镇江集团网站建设,wordpress分页标签,asp 做购物网站,网页设计实验报告总结与展望LC并联电路在正弦稳态下的传递函数推导#xff08;LC并联谐振选频电路#xff09;
本文通过 1.解微分方程、2.阻抗模型两种方法推导 LC 并联选频电路在正弦稳态条件下的传递函数#xff0c;并通过仿真验证不同频率时 vo(t) 与 vi(t) 的幅值相角的关系。
电路介绍
已知条件…LC并联电路在正弦稳态下的传递函数推导LC并联谐振选频电路
本文通过 1.解微分方程、2.阻抗模型两种方法推导 LC 并联选频电路在正弦稳态条件下的传递函数并通过仿真验证不同频率时 vo(t) 与 vi(t) 的幅值相角的关系。
电路介绍
已知条件
电路结构如下 R电阻值C电容值L电感值输入电源vi(t) v i ( t ) V I c o s ( w t ) v_i(t) V_Icos(wt) vi(t)VIcos(wt)
其中 V I 输入电压的幅值 w 输入电源的角频率 w 2 π 输入正弦信号的频率 \begin{array}{c} V_I 输入电压的幅值\\ w 输入电源的角频率\\ \frac{w}{2\pi} 输入正弦信号的频率 \end{array} VI输入电压的幅值w输入电源的角频率2πw输入正弦信号的频率
理论计算
1.解微分方程法
解微分方程法常用的四个步骤
根据节点法列写微分方程找出特解 vp(t)找出对应的齐次方程的通解 vh(t)根据初始条件计算通解中的常数参数
总的通解为特解齐次解 v ( t ) v p ( t ) v h ( t ) v(t) v_p(t) v_h(t) v(t)vp(t)vh(t) v p ( t ) v_{p}(t) vp(t) 特解 v h ( t ) v_{h}(t) vh(t) 齐次解
1.1 列些微分方程
前置知识
电容伏安特性 i C d v d t i C\frac{dv}{dt} iCdtdv电感伏安特性 v L d i d t v L\frac{di}{dt} vLdtdi电感伏安特性的积分形式 1 L ∫ − ∞ t v d t i \frac{1}{L} \begin{aligned} \int\limits_{-\infty}^t v \mathrm{d} t \end{aligned} i L1−∞∫tvdti
节点法列方程 v i ( t ) − v o ( t ) R C d v o ( t ) d t 1 L ∫ − ∞ t v o ( t ) d t \frac{v_i(t) - v_o(t)}{R} C\frac{dv_o(t)}{dt} \frac{1}{L} \begin{aligned} \int\limits_{-\infty}^t v_o(t) \mathrm{d} t \end{aligned} Rvi(t)−vo(t)Cdtdvo(t)L1−∞∫tvo(t)dt
整理移相得 v i ( t ) R C d v o ( t ) d t 1 L ∫ − ∞ t v o ( t ) d t v o ( t ) R \frac{v_i(t)}{R} C\frac{dv_o(t)}{dt} \frac{1}{L} \begin{aligned} \int\limits_{-\infty}^t v_o(t) \mathrm{d} t \end{aligned} \frac{v_o(t)}{R} Rvi(t)Cdtdvo(t)L1−∞∫tvo(t)dtRvo(t)
等式两边对 t 微分且带入 $ v_i(t) V_Icos(wt) $ 可得 − w V I s i n ( w t ) R C d v o 2 ( t ) d t 2 1 R d v o ( t ) d t 1 L v o ( t ) \begin{array}{c} \frac{-wV_Isin(wt)}{R} \\ C\frac{dv_o^2(t)}{dt^2} \frac{1}{R}\frac{dv_o(t)}{dt} \frac{1}{L}v_o(t) \end{array} R−wVIsin(wt)Cdt2dvo2(t)R1dtdvo(t)L1vo(t)
1.2 找特解
设 vo(t) 的特解的形式为 v p ( t ) A c o s ( w t ϕ ) v_p(t) Acos(wt\phi) vp(t)Acos(wtϕ)其中 A 和 ∅ 为要求得未知量将 vp(t) 带入微分方程可得 − w V I s i n ( w t ) R − C w 2 A c o s ( w t ϕ ) − 1 R w A s i n ( w t ϕ ) 1 L A c o s ( w t ϕ ) \begin{array}{c} \frac{-wV_Isin(wt)}{R} -Cw^2Acos(wt\phi) \\ -\frac{1}{R}wAsin(wt\phi) \frac{1}{L}Acos(wt\phi) \end{array} R−wVIsin(wt)−Cw2Acos(wtϕ)−R1wAsin(wtϕ)L1Acos(wtϕ)
利用三角函数的公式可得 − w V I s i n ( w t ) R − C w 2 A c o s ( w t ) c o s ( ϕ ) C w 2 A s i n ( w t ) s i n ( ϕ ) − w A R s i n ( w t ) c o s ( ϕ ) − w A R c o s ( w t ) s i n ( ϕ ) A L c o s ( w t ) c o s ( ϕ ) − A L s i n ( w t ) s i n ( ϕ ) \begin{array}{c} \frac{-wV_Isin(wt)}{R} -Cw^2Acos(wt)cos(\phi) \\ Cw^2Asin(wt)sin(\phi)-\frac{wA}{R}sin(wt)cos(\phi) \\ -\frac{wA}{R}cos(wt)sin(\phi) \frac{A}{L}cos(wt)cos(\phi)\\ -\frac{A}{L}sin(wt)sin(\phi) \end{array} R−wVIsin(wt)−Cw2Acos(wt)cos(ϕ)Cw2Asin(wt)sin(ϕ)−RwAsin(wt)cos(ϕ)−RwAcos(wt)sin(ϕ)LAcos(wt)cos(ϕ)−LAsin(wt)sin(ϕ)
合并同类项 − w V I s i n ( w t ) R ( A L − C w 2 A ) c o s ( w t ) c o s ( ϕ ) ( C w 2 A − A L ) s i n ( w t ) s i n ( ϕ ) − w A R s i n ( w t ) c o s ( ϕ ) − w A R c o s ( w t ) s i n ( ϕ ) \begin{array}{c} \frac{-wV_Isin(wt)}{R} \\ (\frac{A}{L}-Cw^2A)cos(wt)cos(\phi) \\ (Cw^2A-\frac{A}{L})sin(wt)sin(\phi)-\\ \frac{wA}{R}sin(wt)cos(\phi) \\ -\frac{wA}{R}cos(wt)sin(\phi) \end{array} R−wVIsin(wt)(LA−Cw2A)cos(wt)cos(ϕ)(Cw2A−LA)sin(wt)sin(ϕ)−RwAsin(wt)cos(ϕ)−RwAcos(wt)sin(ϕ)
提公因式 − w V I s i n ( w t ) R ( A L − C w 2 A ) ( c o s ( w t ) c o s ( ϕ ) − s i n ( w t ) s i n ( ϕ ) ) − w A R ( s i n ( w t ) c o s ( ϕ ) c o s ( w t ) s i n ( ϕ ) ) \begin{array}{c} \frac{-wV_Isin(wt)}{R} \\ (\frac{A}{L}-Cw^2A)(cos(wt)cos(\phi)\\ -sin(wt)sin(\phi))\\ -\frac{wA}{R}(sin(wt)cos(\phi) \\ cos(wt)sin(\phi)) \end{array} R−wVIsin(wt)(LA−Cw2A)(cos(wt)cos(ϕ)−sin(wt)sin(ϕ))−RwA(sin(wt)cos(ϕ)cos(wt)sin(ϕ))
利用三角函数公式合并 − w V I s i n ( w t ) R ( A L − C w 2 A ) c o s ( w t ϕ ) − w A R s i n ( w t ϕ ) \begin{array}{c} \frac{-wV_Isin(wt)}{R} \\ (\frac{A}{L}-Cw^2A)cos(wt\phi) \\ -\frac{wA}{R}sin(wt\phi) \end{array} R−wVIsin(wt)(LA−Cw2A)cos(wtϕ)−RwAsin(wtϕ)
根据以下公式 A 1 c o s ( θ ) − A 2 s i n ( θ ) A 1 2 A 2 2 s i n ( θ − t a n − 1 ( A 1 A 2 ) ) \begin{array}{c} A_1cos(\theta) - A_2sin(\theta)\\ \sqrt{A_1^2A_2^2}sin(\theta-tan^{-1}(\frac{A_1}{A_2})) \end{array} A1cos(θ)−A2sin(θ)A12A22 sin(θ−tan−1(A2A1))
可以继续合并化简为 − w V I s i n ( w t ) R ( A L − C w 2 A ) 2 ( w A R ) 2 ∗ s i n ( w t ϕ − t a n − 1 ( A L − C w 2 A w A R ) ) \begin{array}{c} \frac{-wV_Isin(wt)}{R} \\ \sqrt{(\frac{A}{L}-Cw^2A)^2(\frac{wA}{R})^2}*\\ sin(wt\phi-tan^{-1}(\frac{\frac{A}{L}-Cw^2A}{\frac{wA}{R}})) \end{array} R−wVIsin(wt)(LA−Cw2A)2(RwA)2 ∗sin(wtϕ−tan−1(RwALA−Cw2A))
令对应位置相等可得 − w V I R ( A L − C w 2 A ) 2 ( w A R ) 2 \begin{array}{c} \frac{-wV_I}{R} \sqrt{(\frac{A}{L}-Cw^2A)^2(\frac{wA}{R})^2} \end{array} R−wVI(LA−Cw2A)2(RwA)2 ϕ t a n − 1 ( R ( 1 − C w 2 L ) w L ) \begin{array}{c} \phi tan^{-1}(\frac{R(1-Cw^2L)}{wL}) \end{array} ϕtan−1(wLR(1−Cw2L))
化简上式可得 ( w V I ) 2 R 2 ( A L − C w 2 A ) 2 ( w A R ) 2 \begin{array}{c} \frac{(wV_I)^2}{R^2} (\frac{A}{L}-Cw^2A)^2(\frac{wA}{R})^2 \end{array} R2(wVI)2(LA−Cw2A)2(RwA)2
分解因式 ( w V I ) 2 R 2 A 2 L 2 ( C w 2 A ) 2 − 2 A L C w 2 A ( w A R ) 2 \begin{array}{c} \frac{(wV_I)^2}{R^2} \\ \frac{A^2}{L^2}(Cw^2A)^2-2\frac{A}{L}Cw^2A(\frac{wA}{R})^2 \end{array} R2(wVI)2L2A2(Cw2A)2−2LACw2A(RwA)2
两边同时乘以 L2R2 ( L w V I ) 2 A 2 R 2 ( L R C w 2 A ) 2 − 2 A 2 L R 2 C w 2 ( L w A ) 2 \begin{array}{c} (LwV_I)^2 A^2R^2(LRCw^2A)^2\\ -2A^2LR^2Cw^2(LwA)^2 \end{array} (LwVI)2A2R2(LRCw2A)2−2A2LR2Cw2(LwA)2
提出 A 移项整理得 A 2 ( L w V I ) 2 R 2 ( L R C w 2 ) 2 − 2 L R 2 C w 2 ( L w ) 2 \begin{array}{c} A^2 \frac{(LwV_I)^2}{R^2(LRCw^2)^2 -2LR^2Cw^2(Lw)^2} \end{array} A2R2(LRCw2)2−2LR2Cw2(Lw)2(LwVI)2
分式上下同时除以 (Lw)2 得 A 2 V I 2 ( R L w ) 2 ( R C w ) 2 − 2 R 2 C L 1 \begin{array}{c} A^2 \frac{V_I^2}{(\frac{R}{Lw})^2(RCw)^2-\frac{2R^2C}{L}1} \end{array} A2(LwR)2(RCw)2−L2R2C1VI2
两边开方同时只取正解 A V I ( R L w ) 2 ( R C w ) 2 − 2 R 2 C L 1 \begin{array}{c} A \frac{V_I}{\sqrt{(\frac{R}{Lw})^2(RCw)^2-\frac{2R^2C}{L}1}} \end{array} A(LwR)2(RCw)2−L2R2C1 VI
因此可得 vp 为 v p ( t ) A c o s ( w t ϕ ) v_p(t) A cos(wt \phi) vp(t)Acos(wtϕ)
其中 A V I ( R L w ) 2 ( R C w ) 2 − 2 R 2 C L 1 \begin{array}{c} A \frac{V_I}{\sqrt{(\frac{R}{Lw})^2(RCw)^2-\frac{2R^2C}{L}1}} \end{array} A(LwR)2(RCw)2−L2R2C1 VI ϕ t a n − 1 ( R ( 1 − C w 2 L ) w L ) \begin{array}{c} \phi tan^{-1}(\frac{R(1-Cw^2L)}{wL}) \end{array} ϕtan−1(wLR(1−Cw2L))
1.3 找通解
微分方程对应的齐次方程为 0 C d v o 2 ( t ) d t 2 1 R d v o ( t ) d t 1 L v o ( t ) \begin{array}{c} 0 C\frac{dv_o^2(t)}{dt^2} \frac{1}{R}\frac{dv_o(t)}{dt} \frac{1}{L}v_o(t) \end{array} 0Cdt2dvo2(t)R1dtdvo(t)L1vo(t)
设齐次微分方程解的形式为 v h A e s t \begin{array}{c} v_h Ae^{st} \end{array} vhAest
其中 A 和 s 为待确定的参数带入可得 0 C A s 2 e s t 1 R s A e s t 1 L A e s t \begin{array}{c} 0 CAs^2e^{st} \frac{1}{R} sAe^{st} \frac{1}{L}Ae^{st} \end{array} 0CAs2estR1sAestL1Aest
不考虑 A 为 0 的情况约掉同类项后可得 0 C s 2 1 R s 1 L \begin{array}{c} 0 Cs^2 \frac{1}{R} s \frac{1}{L} \end{array} 0Cs2R1sL1
解得 s 1 − ( 1 R − 1 R 2 − 4 C L ) 2 C \begin{array}{c} s_1 \frac{-(\frac{1}{R}-\sqrt{\frac{1}{R^2} - \frac{4C}{L}})}{2C} \end{array} s12C−(R1−R21−L4C ) s 2 − ( 1 R 1 R 2 − 4 C L ) 2 C \begin{array}{c} s_2 \frac{-(\frac{1}{R}\sqrt{\frac{1}{R^2} - \frac{4C}{L}})}{2C} \end{array} s22C−(R1R21−L4C )
可得 v h A 1 e s 1 t A 2 e s 2 t \begin{array}{c} v_h A_1e^{s_1t} A_2e^{s_2t} \end{array} vhA1es1tA2es2t
因为 C 0L 0所以 ( 1 R 2 − 4 C L ) 1 R 2 \begin{array}{c} (\frac{1}{R^2} - \frac{4C}{L}) \frac{1}{R^2} \end{array} (R21−L4C)R21
所以 ( 1 R − 1 R 2 − 4 C L ) 0 \begin{array}{c} (\frac{1}{R}-\sqrt{\frac{1}{R^2} - \frac{4C}{L}}) 0 \end{array} (R1−R21−L4C )0
所以 s1 0s2 0
同时我们讨论的是正弦稳态的情况下的响应所以 t 趋近于无限长此时 A 1 e s 1 t → 0 , A 2 e s 2 t → 0 A_1e^{s_1t} \rightarrow 0,\qquad A_2e^{s_2t} \rightarrow 0 A1es1t→0,A2es2t→0
所以 vh 0。
1.4 根据初始条件确定参数
由于稳态条件下通解为 0 所以这一步不需要了。
1.5 最终的解
至此用微分方程的方法得到的最终的解为 v o ( t ) v p ( t ) v h ( t ) v_o(t) v_p(t) v_h(t) vo(t)vp(t)vh(t)
即 v o ( t ) A c o s ( w t ϕ ) v_o(t) A cos(wt \phi) vo(t)Acos(wtϕ)
其中 A V I ( R L w ) 2 ( R C w ) 2 − 2 R 2 C L 1 \begin{array}{c} A \frac{V_I}{\sqrt{(\frac{R}{Lw})^2(RCw)^2-\frac{2R^2C}{L}1}} \end{array} A(LwR)2(RCw)2−L2R2C1 VI ϕ t a n − 1 ( R ( 1 − C w 2 L ) w L ) \begin{array}{c} \phi tan^{-1}(\frac{R(1-Cw^2L)}{wL}) \end{array} ϕtan−1(wLR(1−Cw2L))
2.阻抗模型方法
阻抗模型下的电路示意图
2.1 基础知识
电阻的阻抗模型 Z R R Z_R R ZRR
电容的阻抗模型 Z C 1 j w C Z_C \frac{1}{jwC} ZCjwC1
电感的阻抗模型 Z L j w L Z_L jwL ZLjwL
阻抗模型里输入输出都是复数。
复数输入 Vi 为 V i V I e j w t V_i V_Ie^{jwt} ViVIejwt
复数输出 Vo 为 V o V O e j w t ϕ V_o V_Oe^{jwt \phi} VoVOejwtϕ
2.2 计算过程
阻抗模型的适用条件是正弦稳态条件下可以直接利用分压法进行计算。 V o ( t ) V i ( t ) Z C / / Z L Z R Z C / / Z L V_o(t) V_i(t) \frac{Z_C // Z_L}{Z_R Z_C//Z_L} Vo(t)Vi(t)ZRZC//ZLZC//ZL
其中 Z C / / Z L 1 j w C 1 j w L Z_C // Z_L \frac{1}{jwC \frac{1}{jwL}} ZC//ZLjwCjwL11
带入可得 Z C / / Z L Z R Z C / / Z L 1 j w C 1 j w L R 1 j w C 1 j w L \begin{array}{c} \frac{Z_C // Z_L}{Z_R Z_C//Z_L} \frac{\frac{1}{jwC \frac{1}{jwL}}}{R\frac{1}{jwC \frac{1}{jwL}}} \end{array} ZRZC//ZLZC//ZLRjwCjwL11jwCjwL11
分子分母同时除以 1 j w C 1 j w L \frac{1}{jwC \frac{1}{jwL}} jwCjwL11
可得 Z C / / Z L Z R Z C / / Z L 1 R ( j w C 1 j w L ) 1 \begin{array}{c} \frac{Z_C // Z_L}{Z_R Z_C//Z_L} \frac{1}{R(jwC\frac{1}{jwL})1} \end{array} ZRZC//ZLZC//ZLR(jwCjwL1)11
继续化简 Z C / / Z L Z R Z C / / Z L 1 j ( R w C − R w L ) 1 \begin{array}{c} \frac{Z_C // Z_L}{Z_R Z_C//Z_L} \frac{1}{j(RwC-\frac{R}{wL})1} \end{array} ZRZC//ZLZC//ZLj(RwC−wLR)11
用复数的角坐标表示 Z C / / Z L Z R Z C / / Z L 1 1 ( R w C − R w L ) 2 e j t a n − 1 ( R w C − R w L ) \begin{array}{c} \frac{Z_C // Z_L}{Z_R Z_C//Z_L} \frac{1}{\sqrt{1(RwC-\frac{R}{wL})^2}e^{jtan^{-1}(RwC-\frac{R}{wL})}} \end{array} ZRZC//ZLZC//ZL1(RwC−wLR)2 ejtan−1(RwC−wLR)1
拆分并化简倒数为负指数 Z C / / Z L Z R Z C / / Z L 1 1 ( R w C − R w L ) 2 e − j t a n − 1 ( R w C − R w L ) \begin{array}{c} \frac{Z_C // Z_L}{Z_R Z_C//Z_L} \frac{1}{\sqrt{1(RwC-\frac{R}{wL})^2}} e^{-jtan^{-1}(RwC-\frac{R}{wL})} \end{array} ZRZC//ZLZC//ZL1(RwC−wLR)2 1e−jtan−1(RwC−wLR)
将Vi(t)Vo(t)以及上边的传递函数带入 V o ( t ) V i ( t ) Z C / / Z L Z R Z C / / Z L \begin{array}{c} V_o(t) V_i(t) \frac{Z_C // Z_L}{Z_R Z_C//Z_L} \end{array} Vo(t)Vi(t)ZRZC//ZLZC//ZL
可得 V O e j ( w t ϕ ) V I e j w t 1 1 ( R w C − R w L ) 2 e − j t a n − 1 ( R w C − R w L ) \begin{array}{c} V_Oe^{j(wt \phi)} \\ V_Ie^{jwt}\frac{1}{\sqrt{1(RwC-\frac{R}{wL})^2}} e^{-jtan^{-1}(RwC-\frac{R}{wL})} \end{array} VOej(wtϕ)VIejwt1(RwC−wLR)2 1e−jtan−1(RwC−wLR)
合并化简可得 V O e j ( w t ϕ ) V I 1 ( R w C − R w L ) 2 e j ( w t − t a n − 1 ( R w C − R w L ) ) \begin{array}{c} V_Oe^{j(wt \phi)} \\ \frac{V_I}{\sqrt{1(RwC-\frac{R}{wL})^2}} e^{j(wt-tan^{-1}(RwC-\frac{R}{wL}))} \end{array} VOej(wtϕ)1(RwC−wLR)2 VIej(wt−tan−1(RwC−wLR))
取对应项相等可得 V O V I 1 ( R w C − R w L ) 2 \begin{array}{c} V_O \frac{V_I}{\sqrt{1(RwC-\frac{R}{wL})^2}} \end{array} VO1(RwC−wLR)2 VI ϕ − t a n − 1 ( R w C − R w L ) \phi -tan^{-1}(RwC-\frac{R}{wL}) ϕ−tan−1(RwC−wLR)
根据欧拉公式展开并取虚部即为要求的时域部分的结果 v o ( t ) V O c o s ( w t ϕ ) v_o(t) V_Ocos(wt\phi) vo(t)VOcos(wtϕ)
其中 V O V I 1 ( R w C − R w L ) 2 V_O \frac{V_I}{\sqrt{1(RwC-\frac{R}{wL})^2}} VO1(RwC−wLR)2 VI ϕ − t a n − 1 ( R w C − R w L ) \phi -tan^{-1}(RwC-\frac{R}{wL}) ϕ−tan−1(RwC−wLR)
与微分方程计算的结果一致。
绘制函数曲线
传递函数
使用函数绘制工具以 w 作为变量绘制传递函数的曲线并调整 L,R,C 参数观察不同参数对传递函数的影响绘制演示如下
下面视频是不同 w 下的幅值变化曲线可以观察到改变 L 可以调整谐振频率更改 C 既会影响谐振频率又会改变通频带的胖瘦品质因数 Q 更改 R 只改变胖瘦品质因数 Q 不改变谐振频率在谐振频率处传递函数的幅值为1说明输出幅值与输入幅值相等。 LC并联电路传递函数幅值随w的变化 下面是不同 w 下的相角变化曲线上下的角度是正负 90°改变 R 不会改变谐振频率在谐振频率相角为 0°。 LC并联电路相角随w的变化 通过曲线图可以看到电阻会影响品质因数但是不会改变谐振频率谐振频率处的输出信号幅值与输入相等相角偏移为0说明谐振时输出与输入完全一致。
谐振频率为 F 1 2 π L C F \frac{1}{2\pi\sqrt{LC}} F2πLC 1
电路的品质因数 Q 为谐振频率 与 带宽的比值带宽是幅值为幅值为谐振点幅值的 0.707 倍时的频率点的差值因此波形越瘦电路的品质因数越高改变电阻可以改变品质因数。
仿真验证
下图仿真在谐振点时输入信号与输出信号完全相同 下图是扫频的仿真可以看到在谐振点处传递函数幅值最大为 1且相角为0. 参考
正弦稳态https://www.bilibili.com/video/BV1ts411v7Ep?p17
阻抗模型https://www.bilibili.com/video/BV1ts411v7Ep?p19
电路的 Q 值 https://www.crystal-radio.eu/enlckring.htm#q
