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设 A A A 是 n 阶矩阵#xff0c;如果存在数 λ \lambda λ 和 n 维非零列向量 x x x#xff0c;满足关系式#xff1a; A x λ x ( 1 ) Ax \lambda x\quad\quad(1) Axλx(1)
则数 λ \lambda λ 称为矩阵 A A A 的特征值#xff0c;非零向量 x…特征值与特征向量
设 A A A 是 n 阶矩阵如果存在数 λ \lambda λ 和 n 维非零列向量 x x x满足关系式 A x λ x ( 1 ) Ax \lambda x\quad\quad(1) Axλx(1)
则数 λ \lambda λ 称为矩阵 A A A 的特征值非零向量 x x x 称为矩阵 A A A 的特征向量.
关系式1推导得到 ( A − λ E ) x 0 (A - \lambda E)x 0 (A−λE)x0存在非零解 x x x 的充分必要条件为系数行列式为零 ∣ A − λ E ∣ 0 ( 2 ) |A-\lambda E| 0\quad\quad(2) ∣A−λE∣0(2)
上式是以 λ \lambda λ 为未知数的一元 n 次方程称为矩阵 A A A 的特征方程。特征方程在复数范围内恒有解解的个数为方程的次数重根按重数计算因此n 阶矩阵 A A A 在复数范围内有 n 个特征值。
设 n 阶矩阵 A ( a i j ) A (a_{ij}) A(aij) 的特征值为 λ 1 , λ 2 , . . . , λ n \lambda_1, \lambda_2,...,\lambda_n λ1,λ2,...,λn ∑ i 1 n λ i ∑ i 1 n a i i t r ( A ) \sum_{i1}^n\lambda_i \sum_{i1}^na_{ii} tr(A) ∑i1nλi∑i1naiitr(A) ∏ i 1 n λ i ∣ A ∣ \prod_{i1}^n\lambda_i |A| ∏i1nλi∣A∣A 可逆的充分必要条件是 n 个特征值全不为零
有如下性质
设 λ \lambda λ 是方阵 A A A 的特征值则 λ 2 \lambda^2 λ2 是 A 2 A^2 A2 的特征值当 A A A 可逆时 1 / λ 1/\lambda 1/λ 是 A − 1 A^{-1} A−1的特征值. A B AB AB 都是 n 阶矩阵若有可逆矩阵 P P P ,使 P − 1 A P B P^{-1}AP B P−1APB
则称 B 是 A 的相似矩阵。 P − 1 A P P^{-1}AP P−1AP 称为 A 的相似变换。
定理相似矩阵的特征值相同.
对于 n 阶矩阵 A 若存在矩阵 P 满足 P − 1 A P Λ P^{-1}AP \Lambda P−1APΛ则称矩阵 A 可对角化。
定理一个 n 阶方阵 A 如果有 n 个不同的特征值那么对应的 n 个特征向量互相线性独立
定理任何 n 阶对称矩阵都有 n 个独立且正交的特征向量
图解特征值的含义
A特征值特征向量xAx [ 0.5 1 0 2 ] \begin{bmatrix} 0.5 1 \\ 0 2 \end{bmatrix} [0.5012] λ 1 0.5 , p 1 [ 1 , 0 ] T λ 2 2 , p 2 [ 0 , 1 ] T \lambda_1 0.5, p_1 [1, 0]^T \\ \lambda_2 2, p_2 [0, 1]^T λ10.5,p1[1,0]Tλ22,p2[0,1]T [ 1 − 1 − 1 1 ] \begin{bmatrix} 1 -1 \\ -1 1 \end{bmatrix} [1−1−11] λ 1 0 , p 1 [ 1 , 1 ] T λ 2 2 , p 2 [ − 1 , 1 ] T \lambda_1 0, p_1 [1, 1]^T \\ \lambda_2 2, p_2 [-1, 1]^T λ10,p1[1,1]Tλ22,p2[−1,1]T [ 3 − 1 − 1 3 ] \begin{bmatrix} 3 -1 \\ -1 3 \end{bmatrix} [3−1−13] λ 1 2 , p 1 [ 1 , 1 ] T λ 2 4 , p 2 [ − 1 , 1 ] T \lambda_1 2, p_1 [1, 1]^T \\ \lambda_2 4, p_2 [-1, 1]^T λ12,p1[1,1]Tλ24,p2[−1,1]T
Cholesky 分解Cholesky Decomposition
把一个对称正定的矩阵表示成一个下三角矩阵 L 与其转置的乘积的形式。 A L L T A LL^T ALLT
特征值分解Eigen Decomposition
对角化条件当且仅当A满秩有n个独立的特征向量时有 A P − 1 D P A P^{-1}DP AP−1DPP 为A的特征矩阵组成的可逆矩阵D是有A的特征值组成的对角矩阵。
任何对称矩阵都可以对角化 S P D P − 1 S PDP^{-1} SPDP−1
其中 P 是由 n 个正交特征向量组成的矩阵D 是有特征值组成的对角矩阵。
图解特征值分解 S P D P − 1 SPDP^{-1} SPDP−1x P − 1 x P^{-1}x P−1x D P − 1 x DP^{-1}x DP−1x P D P − 1 x PDP^{-1}x PDP−1x [ 2 − 1 − 1 2 ] \begin{bmatrix} 2 -1 \\ -1 2 \end{bmatrix} [2−1−12] [ 1 1 1 − 1 ] [ 1 0 0 3 ] [ 1 2 1 2 1 2 − 1 2 ] \begin{bmatrix} 1 1 \\ 1 -1 \end{bmatrix}\begin{bmatrix} 1 0 \\ 0 3 \end{bmatrix}\begin{bmatrix} \frac{1}{2} \frac{1}{2} \\ \frac{1}{2} -\frac{1}{2} \end{bmatrix} [111−1][1003][212121−21]
奇异值分解Singular Value Decomposition
SVD定理设矩阵 A m × n A^{m\times n} Am×n 的秩为 r ∈ ( 0 , m i n ( m , n ) ) r\in (0, min(m,n)) r∈(0,min(m,n))矩阵 A 的奇异值分解形式如下 A U Σ V T A U\Sigma V^T AUΣVT
其中 U ∈ R m × m V ∈ R n × n U\in R^{m\times m}V\in R^{n\times n} U∈Rm×mV∈Rn×n 是正交矩阵 Σ ∈ R m × n \Sigma\in R^{m\times n} Σ∈Rm×n 满足 Σ i i σ i ≥ 0 , Σ i j 0 , i ≠ j \Sigma_{ii} \sigma_i \ge 0, \Sigma_{ij} 0, i\ne j Σiiσi≥0,Σij0,ij σ i \sigma_i σi称为奇异值。
图解奇异值分解 A U Σ V T A U\Sigma V^T AUΣVTx V T x V^Tx VTx Σ V T x \Sigma V^T x ΣVTx U Σ V T x U\Sigma V^T x UΣVTx [ 1 1 1 1 0 0 ] \begin{bmatrix} 1 1 \\ 1 1 \\ 0 0 \end{bmatrix} 110110 [ 1 2 − 1 2 0 1 2 1 2 0 0 0 1 ] [ 2 0 0 0 0 0 ] [ 1 2 − 1 2 1 2 1 2 ] T \begin{bmatrix} \frac{1}{\sqrt{2}} -\frac{1}{\sqrt{2}} 0 \\ \frac{1}{\sqrt{2}} \frac{1}{\sqrt{2}} 0 \\ 0 0 1 \end{bmatrix}\begin{bmatrix} 2 0 \\ 0 0 \\ 0 0 \end{bmatrix}\begin{bmatrix} \frac{1}{\sqrt{2}} -\frac{1}{\sqrt{2}} \\ \frac{1}{\sqrt{2}} \frac{1}{\sqrt{2}} \end{bmatrix}^T 2 12 10−2 12 10001 200000 [2 12 1−2 12 1]T [ 0 1 1 1 1 0 ] \begin{bmatrix} 0 1 \\ 1 1 \\ 1 0 \end{bmatrix} 011110 [ 1 6 1 2 1 3 2 6 0 − 1 3 1 6 − 1 2 1 3 ] [ 3 0 0 1 0 0 ] [ 1 2 − 1 2 1 2 1 2 ] T \begin{bmatrix} \frac{1}{\sqrt{6}} \frac{1}{\sqrt{2}} \frac{1}{\sqrt{3}} \\ \frac{2}{\sqrt{6}} 0 -\frac{1}{\sqrt{3}} \\ \frac{1}{\sqrt{6}} -\frac{1}{\sqrt{2}} \frac{1}{\sqrt{3}} \end{bmatrix}\begin{bmatrix} \sqrt{3} 0 \\ 0 1 \\ 0 0 \end{bmatrix}\begin{bmatrix} \frac{1}{\sqrt{2}} -\frac{1}{\sqrt{2}} \\ \frac{1}{\sqrt{2}} \frac{1}{\sqrt{2}} \end{bmatrix}^T 6 16 26 12 10−2 13 1−3 13 1 3 00010 [2 12 1−2 12 1]T
