arrowsTrue, linewidths1, font_size15)
plt.show()plt.figure(figsize(8, 6))
plt.title(Directed Graph - Node Out-Degree)
nx.draw(G_directed, with_labelsTrue, node_colorskyblue, node_size[v * 1000 for k, v in G_directed_out_degree], edge_colorblack, arrowsTrue, linewidths1, font_size15)
plt.show()代码解析
degree()计算无向图顶点的度。in_degree()计算有向图顶点的入度。out_degree()计算有向图顶点的出度。 4. 子图与图的连通性
子图原图的部分顶点和边组成的图。连通图任意两个顶点之间都有路径相连的图。
PPT中的示例可以用以下代码展示子图和连通性
import networkx as nx
import matplotlib.pyplot as plt# 子图示例
G_undirected nx.Graph()
G_undirected.add_edges_from([(1, 2), (1, 3), (2, 4), (3, 4)])
subgraph_nodes [1, 2, 3]
G_subgraph G_undirected.subgraph(subgraph_nodes)
plt.figure(figsize(8, 6))
plt.title(Subgraph)
nx.draw(G_subgraph, with_labelsTrue, node_coloryellow, node_size2000, edge_colorblack, linewidths1, font_size15)
plt.show()# 连通图示例
G_connected nx.cycle_graph(5)
plt.figure(figsize(8, 6))
plt.title(Connected Graph)
nx.draw(G_connected, with_labelsTrue, node_colorlightblue, node_size2000, edge_colorblack, linewidths1, font_size15)
plt.show()# 不连通图示例
G_disconnected nx.Graph()
G_disconnected.add_edges_from([(1, 2), (3, 4)])
plt.figure(figsize(8, 6))
plt.title(Disconnected Graph)
nx.draw(G_disconnected, with_labelsTrue, node_colorlightblue, node_size2000, edge_colorblack, linewidths1, font_size15)
plt.show()代码解析
subgraph()生成子图。cycle_graph()创建连通图环图。添加孤立的边以生成不连通图。 2.图的矩阵表示
1. 关联矩阵
关联矩阵用于表示图中顶点与边之间的关系。在无向图中关联矩阵是一个 |V| × |E| 的矩阵其中 |V| 是顶点数|E| 是边数。矩阵中的元素 a[i][j] 表示顶点 i 是否与边 j 相连如果相连则为 1否则为 0。在有向图中a[i][j] 为 -1 表示顶点 i 是边 j 的起点为 1 表示顶点 i 是边 j 的终点。
根据PPT的描述我们可以用以下代码展示关联矩阵
import networkx as nx
import numpy as np# 无向图
G_undirected nx.Graph()
G_undirected.add_edges_from([(1, 2), (1, 3), (2, 4), (3, 4)])
G_undirected_adj nx.incidence_matrix(G_undirected).todense()
print(无向图的关联矩阵:\n, G_undirected_adj)# 有向图
G_directed nx.DiGraph()
G_directed.add_edges_from([(1, 2), (1, 3), (2, 4), (3, 4)])
G_directed_adj nx.incidence_matrix(G_directed, orientedTrue).todense()
print(有向图的关联矩阵:\n, G_directed_adj)代码解析
incidence_matrix()计算关联矩阵。orientedTrue用于有向图。
无向图的关联矩阵:[[1. 1. 0. 0.][1. 0. 1. 0.][0. 1. 0. 1.][0. 0. 1. 1.]]
有向图的关联矩阵:[[-1. -1. 0. 0.][ 1. 0. -1. 0.][ 0. 1. 0. -1.][ 0. 0. 1. 1.]]2. 邻接矩阵
邻接矩阵用于表示顶点之间是否直接相连。对于一个有 n 个顶点的图邻接矩阵是一个 n × n 的矩阵。对于无向图如果顶点 i 与顶点 j 之间有边相连则 a[i][j] 1否则 a[i][j] 0。在赋权图中a[i][j] 表示顶点 i 和顶点 j 之间边的权值如果没有边则为 0 或无穷大。
根据PPT的描述我们可以用以下代码展示邻接矩阵
import networkx as nx# 无向图
G_undirected nx.Graph()
G_undirected.add_edges_from([(1, 2), (1, 3), (2, 4), (3, 4)])
G_undirected_adj_matrix nx.adjacency_matrix(G_undirected).todense()
print(无向图的邻接矩阵:\n, G_undirected_adj_matrix)# 有向图
G_directed nx.DiGraph()
G_directed.add_edges_from([(1, 2), (1, 3), (2, 4), (3, 4)])
G_directed_adj_matrix nx.adjacency_matrix(G_directed).todense()
print(有向图的邻接矩阵:\n, G_directed_adj_matrix)代码解析
adjacency_matrix()计算邻接矩阵。
无向图的邻接矩阵:[[0 1 1 0][1 0 0 1][1 0 0 1][0 1 1 0]]
有向图的邻接矩阵:[[0 1 1 0][0 0 0 1][0 0 0 1][0 0 0 0]] 3.最短路问题
最短路问题是指在赋权图中找到从源点到目标点的最短路径。常见的算法有 Dijkstra 算法和 Floyd 算法。
1.Dijkstra 算法
Dijkstra 算法用于求解单源最短路径问题适用于所有边权值为非负的图。算法的基本思想是通过贪心策略每次选择距离起点最近的未访问顶点并更新其邻接顶点的距离。具体步骤如下
初始化源点到自身的距离为 0其余顶点的距离为无穷大。将所有顶点加入未访问集合。从未访问集合中选择距离起点最近的顶点 u标记 u 为已访问。对于 u 的每个邻接顶点 v如果 u 到 v 的距离加上 u 到起点的距离小于 v 到起点的当前距离则更新 v 的距离。重复步骤 3 和 4直到所有顶点都被访问。
Dijkstra 算法的时间复杂度为 O(V^2)对于稠密图比较适用。如果使用优先队列进行优化时间复杂度可以降到 O(E log V)。
PPT中的示例可以用以下代码展示Dijkstra算法
import heapqdef dijkstra(graph, start):pq [(0, start)]distances {vertex: float(infinity) for vertex in graph}distances[start] 0while pq:current_distance, current_vertex heapq.heappop(pq)if current_distance distances[current_vertex]:continuefor neighbor, weight in graph[current_vertex].items():distance current_distance weightif distance distances[neighbor]:distances[neighbor] distanceheapq.heappush(pq, (distance, neighbor))return distancesgraph {A: {B: 1, C: 4},B: {A: 1, C: 2, D: 5},C: {A: 4, B: 2, D: 1},D: {B: 5, C: 1}
}distances dijkstra(graph, A)
print(Dijkstras Algorithm Output:, distances)代码解析
heapq用于实现优先队列。dijkstra()函数实现了Dijkstra算法。distances存储每个顶点的最短距离。 Dijkstras Algorithm Output: {A: 0, B: 1, C: 3, D: 4} 2.Floyd 算法
Floyd 算法用于求解任意两点间的最短路径问题适用于所有边权值为非负的图。算法的基本思想是通过动态规划每次考虑加入一个中间顶点来更新最短路径。具体步骤如下
初始化一个距离矩阵直接使用图的邻接矩阵表示顶点之间的距离。对于每个顶点 k更新所有顶点对 (i, j) 的距离。如果 i 到 j 的距离通过顶点 k 更短则更新距离矩阵。重复上述步骤直到考虑完所有顶点。
Floyd 算法的时间复杂度为 O(V^3)适用于稀疏图和需要频繁查询任意两点最短路径的情况。
PPT中的示例可以用以下代码展示Floyd算法
def floyd_warshall(graph):nodes list(graph.keys())distances {node: {node2: float(infinity) for node2 in nodes} for node in nodes}for node in nodes:distances[node][node] 0for node in graph:for neighbor in graph[node]:distances[node][neighbor] graph[node][neighbor]for k in nodes:for i in nodes:for j in nodes:if distances[i][j] distances[i][k] distances[k][j]:distances[i][j] distances[i][k] distances[k][j]return distancesgraph {A: {B: 1, C: 4},B: {A: 1, C: 2, D: 5},C: {A: 4, B: 2, D: 1},D: {B: 5, C: 1}
}distances floyd_warshall(graph)
print(Floyd-Warshall Algorithm Output:)
for row in distances:print(row, distances[row])代码解析
floyd_warshall()函数实现了Floyd算法。distances存储每对顶点之间的最短距离。 Floyd-Warshall Algorithm Output: A {A: 0, B: 1, C: 3, D: 4} B {A: 1, B: 0, C: 2, D: 3} C {A: 3, B: 2, C: 0, D: 1} D {A: 4, B: 3, C: 1, D: 0} 4.最小生成树问题
最小生成树问题是指在一个连通图中找到一棵包含所有顶点且边权值之和最小的树。常见的算法有 Kruskal 算法和 Prim 算法。
1.Kruskal 算法
Kruskal 算法是一种贪心算法主要思想是每次选择权值最小的边并保证不形成圈直到构建出最小生成树。具体步骤如下 将图中的所有边按权值从小到大排序。初始化一个空集合用于存放最小生成树的边。从权值最小的边开始依次选择边如果选择的边与当前集合中的边不形成圈则将该边加入集合。重复步骤 3直到集合中包含 n-1 条边其中 n 是图的顶点数。 Kruskal 算法的时间复杂度为 O(E log E)适用于边数较少的稀疏图。
PPT中的示例可以用以下代码展示Kruskal算法
class DisjointSet:def __init__(self, vertices):self.parent {v: v for v in vertices}self.rank {v: 0 for v in vertices}def find(self, item):if self.parent[item] ! item:self.parent[item] self.find(self.parent[item])return self.parent[item]def union(self, set1, set2):root1 self.find(set1)root2 self.find(set2)if root1 ! root2:if self.rank[root1] self.rank[root2]:self.parent[root2] root1else:self.parent[root1] root2if self.rank[root1] self.rank[root2]:self.rank[root2] 1def kruskal(graph):edges [(weight, u, v) for u in graph for v, weight in graph[u].items()]edges.sort()ds DisjointSet(graph.keys())mst []for edge in edges:weight, u, v edgeif ds.find(u) ! ds.find(v):ds.union(u, v)mst.append((u, v, weight))return mstgraph {A: {B: 1, C: 4},B: {A: 1, C: 2, D: 5},C: {A: 4, B: 2, D: 1},D: {B: 5, C: 1}
}mst kruskal(graph)
print(Kruskals Algorithm Output:, mst)代码解析
DisjointSet类用于实现并查集以检测是否形成环。kruskal()函数实现了Kruskal算法。edges存储图中的所有边并按权值排序。mst存储最小生成树的边。 Kruskals Algorithm Output: [(A, B, 1), (C, D, 1), (B, C, 2)] 2.Prim 算法
Prim 算法也是一种贪心算法主要思想是从一个顶点开始每次选择连接已选顶点集合和未选顶点集合的最小权值边直至所有顶点都被选中。具体步骤如下 初始化一个顶点集合包括图中的任意一个顶点。初始化一个空集合用于存放最小生成树的边。从顶点集合中选择一条连接已选顶点和未选顶点的最小权值边将该边和边的终点加入集合。重复步骤 3直到所有顶点都被选中。 Prim 算法的时间复杂度为 O(V^2)适用于顶点数较少的稠密图。如果使用优先队列进行优化时间复杂度可以降到 O(E log V)。
PPT中的示例可以用以下代码展示Prim算法
import heapqdef prim(graph, start):mst []visited {start}edges [(weight, start, to) for to, weight in graph[start].items()]heapq.heapify(edges)while edges:weight, frm, to heapq.heappop(edges)if to not in visited:visited.add(to)mst.append((frm, to, weight))for to_next, weight in graph[to].items():if to_next not in visited:heapq.heappush(edges, (weight, to, to_next))return mstgraph {A: {B: 1, C: 4},B: {A: 1, C: 2, D: 5},C: {A: 4, B: 2, D: 1},D: {B: 5, C: 1}
}mst prim(graph, A)
print(Prims Algorithm Output:, mst)代码解析
prim()函数实现了Prim算法。visited存储已选顶点。edges存储连接已选顶点和未选顶点的边。 Prims Algorithm Output: [(A, B, 1), (B, C, 2), (C, D, 1)] 5.着色问题
图着色是指将图的顶点涂上不同的颜色使得相邻顶点颜色不同。图着色问题的目的是使用尽可能少的颜色。图着色在调度问题、地图着色等实际问题中有广泛应用。
PPT中的示例可以用以下代码展示图着色
import networkx as nx
import matplotlib.pyplot as pltdef greedy_coloring(graph):color_map {}for node in graph:available_colors set(range(len(graph)))for neighbor in graph[node]:if neighbor in color_map:available_colors.discard(color_map[neighbor])color_map[node] min(available_colors)return color_mapgraph {A: [B, C],B: [A, C, D],C: [A, B, D],D: [B, C]
}coloring greedy_coloring(graph)
print(Graph Coloring Output:, coloring)# 可视化图着色
G_coloring nx.Graph(graph)
colors [coloring[node] for node in G_coloring.nodes()]
plt.figure(figsize(8, 6))
plt.title(Graph Coloring)
nx.draw(G_coloring, with_labelsTrue, node_colorcolors, node_size2000, cmapplt.cm.rainbow, edge_colorblack, linewidths1, font_size15)
plt.show()代码解析
greedy_coloring()函数实现了贪心着色算法。color_map存储每个顶点的颜色。available_colors存储每个顶点可用的颜色。 Graph Coloring Output: {A: 0, B: 1, C: 2, D: 0} 6.旅行商问题
旅行商问题是指在一组城市中找出一条最短路径使得旅行商访问每个城市一次并回到起点。这是一个经典的 NP 完全问题求解方法包括近似算法和启发式算法。
近似算法
由于旅行商问题的复杂性通常使用近似算法来求解如贪心算法、动态规划等。贪心算法通过每次选择距离当前城市最近的未访问城市来构建路径而动态规划通过记忆化搜索来避免重复计算。
PPT中的示例可以用以下代码展示旅行商问题
import itertoolsdef tsp_brute_force(graph):nodes list(graph.keys())shortest_path Nonemin_cost float(infinity)for perm in itertools.permutations(nodes):cost 0for i in range(len(perm) - 1):cost graph[perm[i]][perm[i 1]]cost graph[perm[-1]][perm[0]]if cost min_cost:min_cost costshortest_path permreturn shortest_path, min_costgraph {A: {B: 10, C: 15, D: 20},B: {A: 10, C: 35, D: 25},C: {A: 15, B: 35, D: 30},D: {A: 20, B: 25, C: 30}
}path, cost tsp_brute_force(graph)
print(TSP Brute Force Output:, path, with cost, cost)代码解析
itertools.permutations()生成所有可能的路径。tsp_brute_force()函数实现了暴力求解旅行商问题。shortest_path存储最短路径min_cost存储最小成本。 TSP Brute Force Output: (A, B, D, C) with cost 80 7.网络最大流问题
网络最大流问题是指在一个流网络中找到从源点到汇点的最大流量路径。常见的算法有 Ford-Fulkerson 算法。
Ford-Fulkerson 算法
Ford-Fulkerson 算法通过反复寻找增广路径来增加流量直到找不到增广路径为止。具体步骤如下
初始化流量为 0。使用深度优先搜索或广度优先搜索找到一条增广路径。更新增广路径上的流量增加路径上的最小残余容量。重复步骤 2 和 3直到找不到增广路径。
Ford-Fulkerson 算法的时间复杂度为 O(E |f|)其中 E 是边数|f| 是最大流量的值。
PPT中的示例可以用以下代码展示Ford-Fulkerson算法
from collections import dequedef bfs(C, F, source, sink):queue deque([source])paths {source: []}while queue:u queue.popleft()for v in C[u]:if C[u][v] - F[u][v] 0 and v not in paths:paths[v] paths[u] [(u, v)]if v sink:return paths[v]queue.append(v)return Nonedef ford_fulkerson(graph, source, sink):C {u: {} for u in graph}for u in graph:for v, capacity in graph[u].items():C[u][v] capacityif v not in C:C[v] {}C[v][u] 0F {u: {v: 0 for v in C[u]} for u in C}max_flow 0while True:path bfs(C, F, source, sink)if not path:breakflow min(C[u][v] - F[u][v] for u, v in path)for u, v in path:F[u][v] flowF[v][u] - flowmax_flow flowreturn max_flowgraph {A: {B: 3, C: 3},B: {C: 2, D: 3},C: {D: 2, E: 2},D: {F: 2},E: {D: 1, F: 3},F: {}
}max_flow ford_fulkerson(graph, A, F)
print(Ford-Fulkerson Algorithm Output:, max_flow)代码解析
bfs()函数实现广度优先搜索找到增广路径。ford_fulkerson()函数实现Ford-Fulkerson算法。C存储容量F存储流量。max_flow存储最大流量。 Ford-Fulkerson Algorithm Output: 4 8.计划评审方法与关键路径
关键路径法CPM用于项目管理中通过计算项目中各任务的最早开始时间和最晚完成时间找出影响项目工期的关键路径。关键路径是指项目中耗时最长的路径决定了项目的最短完成时间。
PPT中的示例可以用以下代码展示关键路径法
def critical_path_method(tasks):longest_path []max_duration 0for task in tasks:if task[duration] max_duration:max_duration task[duration]longest_path [task[name]]elif task[duration] max_duration:longest_path.append(task[name])return longest_path, max_durationtasks [{name: A, duration: 3},{name: B, duration: 2},{name: C, duration: 4},{name: D, duration: 1},{name: E, duration: 3}
]path, duration critical_path_method(tasks)
print(Critical Path Method Output:, path, with duration, duration)代码解析
critical_path_method()函数计算关键路径。tasks存储每个任务的名称和持续时间。longest_path存储关键路径max_duration存储最长持续时间。 Critical Path Method Output: [C] with duration 4 9.钢管订购和运输
钢管订购和运输问题涉及从多个供应点向需求点运输钢管要求最小化运输和铺设费用。具体步骤包括
构建运费矩阵计算从各个供应点到各个需求点的运输费用。构建数学规划模型设定目标函数为总费用最小化。使用优化算法求解模型确定最佳的订购和运输方案。
PPT中的示例可以用以下代码展示钢管订购和运输问题
from scipy.optimize import linprogc [20, 30, 10, 40, 30, 20, 10, 20, 10] # 费用系数
A_eq [[1, 1, 0, 1, 0, 0, 0, 0, 0],[0, 0, 1, 0, 1, 1, 0, 0, 0],[0, 0, 0, 0, 0, 0, 1, 1, 1]
] # 约束条件
b_eq [200, 150, 100] # 需求
bounds [(0, float(inf))] * len(c) # 变量边界res linprog(c, A_eqA_eq, b_eqb_eq, boundsbounds, methodhighs)
print(Optimal value:, res.fun)
print(Optimal solution:, res.x)代码解析
linprog()函数求解线性规划问题。c表示费用系数A_eq表示约束条件b_eq表示需求bounds表示变量边界。res.fun返回最优值res.x返回最优解。 Optimal value: 6500.0 Optimal solution: [200. 0. 150. 0. 0. 0. 100. 0. 0.] 总结
图与网络模型的基本概念、矩阵表示、最短路径、最小生成树、着色问题、旅行商问题、网络最大流问题及关键路径法等主题结合PPT内容和Python代码实例深入解析了每个主题的核心算法和应用场景提供了可视化代码和图形展示以便更好地理解和应用这些重要的图论算法。
