玉树市wap网站建设公司,QQ点钓鱼网站后怎么做,手机版oa办公软件,wordpress加密修改信号与系统复习笔记——傅里叶变换
周期信号的傅里叶级数表示
特征函数
假设LTI系统的输入为 x ( t ) e s t x(t) e^{st} x(t)est 输出为#xff1a; y ( t ) e s t ∗ h ( t ) ∫ − ∞ ∞ e s ( t − τ ) h ( τ ) d τ e s t ∫ − ∞ ∞ e − s τ h ( τ ) d…信号与系统复习笔记——傅里叶变换
周期信号的傅里叶级数表示
特征函数
假设LTI系统的输入为 x ( t ) e s t x(t) e^{st} x(t)est 输出为 y ( t ) e s t ∗ h ( t ) ∫ − ∞ ∞ e s ( t − τ ) h ( τ ) d τ e s t ∫ − ∞ ∞ e − s τ h ( τ ) d τ x ( t ) H ( s ) y(t) e^{st} \ast h(t) \int_{-\infty}^{\infty} e^{s(t - \tau)} h(\tau) d\tau e^{st}\int_{-\infty}^{\infty}e^{-s\tau}h(\tau) d\tau x(t)H(s) y(t)est∗h(t)∫−∞∞es(t−τ)h(τ)dτest∫−∞∞e−sτh(τ)dτx(t)H(s)
定义LTI系统的特征函数为 H ( s ) ∫ − ∞ ∞ e − s τ h ( τ ) d τ H(s) \int_{-\infty}^{\infty}e^{-s\tau}h(\tau) d\tau H(s)∫−∞∞e−sτh(τ)dτ
CT周期函数的傅里叶级数表示
对于周期函数 x T ( t ) x_T(t) xT(t) 来说周期为 T T T 角频率为 ω 0 2 π T \omega_0 \frac{2 \pi}{T} ω0T2π 那么其傅里叶级数表示的形式为 x T ( t ) ∑ k − ∞ ∞ a k e j k ω 0 t , (综合公式) x_T(t) \sum_{k -\infty}^{\infty} a_k e^{jk\omega_0t} ,\text{(综合公式)} xT(t)k−∞∑∞akejkω0t,(综合公式)
其中 a k a_k ak 为 x T ( t ) x_T(t) xT(t) 的 k k k 次谐波的傅里叶级数的系数。
其中 e j k ω 0 t e^{jk\omega_0t} ejkω0t 称为旋转因子而 e − j k ω 0 t e^{-jk\omega_0t} e−jkω0t 称为筛选因子确定傅里叶系数的方法是两边同时乘以系数为 n n n 的筛选因子 x T ( t ) e − j n ω 0 t ∑ k − ∞ ∞ a k e j k ω 0 t e − j n ω 0 t x_T(t) e^{-jn\omega_0t} \sum_{k -\infty}^{\infty} a_k e^{jk\omega_0t} e^{-jn\omega_0t} xT(t)e−jnω0tk−∞∑∞akejkω0te−jnω0t
同时在一个周期内做积分 ∫ 0 T x T ( t ) e − j n ω 0 t d t ∫ 0 T ∑ k − ∞ ∞ a k e j k ω 0 t e − j n ω 0 t d t ∑ k − ∞ ∞ a k ∫ 0 T e j ( k − n ) ω 0 t d t \int_0^T x_T(t) e^{-jn\omega_0t} dt \int_0^T \sum_{k -\infty}^{\infty} a_k e^{jk\omega_0t} e^{-jn\omega_0t} dt \sum_{k -\infty}^{\infty} a_k \int_0^T e^{j(k-n)\omega_0t} dt ∫0TxT(t)e−jnω0tdt∫0Tk−∞∑∞akejkω0te−jnω0tdtk−∞∑∞ak∫0Tej(k−n)ω0tdt
对于积分 ∫ 0 T e j ( k − n ) ω 0 t d t \int_0^T e^{j(k-n)\omega_0t} dt ∫0Tej(k−n)ω0tdt 来说当 k n k n kn 的时候积分值为 T T T 否则等于 0 0 0 也就是 ∫ 0 T x T ( t ) e − j n ω 0 t d t T a n \int_0^T x_T(t) e^{-jn\omega_0t} dt Ta_n ∫0TxT(t)e−jnω0tdtTan
即 a n 1 T ∫ 0 T x T ( t ) e − j n ω 0 t d t , (分析公式) a_n \frac{1}{T} \int_0^T x_T(t) e^{-jn\omega_0t} dt,\text{(分析公式)} anT1∫0TxT(t)e−jnω0tdt,(分析公式)
CT的傅里叶级数的性质
性质周期信号傅里叶系数线性 A x ( t ) B y ( t ) Ax(t) By(t) Ax(t)By(t) A a k B b k Aa_k Bb_k AakBbk时移 x ( t − t 0 ) x(t - t_0) x(t−t0) a k e − j k ω 0 t 0 a_k e^{-jk\omega_0t_0} ake−jkω0t0频移 x ( t ) e j M ω 0 t x(t)e^{jM\omega_0t} x(t)ejMω0t a k − M a_{k - M} ak−M共轭 x ∗ ( t ) x^*(t) x∗(t) a − k ∗ a^*_{-k} a−k∗时间翻转 x ( − t ) x(-t) x(−t) a − k a_{-k} a−k时域尺度变换 x ( α t ) x(\alpha t) x(αt) a k ( T T / α ) a_k(TT/\alpha) ak(TT/α)周期卷积 ∫ T x ( τ ) y ( t − τ ) d τ \int_T x(\tau)y(t-\tau) d\tau ∫Tx(τ)y(t−τ)dτ T a k b k Ta_kb_k Takbk相乘 x ( t ) y ( t ) x(t)y(t) x(t)y(t) ∑ l − ∞ ∞ a l b k − l \sum_{l -\infty}^{\infty}a_l b_{k-l} ∑l−∞∞albk−l微分 d x ( t ) d t \frac{dx(t)}{dt} dtdx(t) j k ω 0 a k jk\omega_0a_k jkω0ak积分 ∫ − ∞ t x ( t ) d t \int_{-\infty}^t x(t) dt ∫−∞tx(t)dt 1 j k ω 0 a k \frac{1}{jk\omega_0}a_k jkω01ak实信号的共轭对称性 x ( t ) x(t) x(t) 为实信号 a k − a k ∗ a_k -a^*_k ak−ak∗实偶信号 x ( t ) x(t) x(t) 为实偶信号 a k a_k ak 为实偶函数实奇信号 x ( t ) x(t) x(t) 为实奇信号 a k a_k ak 为纯虚奇函数实信号的奇偶分解 x e ( t ) E v { x ( t ) } , x o ( t ) O d { x ( t ) } x_e(t) Ev\{x(t)\}, x_o(t) Od\{x(t)\} xe(t)Ev{x(t)},xo(t)Od{x(t)} 并且 x ( t ) x(t) x(t) 为实信号 ℜ { a k } , j ℑ { a k } \Re\{a_k\},j\Im\{a_k\} ℜ{ak},jℑ{ak}周期信号的帕瓦尔定理 x ( t ) x(t) x(t) 1 T ∫ T ∣ x ( t ) ∣ 2 d t ∑ k − ∞ ∞ ∣ a k ∣ 2 \frac{1}{T} \int_T |x(t)|^2 dt \sum_{k -\infty}^{\infty} |a_k|^2 T1∫T∣x(t)∣2dt∑k−∞∞∣ak∣2
DT周期信号的傅里叶级数表示
定义周期信号的周期为 N N N 有 x [ n ] x [ n N ] x[n] x[n N] x[n]x[nN] 。而 ω 0 2 π N \omega_0 \frac{2\pi}{N} ω0N2π 为基波频率。则 k k k 次谐波转子为 ϕ k [ n ] e j k ω 0 n \phi_k[n] e^{jk\omega_0n} ϕk[n]ejkω0n
并且因为再离散时间中 k k k 和 n n n 均为整数的话那么 ϕ k [ n ] \phi_k[n] ϕk[n] 也为关于 k k k 周期为 N N N 的函数也就是 ϕ [ n ] ϕ k r N [ n ] \phi[n] \phi_{k rN}[n] ϕ[n]ϕkrN[n]
这就是说周期为 N N N 的离散时间信号其傅里叶级数的系数只有 N N N 个并且是一个周期为 N N N 的序列。因此DT周期信号的傅里叶级数表示为 x [ n ] ∑ k N a k e j k ω o n , (综合公式) x[n] \sum_{k N} a_k e^{jk\omega_on},\text{(综合公式)} x[n]kN∑akejkωon,(综合公式)
对于连续的 N N N 个取值 x [ 0 ] ∑ k N a k , x [ 1 ] ∑ k N a k e j k ω 0 , … , x [ N − 1 ] ∑ k N a k e j k ω 0 ( N − 1 ) x[0] \sum_{kN} a_k, x[1] \sum_{kN} a_k e^{jk\omega_0},\ldots, x[N-1] \sum_{kN} a_k e^{jk\omega_0(N-1)} x[0]kN∑ak,x[1]kN∑akejkω0,…,x[N−1]kN∑akejkω0(N−1)
这些是 N N N 个线性独立的方程可以直接解出 N N N 个系数的值。若想通过CT同样的方法有以下的事实 ∑ n N e j k ω 0 n N ( k 0 , ± N , ± 2 N , … ) \sum_{n N} e^{jk\omega_0}n N (k 0,\pm N,\pm 2N,\ldots) nN∑ejkω0nN(k0,±N,±2N,…)
否则其他情况下等于 0 0 0 。
那么同样的先乘以关于 r r r 的提取因子然后在一个周期中求和 ∑ n N x [ n ] e − j r ω 0 n ∑ n N ∑ k N a k e j ( k − r ) ω 0 n ∑ k N a k ∑ n N e j ( k − r ) ω 0 n \sum_{n N} x[n]e^{-jr\omega_0 n} \sum_{n N} \sum_{k N} a_k e^{j(k - r)\omega_0 n} \sum_{k N} a_k \sum_{n N} e^{j(k - r)\omega_0 n} nN∑x[n]e−jrω0nnN∑kN∑akej(k−r)ω0nkN∑aknN∑ej(k−r)ω0n
对于和式 ∑ n N e j ( k − r ) ω 0 n \sum_{n N} e^{j(k - r)\omega_0 n} ∑nNej(k−r)ω0n 当 k r c N k r cN krcN 的时候即 k − r k-r k−r 是 N N N 的整数倍的时候又因为在一个周期内只有一次 k − r k-r k−r 是 N N N 的整数倍且对应 k r k r kr 于是右边就等于 N a r Na_r Nar 因此 a r 1 N ∑ n N x [ n ] e − j r ω 0 n , (分析公式) a_r \frac{1}{N} \sum_{n N} x[n]e^{-jr\omega_0 n},\text{(分析公式)} arN1nN∑x[n]e−jrω0n,(分析公式)
DT的傅里叶级数的性质
性质周期信号傅里叶系数线性 A x [ n ] B y [ n ] Ax[n] By[n] Ax[n]By[n] A a k B b k Aa_k Bb_k AakBbk时移 x [ n − n 0 ] x[n - n_0] x[n−n0] a k e − j k ω 0 n 0 a_k e^{-jk\omega_0n_0} ake−jkω0n0频移 x [ n ] e j M ω 0 n x[n]e^{jM\omega_0n} x[n]ejMω0n a k − M a_{k - M} ak−M共轭 x ∗ [ n ] x^*[n] x∗[n] a − k ∗ a^*_{-k} a−k∗时间翻转 x [ − n ] x[-n] x[−n] a − k a_{-k} a−k时域尺度变换 x ( m ) [ n ] x [ n / m ] x_{(m)}[n]x[n/m] x(m)[n]x[n/m] 1 m a k ( N N m ) \frac{1}{m}a_k(NNm) m1ak(NNm)周期卷积 ∑ r N x [ r ] y [ n − r ] d τ \sum_{r N} x[r]y[n-r] d\tau ∑rNx[r]y[n−r]dτ N a k b k Na_kb_k Nakbk相乘 x [ n ] y [ n ] x[n]y[n] x[n]y[n] ∑ l N a l b k − l \sum_{l N} a_l b_{k-l} ∑lNalbk−l一阶差分 x [ n ] − x [ n − 1 ] x[n] - x[n - 1] x[n]−x[n−1] ( 1 − e − j k ω 0 ) a k (1 - e^{-jk\omega_0})a_k (1−e−jkω0)ak求和 ∑ k − ∞ n x [ k ] \sum_{k -\infty}^{n} x[k] ∑k−∞nx[k] 1 ( 1 − e − j k ω 0 ) a k \frac{1}{(1 - e^{-jk\omega_0})}a_k (1−e−jkω0)1ak实信号的共轭对称性 x [ n ] x[n] x[n] 为实信号 a k − a k ∗ a_k -a^*_k ak−ak∗实偶信号 x [ n ] x[n] x[n] 为实偶信号 a k a_k ak 为实偶函数实奇信号 x [ n ] x[n] x[n] 为实奇信号 a k a_k ak 为纯虚奇函数实信号的奇偶分解 x e [ n ] E v { x [ n ] } , x o [ n ] O d { x [ n ] } x_e[n] Ev\{x[n]\}, x_o[n] Od\{x[n]\} xe[n]Ev{x[n]},xo[n]Od{x[n]} 并且 x [ n ] x[n] x[n] 为实信号 ℜ { a k } , j ℑ { a k } \Re\{a_k\},j\Im\{a_k\} ℜ{ak},jℑ{ak}周期信号的帕瓦尔定理 x [ n ] x[n] x[n] 1 N ∑ n N ∣ x [ n ] ∣ 2 ∑ k N ∣ a k ∣ 2 \frac{1}{N} \sum_{n N} |x[n]|^2 \sum_{k N} |a_k|^2 N1∑nN∣x[n]∣2∑kN∣ak∣2
连续时间傅里叶变换
连续时间非周期的傅里叶表示
假设连续时间的周期信号为 x T ( t ) x_T(t) xT(t) 对应的单个周期信号为 x ( t ) x(t) x(t) 因为 a k 1 T ∫ − T / 2 T / 2 x T ( t ) e − j k ω 0 t d t 1 T ∫ − ∞ ∞ x ( t ) e − j k ω 0 t d t a_k \frac{1}{T} \int_{-T/2}^{T/2} x_T(t) e^{-jk\omega_0t} dt \frac{1}{T} \int_{-\infty}^{\infty} x(t) e^{-jk\omega_0t} dt akT1∫−T/2T/2xT(t)e−jkω0tdtT1∫−∞∞x(t)e−jkω0tdt
定义 T a k Ta_k Tak 的包络函数为 X ( j ω ) ∫ − ∞ ∞ x ( t ) e − j ω t d t , (分析公式) X(j\omega) \int_{-\infty}^{\infty} x(t) e^{-j\omega t} dt,\text{(分析公式)} X(jω)∫−∞∞x(t)e−jωtdt,(分析公式)
此时 a k a_k ak 可以表示为 a k 1 T X ( j k ω 0 ) a_k \frac{1}{T} X(jk\omega_0) akT1X(jkω0)
并且 x T ( t ) ∑ k − ∞ ∞ 1 T X ( j k ω 0 ) e j k ω 0 t 1 2 π ∑ k − ∞ ∞ X ( j k ω 0 ) e j k ω 0 t ω 0 x_T(t) \sum_{k -\infty}^{\infty} \frac{1}{T}X(jk\omega_0) e^{jk\omega_0t} \frac{1}{2\pi} \sum_{k -\infty}^{\infty} X(jk\omega_0) e^{jk\omega_0t} \omega_0 xT(t)k−∞∑∞T1X(jkω0)ejkω0t2π1k−∞∑∞X(jkω0)ejkω0tω0
接下来进行周期延拓即 lim T → ∞ x T ( t ) x ( t ) \lim_{T \to \infty} x_T(t) x(t) limT→∞xT(t)x(t) 有 x ( t ) 1 2 π ∫ − ∞ ∞ X ( j ω ) e j ω t d ω , (综合公式) x(t) \frac{1}{2\pi} \int_{-\infty}^{\infty} X(j\omega) e^{j\omega t} d\omega,\text{(综合公式)} x(t)2π1∫−∞∞X(jω)ejωtdω,(综合公式)
上面两式称为傅里叶变换。
连续时间傅里叶变换的性质
性质周期信号傅里叶系数线性 A x ( t ) B y ( t ) Ax(t) By(t) Ax(t)By(t) A X ( j ω ) B Y ( j ω ) AX(j\omega) BY(j\omega) AX(jω)BY(jω)时移 x ( t − t 0 ) x(t - t_0) x(t−t0) X ( j ω ) e − j ω t 0 X(j\omega) e^{-j\omega t_0} X(jω)e−jωt0频移 x ( t ) e j ω 0 t x(t)e^{j\omega_0 t} x(t)ejω0t X ( j ( ω − ω 0 ) ) X(j(\omega - \omega_0)) X(j(ω−ω0))共轭 x ∗ ( t ) x^*(t) x∗(t) X ∗ ( − j ω ) X^*(-j\omega) X∗(−jω)时间翻转 x ( − t ) x(-t) x(−t) X ( − j ω ) X(-j\omega) X(−jω)时域尺度变换 x ( α t ) x(\alpha t) x(αt) 1 ∣ a ∣ X ( j ω a ) \frac{1}{|a|} X(\frac{j\omega}{a}) ∣a∣1X(ajω)卷积 x ( t ) ∗ y ( t ) x(t) \ast y(t) x(t)∗y(t) X ( j ω ) Y ( j ω ) X(j\omega)Y(j\omega) X(jω)Y(jω)相乘 x ( t ) y ( t ) x(t)y(t) x(t)y(t) 1 2 π ∫ − ∞ ∞ X ( j θ ) Y ( j ( ω − θ ) ) d θ \frac{1}{2\pi}\int_{-\infty}^{\infty}X(j\theta) Y(j(\omega - \theta)) d\theta 2π1∫−∞∞X(jθ)Y(j(ω−θ))dθ时域微分 d x ( t ) d t \frac{dx(t)}{dt} dtdx(t) j ω X ( j ω ) j\omega X(j\omega) jωX(jω)时域积分 ∫ − ∞ t x ( t ) d t \int_{-\infty}^t x(t) dt ∫−∞tx(t)dt 1 j ω X ( j ω ) π X ( 0 ) δ ( ω ) \frac{1}{j\omega} X(j\omega) \pi X(0)\delta(\omega) jω1X(jω)πX(0)δ(ω)频域微分 t x ( t ) tx(t) tx(t) j d d ω X ( j ω ) j\frac{d}{d\omega}X(j\omega) jdωdX(jω)实信号的共轭对称性 x ( t ) x(t) x(t) 为实信号 X ( j ω ) X ∗ ( − j ω ) X(j\omega) X^*(-j\omega) X(jω)X∗(−jω)实偶信号 x ( t ) x(t) x(t) 为实偶信号 X ( j ω ) X(j\omega) X(jω) 为实偶函数实奇信号 x ( t ) x(t) x(t) 为实奇信号 X ( j ω ) X(j\omega) X(jω) 为纯虚奇函数实信号的奇偶分解 x e ( t ) E v { x ( t ) } , x o ( t ) O d { x ( t ) } x_e(t) Ev\{x(t)\}, x_o(t) Od\{x(t)\} xe(t)Ev{x(t)},xo(t)Od{x(t)} 并且 x ( t ) x(t) x(t) 为实信号 ℜ { X ( j ω ) } , j ℑ { X ( j ω ) } \Re\{X(j\omega)\},j\Im\{X(j\omega)\} ℜ{X(jω)},jℑ{X(jω)}周期信号的帕瓦尔定理 x ( t ) x(t) x(t) ∫ − ∞ ∞ ∣ x ( t ) ∣ 2 d t 1 2 π ∫ − ∞ ∞ ∣ X ( j ω ) ∣ 2 d ω \int_{-\infty}^{\infty} |x(t)|^2 dt \frac{1}{2\pi} \int_{-\infty}^{\infty} |X(j\omega)|^2 d\omega ∫−∞∞∣x(t)∣2dt2π1∫−∞∞∣X(jω)∣2dω
基本傅里叶变换对
周期信号的傅里叶变换
考虑这样一个信号的傅里叶变换为 X ( j ω ) 2 π δ ( ω − ω 0 ) X(j\omega) 2\pi\delta(\omega - \omega_0) X(jω)2πδ(ω−ω0)
其对应的时域信号为 x ( t ) 1 2 π ∫ − ∞ ∞ 2 π δ ( ω − ω 0 ) e j ω t d ω e j ω 0 t x(t) \frac{1}{2 \pi} \int_{-\infty}^{\infty} 2\pi \delta(\omega - \omega_0) e^{j\omega t} d\omega e^{j\omega_0 t} x(t)2π1∫−∞∞2πδ(ω−ω0)ejωtdωejω0t
那么通过周期信号的傅里叶系数关系为 X ( j ω ) ∑ k − ∞ ∞ 2 π a k δ ( ω − k ω 0 ) X(j\omega) \sum_{k -\infty}^{\infty} 2 \pi a_k \delta(\omega - k\omega_0) X(jω)k−∞∑∞2πakδ(ω−kω0)
其对应的时域信号为 x ( t ) ∑ k − ∞ ∞ a k e j k ω 0 t x(t) \sum_{k -\infty}^{\infty} a_k e^{jk\omega_0 t} x(t)k−∞∑∞akejkω0t
单边衰减信号
考虑信号 x ( t ) e − a t u ( t ) , a 0 x(t) e^{-at}u(t), a 0 x(t)e−atu(t),a0 。其对应的傅里叶变换为 X ( j ω ) ∫ 0 ∞ e − a t e − j ω t d t − 1 a j ω e − ( a j ω ) t ∣ 0 ∞ 1 a j ω ( a 0 ) X(j\omega) \int_0^{\infty} e^{-at} e^{-j\omega t} dt -\frac{1}{a j\omega} e^{-(a j\omega)t} |_0^\infty \frac{1}{a j\omega} (a0) X(jω)∫0∞e−ate−jωtdt−ajω1e−(ajω)t∣0∞ajω1(a0)
双边衰减信号
考虑信号 x ( t ) e − a ∣ t ∣ , a 0 x(t) e^{-a|t|}, a 0 x(t)e−a∣t∣,a0 。其对应的傅里叶变换为 X ( j ω ) 1 a − j ω 1 a j ω 2 a a 2 ω 2 X(j\omega) \frac{1}{a - j\omega} \frac{1}{a j\omega} \frac{2a}{a^2 \omega^2} X(jω)a−jω1ajω1a2ω22a
单位冲激函数的傅里叶变换
单位冲激函数 x ( t ) δ ( t ) x(t) \delta(t) x(t)δ(t) 的傅里叶变换为 X ( j ω ) ∫ − ∞ ∞ δ ( t ) e − j ω t d t 1 X(j\omega) \int_{-\infty}^{\infty} \delta(t) e^{-j\omega t} dt 1 X(jω)∫−∞∞δ(t)e−jωtdt1
矩形脉冲信号的傅里叶变换
考虑一个矩形脉冲信号 x ( t ) 1 , ∣ t ∣ T 1 x(t) 1 ,|t| T_1 x(t)1,∣t∣T1 x ( t ) 0 , ∣ t ∣ T 1 x(t) 0 ,|t| T_1 x(t)0,∣t∣T1
其傅里叶变换为 X ( j ω ) ∫ − T 1 T 1 e j ω t d t 2 sin ω T 1 ω X(j\omega) \int_{-T_1}^{T_1} e^{j\omega t} dt 2\frac{\sin \omega T_1}{\omega} X(jω)∫−T1T1ejωtdt2ωsinωT1
傅里叶变换的对偶性
假设信号 x ( t ) x(t) x(t) 存在傅里叶变换对 X ( j ω ) ∫ − ∞ ∞ x ( t ) e − j ω t d t X(j\omega) \int_{-\infty}^{\infty} x(t) e^{-j\omega t} dt X(jω)∫−∞∞x(t)e−jωtdt x ( t ) 1 2 π ∫ − ∞ ∞ X ( j ω ) e j ω t d ω x(t) \frac{1}{2 \pi} \int_{-\infty}^{\infty} X(j\omega) e^{j\omega t} d\omega x(t)2π1∫−∞∞X(jω)ejωtdω
那么信号 X ( j t ) X(jt) X(jt) 存在傅里叶变换对 ∫ − ∞ ∞ X ( j t ) e − j ω t d t 2 π x ( − ω ) \int_{-\infty}^{\infty} X(jt) e^{-j\omega t} dt 2\pi x(-\omega) ∫−∞∞X(jt)e−jωtdt2πx(−ω) 1 2 π ∫ − ∞ ∞ x ( ω ) e j ω t d ω 1 2 π X ( − j t ) \frac{1}{2 \pi} \int_{-\infty}^{\infty} x(\omega) e^{j\omega t} d\omega \frac{1}{2 \pi} X(-jt) 2π1∫−∞∞x(ω)ejωtdω2π1X(−jt)
典型的傅里叶变换对
信号傅里叶变换傅里叶级数系数若是周期信号 ∑ k − ∞ ∞ a k e j k ω 0 t \sum_{k -\infty}^{\infty} a_k e^{jk\omega_0 t} ∑k−∞∞akejkω0t ∑ k − ∞ ∞ 2 π a k δ ( ω − k ω 0 ) \sum_{k -\infty}^{\infty} 2 \pi a_k \delta(\omega - k\omega_0) ∑k−∞∞2πakδ(ω−kω0) a k a_k ak e j k ω 0 t e^{jk\omega_0 t} ejkω0t 2 π δ ( ω − k ω 0 ) 2\pi \delta(\omega-k\omega_0) 2πδ(ω−kω0) a 1 1 , a k 0 a_1 1,a_k 0 a11,ak0 cos ω 0 t \cos \omega_0 t cosω0t π [ δ ( ω − ω 0 ) δ ( ω ω 0 ) ] \pi[\delta(\omega - \omega_0) \delta(\omega \omega_0)] π[δ(ω−ω0)δ(ωω0)] a 1 a − 1 1 2 , a k 0 a_1 a_{-1} \frac{1}{2},a_k 0 a1a−121,ak0 sin ω 0 t \sin \omega_0 t sinω0t π j [ δ ( ω − ω 0 ) − δ ( ω ω 0 ) ] \frac{\pi}{j}[\delta(\omega - \omega_0) - \delta(\omega \omega_0)] jπ[δ(ω−ω0)−δ(ωω0)] a 1 − a − 1 1 2 j , a k 0 a_1 -a_{-1} \frac{1}{2j},a_k 0 a1−a−12j1,ak0 x ( t ) 1 x(t) 1 x(t)1 2 π δ ( ω ) 2\pi\delta(\omega) 2πδ(ω) a 0 1 , a k 0 a_0 1,a_k 0 a01,ak0周期方波 x ( t ) 1 , ∣ t ∣ T 1 x(t) 1 ,|t| T_1 x(t)1,∣t∣T1 ∑ k − ∞ ∞ 2 sin k ω 0 T 1 k δ ( ω − k ω 0 ) \sum_{k -\infty}^{\infty}\frac{2\sin k\omega_0 T_1}{k}\delta(\omega - k\omega_0) ∑k−∞∞k2sinkω0T1δ(ω−kω0) sin k ω 0 T 1 k π \frac{\sin k\omega_0T_1}{k\pi} kπsinkω0T1周期冲激串 ∑ n − ∞ ∞ δ ( t − n T ) \sum_{n -\infty}^{\infty}\delta(t - nT) ∑n−∞∞δ(t−nT) 2 π T ∑ k − ∞ ∞ δ ( ω − 2 π k T ) \frac{2 \pi}{T}\sum_{k -\infty}^{\infty}\delta(\omega - \frac{2\pi k}{T}) T2π∑k−∞∞δ(ω−T2πk) a k 1 T a_k \frac{1}{T} akT1矩形阶跃函数 x ( t ) 1 , ∣ t ∣ T 1 x(t) 1,|t| T_1 x(t)1,∣t∣T1 2 sin ω T 1 ω \frac{2 \sin \omega T_1}{\omega} ω2sinωT1- sin W t π t \frac{\sin Wt}{\pi t} πtsinWt X ( j ω ) 1 , ∣ ω ∣ W X(j\omega) 1, |\omega| W X(jω)1,∣ω∣W- δ ( t ) \delta(t) δ(t) 1 1 1- u ( t ) u(t) u(t) 1 j ω π δ ( ω ) \frac{1}{j \omega} \pi \delta(\omega) jω1πδ(ω)- δ ( t − t 0 ) \delta(t - t_0) δ(t−t0) e j ω t 0 e^{j\omega t_0} ejωt0- e − a t u ( t ) , ℜ a 0 e^{-at}u(t),\Re{a} 0 e−atu(t),ℜa0 1 a j ω \frac{1}{aj\omega} ajω1- t e − a t u ( t ) , ℜ a 0 te^{-at}u(t),\Re{a} 0 te−atu(t),ℜa0 1 ( a j ω ) 2 \frac{1}{(aj\omega)^2} (ajω)21- t n − 1 ( n − 1 ) ! e − a t u ( t ) , ℜ a 0 \frac{t^{n-1}}{(n-1)!}e^{-at}u(t),\Re{a} 0 (n−1)!tn−1e−atu(t),ℜa0 1 ( a j ω ) n \frac{1}{(aj\omega)^n} (ajω)n1-
傅里叶变换与线性常系数微分方程表述的系统
对于线性常系数微分方程描述的系统 ∑ k 0 N a k d k y ( t ) d t k ∑ k 0 M b k d k x ( t ) d t k \sum_{k0}^{N} a_k \frac{d^k y(t)}{dt^k} \sum_{k0}^{M} b_k \frac{d^k x(t)}{dt^k} k0∑Nakdtkdky(t)k0∑Mbkdtkdkx(t)
有卷积关系 y ( t ) h ( t ) ∗ x ( t ) y(t) h(t) \ast x(t) y(t)h(t)∗x(t)
根据傅里叶变换的性质有 Y ( j ω ) H ( j ω ) X ( j ω ) Y(j\omega) H(j \omega) X(j \omega) Y(jω)H(jω)X(jω)
我们称函数 H ( j ω ) H(j \omega) H(jω) 为 系统频响函数 。
对微分方程两边做傅里叶变换 F { ∑ k 0 N a k d k y ( t ) d t k } F { ∑ k 0 M b k d k x ( t ) d t k } \mathscr{F} \{\sum_{k0}^{N} a_k \frac{d^k y(t)}{dt^k}\} \mathscr{F} \{\sum_{k0}^{M} b_k \frac{d^k x(t)}{dt^k}\} F{k0∑Nakdtkdky(t)}F{k0∑Mbkdtkdkx(t)}
根据傅里叶变换的微分性质 ∑ k 0 N a k ( j ω ) k Y ( j ω ) ∑ k 0 M b k ( j ω ) k X ( j ω ) \sum_{k0}^{N} a_k (j\omega)^k Y(j\omega) \sum_{k0}^{M} b_k (j\omega)^k X(j\omega) k0∑Nak(jω)kY(jω)k0∑Mbk(jω)kX(jω)
可得 H ( j ω ) Y ( j ω ) X ( j ω ) ∑ k 0 M b k ( j ω ) k ∑ k 0 N a k ( j ω ) k H(j\omega) \frac{Y(j\omega)}{X(j\omega)} \frac{\sum_{k0}^{M} b_k (j\omega)^k}{\sum_{k0}^{N} a_k (j\omega)^k} H(jω)X(jω)Y(jω)∑k0Nak(jω)k∑k0Mbk(jω)k
离散时间傅里叶变换
离散时间非周期的傅里叶表示
假设有离散时间的信号 x T [ n ] x_T[n] xT[n] 那么其傅里叶系数表示为 a k 1 N ∑ n N x [ n ] e − j k ω 0 n a_k \frac{1}{N} \sum_{n N} x[n] e^{-jk\omega_0n} akN1nN∑x[n]e−jkω0n
其对应的非周期的信号表示在一个周期内 [ − N 1 , N 2 ] [-N_1,N_2] [−N1,N2] 为 x [ n ] x[n] x[n] 那么 a k 1 N ∑ n − N 1 N 2 x [ n ] e − j k ω 0 n 1 N ∑ n − ∞ ∞ x [ n ] e − j k ω 0 n a_k \frac{1}{N} \sum_{n -N_1}^{N_2} x[n] e^{-jk\omega_0n} \frac{1}{N} \sum_{n -\infty}^{\infty} x[n] e^{-jk\omega_0n} akN1n−N1∑N2x[n]e−jkω0nN1n−∞∑∞x[n]e−jkω0n
我们定义 a k N a_kN akN 的包络 X ( e j ω ) ∑ n − ∞ ∞ x [ n ] e − j ω n , 分析公式 X(e^{j\omega}) \sum_{n -\infty}^{\infty} x[n] e^{-j\omega n},\text{分析公式} X(ejω)n−∞∑∞x[n]e−jωn,分析公式
为离散时间傅里叶变换。
那么有 a k 1 N X ( e j k ω 0 ) a_k \frac{1}{N} X(e^{jk\omega_0}) akN1X(ejkω0)
则重新带回原始得到 x T [ n ] ∑ k N 1 N X ( e j k ω 0 ) e j k ω 0 n 1 2 π ∑ k N X ( e j k ω 0 ) e j k ω 0 n ω 0 x_T[n] \sum_{k N} \frac{1}{N} X(e^{jk\omega_0}) e^{jk\omega_0n} \frac{1}{2\pi} \sum_{k N}X(e^{jk\omega_0}) e^{jk\omega_0n} \omega_0 xT[n]kN∑N1X(ejkω0)ejkω0n2π1kN∑X(ejkω0)ejkω0nω0
当 N → ∞ N \to \infty N→∞ 的时候其在一个周期上的求和就变成了在 2 π 2\pi 2π 内的一个积分即 x [ n ] 1 2 π ∫ 2 π X ( e j ω ) e j ω n d ω , 综合公式 x[n] \frac{1}{2\pi} \int_{2 \pi} X(e^{j\omega}) e^{j\omega n} d\omega, \text{综合公式} x[n]2π1∫2πX(ejω)ejωndω,综合公式
因为 X ( e j ω ) e j ω n X(e^{j\omega}) e^{j\omega n} X(ejω)ejωn 关于 ω \omega ω 周期为 2 π 2\pi 2π 的函数这说明我们的积分区间可以随意取一个连续的 2 π 2\pi 2π 周期。
同时对于非周期信号的傅里叶变换频谱公式 X ( e j ω ) X(e^{j\omega}) X(ejω) 来说也是一个关于 ω \omega ω 周期为 2 π 2\pi 2π 的函数这说明 非周期的离散信号的傅里叶频谱是一个周期为 2 π 2\pi 2π 的函数 。
离散时间非周期的傅里叶的性质
性质周期信号傅里叶系数线性 A x [ n ] B y [ n ] Ax[n] By[n] Ax[n]By[n] A X ( e j ω ) B Y ( e j ω ) AX(e^{j\omega}) BY(e^{j\omega}) AX(ejω)BY(ejω)时移 x [ n − n 0 ] x[n - n_0] x[n−n0] X ( e j ω ) e − j ω n 0 X(e^{j\omega}) e^{-j\omega n_0} X(ejω)e−jωn0频移 x [ n ] e j ω 0 n x[n]e^{j\omega_0 n} x[n]ejω0n X ( e j ( ω − ω 0 ) ) X(e^{j(\omega - \omega_0)}) X(ej(ω−ω0))共轭 x ∗ [ n ] x^*[n] x∗[n] X ∗ ( e − j ω ) X^*(e^{-j\omega}) X∗(e−jω)时间翻转 x [ − n ] x[-n] x[−n] X ( e − j ω ) X(e^{-j\omega}) X(e−jω)时域尺度变换 x ( k ) [ n ] x [ n / k ] x_{(k)}[n] x[n/k] x(k)[n]x[n/k] X ( e j k ω ) X(e^{jk\omega}) X(ejkω)卷积 x [ n ] ∗ y [ n ] x[n] \ast y[n] x[n]∗y[n] X ( e j ω ) Y ( e j ω ) X(e^{j\omega})Y(e^{j\omega}) X(ejω)Y(ejω)相乘 x [ t ] y [ t ] x[t]y[t] x[t]y[t] 1 2 π ∫ 2 π X ( e j θ ) Y ( e j ( ω − θ ) ) d θ \frac{1}{2\pi}\int_{2\pi} X(e^{j\theta}) Y(e^{j(\omega - \theta)}) d\theta 2π1∫2πX(ejθ)Y(ej(ω−θ))dθ时域差分 x [ n ] − x [ n − 1 ] x[n] - x[n-1] x[n]−x[n−1] ( 1 − e − j ω ) X ( e j ω ) (1 - e^{-j\omega})X(e^{j\omega}) (1−e−jω)X(ejω)时域累加 ∑ k − ∞ n x [ k ] \sum_{k-\infty}^n x[k] ∑k−∞nx[k] 1 1 − e − j ω X ( e j ω ) π X ( e j 0 ) ∑ k − ∞ ∞ δ ( ω − 2 π k ) \frac{1}{1 - e^{-j\omega}}X(e^{j\omega}) \pi X(e^{j0})\sum_{k-\infty}^{\infty}\delta(\omega - 2\pi k) 1−e−jω1X(ejω)πX(ej0)∑k−∞∞δ(ω−2πk)频域微分 n x [ n ] nx[n] nx[n] j d d ω X ( e j ω ) j\frac{d}{d\omega}X(e^{j\omega}) jdωdX(ejω)实信号的共轭对称性 x [ n ] x[n] x[n] 为实信号 X ( e j ω ) X ∗ ( e − j ω ) X(e^{j\omega}) X^*(e^{-j\omega}) X(ejω)X∗(e−jω)实偶信号 x [ n ] x[n] x[n] 为实偶信号 X ( e j ω ) X(e^{j\omega}) X(ejω) 为实偶函数实奇信号 x [ n ] x[n] x[n] 为实奇信号 X ( e j ω ) X(e^{j\omega}) X(ejω) 为纯虚奇函数实信号的奇偶分解 x e [ n ] E v { x [ n ] } , x o [ n ] O d { x [ n ] } x_e[n] Ev\{x[n]\}, x_o[n] Od\{x[n]\} xe[n]Ev{x[n]},xo[n]Od{x[n]} 并且 x [ n ] x[n] x[n] 为实信号 ℜ { X ( e j ω ) } , j ℑ { X ( e j ω ) } \Re\{X(e^{j\omega})\},j\Im\{X(e^{j\omega})\} ℜ{X(ejω)},jℑ{X(ejω)}周期信号的帕瓦尔定理 x [ n ] x[n] x[n] ∑ n − ∞ ∞ ∣ x [ n ] ∣ 2 1 2 π ∫ 2 π ∣ X ( e j ω ) ∣ 2 d ω \sum_{n -\infty}^{\infty} |x[n]|^2 \frac{1}{2\pi} \int_{2\pi} |X(e^{j\omega})|^2 d\omega ∑n−∞∞∣x[n]∣22π1∫2π∣X(ejω)∣2dω
基本离散时间信号的傅里叶变换对
周期信号
考虑信号 x [ n ] e j ω 0 n x[n] e^{j\omega_0 n} x[n]ejω0n 的傅里变换为 X ( e j ω ) ∑ l − ∞ ∞ 2 π δ ( ω − ω 0 − 2 π l ) X(e^{j\omega}) \sum_{l -\infty}^{\infty} 2\pi \delta(\omega - \omega_0 - 2\pi l) X(ejω)l−∞∑∞2πδ(ω−ω0−2πl)
现在考虑一个周期为 N N N 的周期序列其傅里叶级数为 x [ n ] ∑ k N a k e j k ω 0 n x[n] \sum_{k N} a_k e^{jk\omega_0 n} x[n]kN∑akejkω0n
那么他的傅里叶变换就是 X ( e j ω ) ∑ k − ∞ ∞ 2 π a k δ ( ω − 2 π k N ) X(e^{j\omega}) \sum_{k -\infty}^{\infty} 2 \pi a_k \delta(\omega - \frac{2\pi k}{N}) X(ejω)k−∞∑∞2πakδ(ω−N2πk)
离散时间傅里叶系数的对偶性
若两个周期为 N N N 的序列 f [ n ] f[n] f[n] 和 g [ n ] g[n] g[n] 若 f [ k ] f[k] f[k] 是 g [ n ] g[n] g[n] 的离散时间傅里叶系数即 g [ n ] ↔ f [ k ] g[n] \leftrightarrow f[k] g[n]↔f[k]
那么 f [ n ] ↔ 1 N g [ − k ] f[n] \leftrightarrow \frac{1}{N}g[-k] f[n]↔N1g[−k]
离散时间傅里叶变换和连续时间傅里叶系数的对偶性
考虑离散时间傅里叶变换 X ( e j ω ) ∑ n − ∞ ∞ x [ n ] e − j ω n X(e^{j\omega}) \sum_{n -\infty}^{\infty} x[n] e^{-j\omega n} X(ejω)n−∞∑∞x[n]e−jωn
与连续时间傅里叶系数 x ( t ) ∑ k − ∞ ∞ a k e − j k ω 0 t x(t) \sum_{k -\infty}^{\infty} a_k e^{-jk\omega_0 t} x(t)k−∞∑∞ake−jkω0t
这相当于将 x [ n ] x[n] x[n] 看成是一个连续时间函数的傅里叶系数同理我们可以将 x ( t ) x(t) x(t) 看做是一个离散时间函数的傅里叶变换。
常用基本离散时间信号的傅里叶变换对表
信号傅里叶变换傅里叶系数若为周期的 ∑ k N a k e j k ω 0 n , N 2 π ω 0 \sum_{k N}a_k e^{jk\omega_0 n},N \frac{2\pi}{\omega_0} ∑kNakejkω0n,Nω02π 2 π ∑ k − ∞ ∞ a k δ ( ω − k ω 0 ) 2\pi \sum_{k -\infty}^{ \infty}a_k\delta(\omega - k\omega_0) 2π∑k−∞∞akδ(ω−kω0) a k a_k ak e j ω 0 n , N 2 π ω 0 e^{j\omega_0 n},N \frac{2\pi}{\omega_0} ejω0n,Nω02π 2 π ∑ l − ∞ ∞ δ ( ω − ω 0 − 2 π l ) 2 \pi \sum_{l -\infty}^{\infty}\delta(\omega - \omega_0 - 2 \pi l) 2π∑l−∞∞δ(ω−ω0−2πl) a k 1 , k 1 , 1 ± N , … a_k 1,k 1,1 \pm N,\ldots ak1,k1,1±N,… cos ω 0 n , N 2 π ω 0 \cos{\omega_0 n},N \frac{2\pi}{\omega_0} cosω0n,Nω02π π ∑ l − ∞ ∞ ( δ ( ω − ω 0 − 2 π l ) δ ( ω ω − 2 π l ) ) \pi \sum_{l -\infty}^{\infty}(\delta(\omega - \omega_0 - 2 \pi l) \delta(\omega \omega - 2\pi l)) π∑l−∞∞(δ(ω−ω0−2πl)δ(ωω−2πl)) a k 1 2 , k 1 , 1 ± N , … a_k \frac{1}{2},k 1,1 \pm N,\ldots ak21,k1,1±N,… sin ω 0 n , N 2 π ω 0 \sin{\omega_0 n},N \frac{2\pi}{\omega_0} sinω0n,Nω02π π j ∑ l − ∞ ∞ ( δ ( ω − ω 0 − 2 π l ) − δ ( ω ω − 2 π l ) ) \frac{\pi}{j} \sum_{l -\infty}^{\infty}(\delta(\omega - \omega_0 - 2 \pi l) - \delta(\omega \omega - 2\pi l)) jπ∑l−∞∞(δ(ω−ω0−2πl)−δ(ωω−2πl)) a k 1 2 j , k 1 , 1 ± N , … ; a k − 1 2 j , k − 1 , − 1 ± N , … a_k \frac{1}{2j},k 1,1 \pm N,\ldots;a_k-\frac{1}{2j},k-1,-1\pm N,\ldots ak2j1,k1,1±N,…;ak−2j1,k−1,−1±N,… x [ n ] 1 x[n] 1 x[n]1 2 π ∑ l − ∞ ∞ δ ( ω − 2 π l ) 2 \pi \sum_{l -\infty}^{ \infty}\delta(\omega - 2\pi l) 2π∑l−∞∞δ(ω−2πl) a k 1 , k 0 , ± N , … a_k 1,k 0,\pm N,\ldots ak1,k0,±N,…周期方波 x [ n ] 1 , ∣ n ∣ ≤ N 1 , x [ n N ] x [ n ] x[n] 1,|n| \le N_1,x[n N] x[n] x[n]1,∣n∣≤N1,x[nN]x[n] 2 π ∑ k − ∞ ∞ a k δ ( ω − 2 π N ) 2\pi \sum_{k -\infty}^{\infty}a_k \delta(\omega - \frac{2\pi}{N}) 2π∑k−∞∞akδ(ω−N2π) a k sin ( 2 π k / N ) ( N 1 1 2 ) N sin 2 π k / 2 N , k ≠ 0 , ± N , … ; a k 2 N 1 1 N , k 0 , ± N , … a_k \frac{\sin{(2\pi k / N)(N_1 \frac{1}{2})}}{N \sin{2\pi k/ 2N}},k \neq 0,\pm N,\ldots;a_k \frac{2N_1 1}{N},k0,\pm N,\ldots akNsin2πk/2Nsin(2πk/N)(N121),k0,±N,…;akN2N11,k0,±N,… ∑ k − ∞ ∞ δ [ n − k N ] \sum_{k -\infty}^{\infty} \delta[n - kN] ∑k−∞∞δ[n−kN] 2 π N ∑ k − ∞ ∞ δ ( ω − 2 π k N ) \frac{2 \pi}{N}\sum_{k -\infty}^{\infty}\delta(\omega - \frac{2 \pi k}{N}) N2π∑k−∞∞δ(ω−N2πk) a k 1 N a_k \frac{1}{N} akN1 a n u [ n ] a^nu[n] anu[n],|a| 1$ 1 1 − a e − j ω \frac{1}{1 - ae^{-j\omega}} 1−ae−jω1- x [ n ] 1 , ∣ n ∣ ≤ N 1 x[n] 1, |n| \le N_1 x[n]1,∣n∣≤N1 sin ω ( N 1 1 2 ) sin ω / 2 \frac{\sin{\omega(N_1 \frac{1}{2})}}{\sin{\omega/2}} sinω/2sinω(N121)- sin W n π n , 0 W π \frac{\sin{Wn}}{\pi n},0 W \pi πnsinWn,0Wπ X ( ω ) 1 , 0 ≤ ∣ ω ∣ ≤ W X(\omega) 1,0 \le |\omega| \le W X(ω)1,0≤∣ω∣≤W 并且 X ( ω ) X(\omega) X(ω) 是周期的为 2 π 2\pi 2π- δ [ n ] \delta[n] δ[n] 1 1 1- u [ n ] u[n] u[n] 1 1 − e − j ω ∑ k − ∞ ∞ π δ ( ω − w π k ) \frac{1}{1 - e^{-j\omega}} \sum_{k -\infty}^{ \infty}\pi \delta(\omega - w\pi k) 1−e−jω1∑k−∞∞πδ(ω−wπk)- δ [ n − n 0 ] \delta[n - n_0] δ[n−n0] e − j ω n 0 e^{-j\omega n_0} e−jωn0- ( n 1 ) a n u [ n ] , ∣ a ∣ 1 (n1)a^n u[n], |a| 1 (n1)anu[n],∣a∣1 1 ( 1 − a e − j ω ) 2 \frac{1}{(1 - ae^{-j\omega})^2} (1−ae−jω)21- ( n r − 1 ) ! n ! ( r − 1 ) ! a n u [ n ] , ∣ a ∣ 1 \frac{(n r - 1)!}{n! (r - 1)!} a^n u[n], |a| 1 n!(r−1)!(nr−1)!anu[n],∣a∣1 1 ( 1 − a e − j ω ) r \frac{1}{(1 - ae^{-j\omega})^r} (1−ae−jω)r1-
由线性常系数差分方程表征的系统
由下面表示的线性常系数差分方程表征的系统 ∑ k 0 N a k y [ n − k ] ∑ k 0 M b k x [ n − k ] \sum_{k 0}^{N} a_k y[n - k] \sum_{k 0}^M b_k x[n - k] k0∑Naky[n−k]k0∑Mbkx[n−k]
通过傅里叶变换时移和线性的性质可以表示为频域上 ∑ k 0 N a k e − j k ω Y ( e j ω ) ∑ k 0 M b k e − j k ω X ( e j ω ) \sum_{k 0}^N a_k e^{-jk\omega}Y(e^{j\omega}) \sum_{k 0}^M b_k e^{-jk\omega}X(e^{j\omega}) k0∑Nake−jkωY(ejω)k0∑Mbke−jkωX(ejω)
或等效为 H ( e j ω ) Y ( e j ω ) X ( e j ω ) ∑ k 0 M b k e − j k ω ∑ k 0 N a k e − j k ω H(e^{j\omega}) \frac{Y(e^{j\omega})}{X(e^{j\omega})} \frac{\sum_{k 0}^M b_k e^{-jk\omega}}{\sum_{k 0}^N a_k e^{-jk\omega}} H(ejω)X(ejω)Y(ejω)∑k0Nake−jkω∑k0Mbke−jkω
