建立网站后怎么维护,网站制作便宜,南昌网站建设专业公司,网站 公司1. 向量 向量是一个既有大小(模)又有方向的对象#xff0c;它可以用来描述空间中的位置、力或速度等量。我们可以从物理、数学和计算机的角度来看待向量#xff0c;这三种观点看似不同却有关联。 #xff08;1#xff09;在物理专业视角下#xff0c;向量是空间中的箭头它可以用来描述空间中的位置、力或速度等量。我们可以从物理、数学和计算机的角度来看待向量这三种观点看似不同却有关联。 1在物理专业视角下向量是空间中的箭头决定一个向量的是它的长度(大小)和它所指的方向。处在平面中的向量是二维的而处在我们所生活的空间中的向量是三维的。 2在计算机专业视角下向量是有序的数字列表例如二维向量 x [ 1 , 2 ] \boldsymbol{x}[1,2] x[1,2]。 3在数学专业视角下向量可以是任何东西只要保证两个向量相加以及数字与向量相乘是有意义的即可。向量加法与向量数乘贯穿线性代数始终二者起着很重要的作用。
2. 向量是有序的数字列表
1在二维空间中(X-Y平面)我们通常以原点也就是坐标(0,0)作为起点一个向量的坐标由两个数组成。而这两个数表示如何从原点(向量起点)出发到达它的尖端(向量终点)。例如二维向量 x [ 2 , 4 ] \boldsymbol{x}[2,4] x[2,4]向量通常使用方括号([])括起来。对于二维向量 x [ x 0 , y 0 ] \boldsymbol{x}[x_0,y_0] x[x0,y0]第一个数 x 0 x_0 x0 表示向量沿着 X X X 轴能走多远第二个数 y 0 y_0 y0 表示向量沿着 Y Y Y 轴能走多远。数 x 0 x_0 x0 和 y 0 y_0 y0的正负表示向量移动的方向“正数” 表示向着X-Y的正半轴移动“负数表示向着X-Y的负半轴移动。每一对数给出唯一的一个二维向量而每一个二维向量恰好对应唯一的一对数”。
2在三维空间中(X-Y-Z)中我们通常也以原点也就是坐标(0,0,0)作为起点每个向量由一对三元组构成例如三维向量 x [ 2 , 4 , 6 ] \boldsymbol{x}[2,4,6] x[2,4,6]。对于三维向量 x [ x 0 , y 0 , z 0 ] \boldsymbol{x}[x_0,y_0,z_0] x[x0,y0,z0]第一个数 x 0 x_0 x0 表示向量沿着 X X X 轴能走多远第二个数 y 0 y_0 y0 表示向量沿着 Y Y Y 轴能走多远第三个数 z 0 z_0 z0 表示向量沿着 Z Z Z 轴能走多远。每个三元组给出唯一的一个三维向量而每个三维向量恰好对应唯一的三元组。
3当向量空间的维度超过三维时我们直观上是想象不到的但仍然可以使用数字来表示多维向量。例如四维向量 x [ 2 , 4 , 6 , 8 ] \boldsymbol{x}[2,4,6,8] x[2,4,6,8]六维向量 x [ 2 , 4 , 6 , 8 , 10 , 12 ] \boldsymbol{x}[2,4,6,8,10,12] x[2,4,6,8,10,12]。由此可以得到 n n n 维向量 x \boldsymbol{x} x 的表示形式为 x [ x 0 , x 1 , x 2 , … , x n ] \boldsymbol{x}[x_0,x_1,x_2,\ldots ,x_n] x[x0,x1,x2,…,xn] 。
3 通俗解释向量加法与向量数乘
3.1 向量加法
1使用二维坐标系(X-Y)来解释向量的加法 从下图一可以看出向量 v [ 1 , 2 ] \boldsymbol{v}[1,2] v[1,2]向量 w [ 3 , − 1 ] \boldsymbol{w}[3,-1] w[3,−1]。 图1 二维向量 v 和 w 接下来我们对二维向量 v \boldsymbol{v} v 和 w \boldsymbol{w} w 进行相加。具体而言相加之后的向量就是从第一个向量出发指向第二向量的终点两个向量之和 v w \boldsymbol{v}\boldsymbol{w} vw的表示如下图2所示。由下图2可以看出 v w [ 4 , 1 ] \boldsymbol{v}\boldsymbol{w}[4,1] vw[4,1] 而向量 v \boldsymbol{v} v和 w \boldsymbol{w} w按元素累加可得 [ 4 , 1 ] [4,1] [4,1]也就是说向量的加法就是对应坐标位置的元素进行累加。 图2 向量加法 2向量加法的通俗解释 我们可以把每个向量看成是一种特定的运动即在空间中朝着一个方向迈出一定距离。对于上图2中的向量加法我们先沿着第一个向量 v \boldsymbol{v} v 的方向进行运动然后再按照第二个向量 w \boldsymbol{w} w 的方向进行移动。其实这两次的总体运动效果就等价于从原点出发沿着向量 v w \boldsymbol{v}\boldsymbol{w} vw的方向进行运动。 更通俗地来讲你可以把向量 v w \boldsymbol{v}\boldsymbol{w} vw看成从原点出发先向右走1步再往上移动2步接着往右移动3步最后向下移动1步。或者也可以看作从原点出发先向右走4步再向上移动1步。这也就证明了 v w [ 1 , 2 ] [ 3 , − 1 ] [ 1 3 , 2 − 1 ] [ 4 , 1 ] \boldsymbol{v}\boldsymbol{w}[1,2][3,-1][13,2-1][4,1] vw[1,2][3,−1][13,2−1][4,1]。
3.2 向量数乘 假设 v [ 3 , 1 ] \boldsymbol{v}[3,1] v[3,1]那么 2 v [ 2 × 3 , 2 × 1 ] [ 6 , 2 ] 2\boldsymbol{v}[2×3,2×1][6,2] 2v[2×3,2×1][6,2]如下图3所示。
图3 向量数乘1 由图3可知 2 v 2\boldsymbol{v} 2v相当于把向量 v \boldsymbol{v} v 拉长为原来的2倍。如果是 1 3 v [ 1 3 × 3 , 1 3 × 1 ] [ 1 , 1 3 ] \frac{1}{3}\boldsymbol{v}[\frac{1}{3}×3,\frac{1}{3}×1][1,\frac{1}{3}] 31v[31×3,31×1][1,31]那么就相当于把向量 v \boldsymbol{v} v 缩短为原来的 1 3 \frac{1}{3} 31如下图4所示。
图4 向量数乘2 当一个向量与一个负数相乘时例如 − 1.8 v [ − 1.8 × 3 , − 1.8 × 1 ] [ − 5.4 , − 1.8 ] -1.8\boldsymbol{v}[-1.8×3,-1.8×1][-5.4,-1.8] −1.8v[−1.8×3,−1.8×1][−5.4,−1.8]表示首先这个向量 v \boldsymbol{v} v 先反向然后伸长为原来的1.8倍其运算结果如下图5所示。 图5 向量数乘3 上述的这种拉伸或者压缩有时又使向量反向的过程被称为缩放。
参考视频【熟肉】线性代数的本质 - 01 - 向量究竟是什么
