正在建设中的网站,旺店通app手机企业版下载,做网站怎么建站点,信息流网站建设第七章#xff0c;相似矩阵及其应用#xff0c;3-二次型、合同矩阵与合同变换 二次型相关概念二次型二次型的标准形和规范形表示形式 合同矩阵与合同变换定义 合同合同矩阵的性质等价、相似、合同三种关系的对比等价相似合同 玩转线性代数(38)二次型概念、合同矩阵与合同变换… 第七章相似矩阵及其应用3-二次型、合同矩阵与合同变换 二次型相关概念二次型二次型的标准形和规范形表示形式 合同矩阵与合同变换定义 合同合同矩阵的性质等价、相似、合同三种关系的对比等价相似合同 玩转线性代数(38)二次型概念、合同矩阵与合同变换的笔记相关证明以及例子见原文 二次型相关概念
二次型
含有n个变量 x 1 , x 2 , . . . x n x_1,x_2,...x_n x1,x2,...xn的二次齐次函数: f ( x 1 , x 2 , . . . x n ) a 11 x 1 2 a 22 x 2 2 . . . a n n x n 2 2 a 12 x 1 x 2 2 a 13 x 1 x 3 . . . 2 a n − 1 , n x n − 1 x n f(x_1,x_2,...x_n)a_{11}x_1^2a_{22}x_2^2...a_{nn}x_n^22a_{12}x_1x_22a_{13}x_1x_3...2a_{n-1,n}x_{n-1}x_n f(x1,x2,...xn)a11x12a22x22...annxn22a12x1x22a13x1x3...2an−1,nxn−1xn 称为二次型。
二次型的标准形和规范形 f k 1 y 1 2 k 2 y 2 2 . . . k n y n 2 fk_1y_1^2k_2y_2^2...k_ny_n^2 fk1y12k2y22...knyn2 这种只含平方项的二次型称为二次型的标准形。 如果二次型的标准形形如 f y 1 2 . . . y p 2 − y p 1 2 − . . . − y r 2 f y_1^2...y_p^2-y_{p1}^2-...-y_r^2 fy12...yp2−yp12−...−yr2 即系数只有-1,1,0三个取值称为二次型的规范形。
表示形式 f ( x 1 , x 2 , . . . x n ) a 11 x 1 2 a 22 x 2 2 . . . a n n x n 2 2 a 12 x 1 x 2 2 a 13 x 1 x 3 . . . 2 a n − 1 , n x n − 1 x n f(x_1,x_2,...x_n)a_{11}x_1^2a_{22}x_2^2...a_{nn}x_n^22a_{12}x_1x_22a_{13}x_1x_3...2a_{n-1,n}x_{n-1}x_n f(x1,x2,...xn)a11x12a22x22...annxn22a12x1x22a13x1x3...2an−1,nxn−1xn 取 a i j a j i a_{ij}a_{ji} aijaji对称矩阵则 2 a i j x i x j a i j x i x j a j i x j x i 2a_{ij}x_ix_ja_{ij}x_ix_ja_{ji}x_jx_i 2aijxixjaijxixjajixjxi于是 f ∑ i , j 1 n a i j x i x j ( x 1 , x 2 , . . . , x n ) ( a 11 a 12 ⋯ a 1 n a 21 a 22 ⋯ a 2 n ⋯ ⋯ ⋯ ⋯ a n 1 a n 2 ⋯ a n n ) ( x 1 x 2 ⋮ x n ) x T A x f\sum_{i,j1}^na_{ij}x_ix_j (x_1,x_2,...,x_n)\begin{pmatrix} a_{11} a_{12} \cdots a_{1n} \\ a_{21} a_{22} \cdots a_{2n} \\ \cdots \cdots \cdots \cdots \\ a_{n1} a_{n2} \cdots a_{nn} \end{pmatrix}\begin{pmatrix} x_1 \\ x_2 \\ \vdots \\ x_n \end{pmatrix}x^TAx fi,j1∑naijxixj(x1,x2,...,xn) a11a21⋯an1a12a22⋯an2⋯⋯⋯⋯a1na2n⋯ann x1x2⋮xn xTAx 把对称矩阵A叫做二次型f的矩阵f叫做对称矩阵A的二次型对称矩阵A的秩叫做二次型f的秩
合同矩阵与合同变换
设有可逆线性变换xCy将xCy代入 f x T A x fx^TAx fxTAx有 f x T A x ( C y ) T A ( C y ) y T ( C T A C ) y y T B y fx^TAx(Cy)^TA(Cy)y^T(C^TAC)yy^TBy fxTAx(Cy)TA(Cy)yT(CTAC)yyTBy 理解线性变换后将向量的坐标由x变换为了y令原坐标系为 E ( e 1 , e 2 , . . . , e n ) E(e_1,e_2,...,e_n) E(e1,e2,...,en)变换之后 E C C ECC ECC过渡矩阵为C则新基为 C ( c 1 , c 2 , . . . , c n ) C(c_1,c_2,...,c_n) C(c1,c2,...,cn)向量在新基下的坐标为y, y C − 1 x yC^{-1}x yC−1x是坐标变换公式
定义 合同
设A与B为n阶方阵若有可逆矩阵C使 B C T A C BC^TAC BCTAC则称矩阵A与B合同 本质是同一个二次型在不同基下的矩阵对比相似矩阵相似矩阵是同一个线性变换在不同基下的表示矩阵合同矩阵首先都是对称的又因 B C T A C BC^TAC BCTACC可逆故合同矩阵又是等价的。
合同矩阵的性质
1自反性 任意方阵A与其自身合同 E T A E A E^TAEA ETAEA 2对称性 若A与B合同则B与A合同若A与B合同则存在可逆阵C使得 C T A C B C^TACB CTACB则 A ( C T ) − 1 B ( C − 1 ) ( C − 1 ) T B ( C − 1 ) A(C^T)^{-1}B(C^{-1})(C^{-1})^TB(C^{-1}) A(CT)−1B(C−1)(C−1)TB(C−1)即B与A合同 3传递性 若A与B合同B与C合同则A与C合同由 B C 1 T A C 1 , C C 2 T B C 2 BC_1^TAC_1,CC_2^TBC_2 BC1TAC1,CC2TBC2得 C C 2 T ( C 1 T A C 1 ) C 2 ( C 1 C 2 ) T A ( C 1 C 2 ) CC_2^T(C_1^TAC_1)C_2(C_1C_2)^TA(C_1C_2) CC2T(C1TAC1)C2(C1C2)TA(C1C2)故A与C合同。
等价、相似、合同三种关系的对比
等价
A经过若干次初等行变换或初等列变换得到B则A与B等价 ⇔ \Leftrightarrow ⇔ 存在可逆阵P,A使 P A Q B PAQB PAQB成立
相似
A与B相似 ⇔ \Leftrightarrow ⇔存在可逆阵P使 P − 1 A P B P^{-1}APB P−1APB。(同一个线性变换在不同基下的表示矩阵)
合同
A与B合同 ⇔ \Leftrightarrow ⇔存在可逆阵P使 P T A P B P^TAPB PTAPB。(同一个二次型在不同可逆线性变换下的矩阵)
通过以上三个定义可以看出相似矩阵一定是等价矩阵合同矩阵一定是等价矩阵但等价矩阵不一定是相似矩阵也不一定是合同矩阵
