网站运营的含义,wordpress整改网站收录,购物系统论文,俄罗斯网站设计文章目录 abstract本文符号说明无穷小无穷小和自变量变化过程无穷小和函数极限的关系定理#x1f47a;证明 无穷大无穷大不是数极限无穷大的说法证明函数极限为无穷大 无穷大和无穷小见的关系定理无穷小无穷大的运算法则 abstract
无穷小和无穷大的概念和相关性质
本文符号说… 文章目录 abstract本文符号说明无穷小无穷小和自变量变化过程无穷小和函数极限的关系定理证明 无穷大无穷大不是数极限无穷大的说法证明函数极限为无穷大 无穷大和无穷小见的关系定理无穷小无穷大的运算法则 abstract
无穷小和无穷大的概念和相关性质
本文符号说明
自变量 x x x趋于 ∗ {*} ∗(表示有限值 x 0 x_0 x0,或无穷 ∞ \infin ∞)的变化过程 x → ∗ x\to{*} x→∗表示: x → x 0 x\to{x_0} x→x0或 x → ∞ x\to{\infin} x→∞
无穷小
若函数 lim x → ∗ f ( x ) 0 \lim\limits_{x\to{*}}f(x)0 x→∗limf(x)0,则称 f ( x ) f(x) f(x)为 x → ∗ x\to{*} x→∗时的无穷小 特别地,以0为极限的数列 { x n } \set{x_n} {xn}称为 n → ∞ n\to{\infin} n→∞时的无穷小从定义可以看出,无穷小是对具有某种性质的函数的称呼,而不是指很小(无穷小)的数 Note: 记无穷小为 α \alpha α.无穷小 α \alpha α的精髓在于, x → ∗ x\to{*} x→∗的极限过程中可以无限接近0,即 ∣ α ∣ |\alpha| ∣α∣小于任意给定的正数 ϵ ( ϵ 0 ) \epsilon(\epsilon0) ϵ(ϵ0)可见,任何非0的常数(或者常数函数 y a ( a ≠ 0 ) ya(a\neq{0}) ya(a0)都无法做到这一点而常数 0 0 0(或者 y 0 y0 y0)可以满足无穷小的条件 ∣ 0 ∣ ϵ |0|\epsilon ∣0∣ϵ,因此是无穷小,并且在任意极限过程 ( x → ∗ ) (x\to{*}) (x→∗)都是无穷小,因此 0 0 0有特殊地位无穷小可以称为无穷小函数,更具体地称过程 x → ∗ x\to{*} x→∗的无穷小函数有些函数不可能是无穷小,例如 y 1 1 x ( x 0 ) y1\frac{1}{x}(x0) y1x1(x0),其定义域内任何自变量过程的函数极限不小于1 例: lim x → 1 ( x − 1 ) 0 \lim\limits_{x\to1}(x-1)0 x→1lim(x−1)0,所以 x − 1 x-1 x−1是 x → 1 x\to{1} x→1时的等价无穷小
无穷小和自变量变化过程 0 0 0以外的任何无穷小都有其对一个的变化过程 x → ∗ x\to{*} x→∗这和极限相仿,提到极限一定有其对应的自变量变化过程无穷小参与运算或构成的式子中,要有一致的自变量变化过程无穷小是函数,因此也可以和其他一般函数一起构成其他函数解析式,只不过无穷小要强调趋于0时对应的自变量变化过程 ( x → ∗ ) (x\to{*}) (x→∗),脱离了变化过程,某些 α \alpha α相关等式不再成立
无穷小和函数极限的关系定理
在自变量的同一个变化过程 x → ∗ x\to{*} x→∗中,函数 f ( x ) f(x) f(x)具有极限 A A A的充要条件是 f ( x ) A α f(x)A\alpha f(x)Aα, α \alpha α是无穷小 其中 A α A\alpha Aα是函数而不是常数
证明 以 x → x 0 x\to{x_0} x→x0为例,主要采用极限和无穷小的定义进行推理( x → ∞ x\to{\infin} x→∞类似) 必要性:设 lim x → x 0 f ( x ) A \lim\limits_{x\to{x_0}}f(x)A x→x0limf(x)A, 则由极限定义: ∀ ϵ 0 \forall{\epsilon0} ∀ϵ0, ∃ δ 0 \exist{\delta0} ∃δ0,当 0 ∣ x − x 0 ∣ δ 0|x-x_0|\delta 0∣x−x0∣δ时,有 ∣ f ( x ) − A ∣ ϵ |f(x)-A|\epsilon ∣f(x)−A∣ϵ;令 α f ( x ) − A \alphaf(x)-A αf(x)−A,则 ∣ α ∣ ϵ |\alpha|\epsilon ∣α∣ϵ,即 ∣ α − 0 ∣ ϵ |\alpha-0|\epsilon ∣α−0∣ϵ所以极限定义, lim x → x 0 α 0 \lim\limits_{x\to{x_0}}\alpha0 x→x0limα0所以 α \alpha α是 x → x 0 x\to{x_0} x→x0时的无穷小,且 f ( x ) A α f(x)A\alpha f(x)Aα或者说, f ( x ) f(x) f(x)等于它的 ( x → x 0 ) (x\to{x_0}) (x→x0)时的极限 A A A与一个无穷小 α \alpha α之和,其中 α \alpha α可以取 f ( x ) − A f(x)-A f(x)−ANote: 从极限运算的角度:则 lim x → x 0 α \lim\limits_{x\to{x_0}}\alpha x→x0limα lim x → x 0 ( f ( x ) − A ) \lim\limits_{x\to{x_0}}(f(x)-A) x→x0lim(f(x)−A) lim x → x 0 f ( x ) − lim x → x 0 A \lim\limits_{x\to{x_0}}f(x)-\lim\limits_{x\to{x_0}}A x→x0limf(x)−x→x0limA A − A A-A A−A0也可说明 α \alpha α是 x → x 0 x\to{x_0} x→x0时的无穷小 充分性:设 f ( x ) f(x) f(x) A α A\alpha Aα(1),其中 A A A是常数, α \alpha α是 x → x 0 x\to{x_0} x→x0时的无穷小 定义法证明 显然 ∣ f ( x ) − A ∣ ∣ α ∣ |f(x)-A||\alpha| ∣f(x)−A∣∣α∣因为 α → 0 ( x → x 0 ) \alpha\to{0}(x\to{x_0}) α→0(x→x0)所以 ∀ ϵ 0 \forall{\epsilon0} ∀ϵ0, ∃ δ 0 \exist{\delta0} ∃δ0,当 0 ∣ x − x 0 ∣ δ 0|x-x_0|\delta 0∣x−x0∣δ时, ∣ α ∣ ϵ |\alpha|\epsilon ∣α∣ϵ,即 ∣ f ( x ) − A ∣ ϵ |f(x)-A|\epsilon ∣f(x)−A∣ϵ所以 lim x → x 0 f ( x ) A \lim\limits_{x\to{x_0}}f(x)A x→x0limf(x)A 极限运算法:对(1)两边取极限: lim x → x 0 f ( x ) \lim\limits_{x\to{x_0}}f(x) x→x0limf(x) lim x → x 0 ( A α ) \lim\limits_{x\to{x_0}}(A\alpha) x→x0lim(Aα) lim x → x 0 A \lim\limits_{x\to{x_0}}A x→x0limA lim x → x 0 α \lim\limits_{x\to{x_0}}\alpha x→x0limα A 0 A0 A0 A A A
无穷大
若 x → ∗ x\to{*} x→∗时, ∣ f ( x ) ∣ |f(x)| ∣f(x)∣可以大于预先给定的任意大正数 M M M,则 f ( x ) f(x) f(x)是 x → ∗ x\to{*} x→∗时的无穷大或者精确地说: 设 f ( x ) f(x) f(x)在 x 0 x_0 x0的某个去心领域 U ( x 0 , δ ) ˚ {\mathring {U(x_0,\delta)}} U(x0,δ)˚(或 ∣ x ∣ N ∈ N |x|N\in\mathbb{N}_{} ∣x∣N∈N)内有定义若 ∀ M \forall{M} ∀M, ∃ δ 0 \exist{\delta0} ∃δ0(或 ∃ X 0 \exist X0 ∃X0),当 x ∈ U ( x 0 , δ ) ˚ x\in{\mathring {U(x_0,\delta)}} x∈U(x0,δ)˚或( ∣ x ∣ X |x|X ∣x∣X),总有 ∣ f ( x ) ∣ M |f(x)|M ∣f(x)∣M,则称 f ( x ) f(x) f(x)是 x → x 0 x\to{x_0} x→x0(或 x → ∞ x\to{\infin} x→∞)时的无穷大
无穷大不是数
无穷大 ∞ \infin ∞不是数,不同于很大的数(常数),而是强调自变量极限变化过程 ( x → ∗ ) (x\to{*}) (x→∗)的函数,且 ( x → ∗ ) (x\to{*}) (x→∗)时函数值要多大有多大
极限无穷大的说法 按照函数极限的定义, x → ∗ x\to{*} x→∗时是无穷大的函数 f ( x ) f(x) f(x)的极限是不存在的(无穷大不是数) 为了便于叙述函数的这一性态,也称呼为函数的极限是无穷大的 总之:极限无穷大仍要归为极限不存在的大类当中, 极限无穷大是极限不存在且函数值趋于无穷的简称记为 lim x → ∗ f ( x ) ∞ \lim\limits_{x\to{*}}f(x)\infin x→∗limf(x)∞例 f ( x ) x 2 f(x)x^2 f(x)x2, lim x → ∞ x 2 ∞ \lim\limits_{x\to{\infin}}x^2\infin x→∞limx2∞ f ( x ) 1 x f(x)\frac{1}{x} f(x)x1, lim x → 0 1 x ∞ \lim\limits_{x\to{0}}\frac{1}{x}\infin x→0limx1∞ 若将定义中的 ∣ f ( x ) ∣ M |f(x)|M ∣f(x)∣M替换为 f ( x ) M f(x)M f(x)M(或 f ( x ) − M f(x)-M f(x)−M),则记为 lim x → ∗ f ( x ) ∞ \lim\limits_{x\to{*}}f(x)\infin x→∗limf(x)∞ ( lim x → ∗ f ( x ) − ∞ ) (\lim\limits_{x\to{*}}f(x)-\infin) (x→∗limf(x)−∞)
证明函数极限为无穷大
极限无穷大本质上是极限不存在的情况,因此和证明极限存在时的情形有所不同,这里不再借助 ∀ ϵ 0 \forall{\epsilon}0 ∀ϵ0来刻画 x → ∗ x\to{*} x→∗时函数和有限且确定的极限值无限接近,而采用 ∀ M 0 \forall{M}0 ∀M0来体现 x → ∗ x\to{*} x→∗时的无穷大含义证明 lim x → ∗ f ( x ) ∞ \lim\limits_{x\to{*}}f(x)\infin x→∗limf(x)∞的思路是,设 ∀ M 0 \forall{M0} ∀M0, ∃ X 0 \exist{X}0 ∃X0,当( x x x满足) 0 ∣ x − x 0 ∣ δ 0|x-x_0|\delta 0∣x−x0∣δ(或 x X xX xX)时 ∣ f ( x ) ∣ M |f(x)|M ∣f(x)∣M(1) 从(1)求出 x x x的取值范围并选定一个确定的 X X X值(或 δ \delta δ),来说明 f ( x ) f(x) f(x)在 x → ∗ x\to{*} x→∗时要多大有多大,即 lim x → ∗ f ( x ) ∞ \lim\limits_{x\to{*}}f(x)\infin x→∗limf(x)∞ 例 令 f ( x ) 1 x − 1 f(x)\frac{1}{x-1} f(x)x−11证明 lim x → 1 f ( x ) ∞ \lim\limits_{x\to{1}}f(x)\infin x→1limf(x)∞证明:设 ∀ M 0 \forall{M0} ∀M0,令 ∣ f ( x ) ∣ M |f(x)|M ∣f(x)∣M,即 ∣ 1 x − 1 ∣ M |\frac{1}{x-1}|M ∣x−11∣M,即 ∣ x − 1 ∣ 1 M |x-1|\frac{1}{M} ∣x−1∣M1令 δ 1 M \delta\frac{1}{M} δM1,则当 x x x满足 0 ∣ x − 1 ∣ δ 0|x-1|\delta 0∣x−1∣δ时有 ∣ 1 x − 1 ∣ M |\frac{1}{x-1}|M ∣x−11∣M成立,从而 lim x → 1 f ( x ) ∞ \lim\limits_{x\to{1}}f(x)\infin x→1limf(x)∞可见 x 1 x1 x1时函数 y 1 x − 1 y\frac{1}{x-1} yx−11的图形的铅直渐近线
无穷大和无穷小见的关系定理 在自变量的同一个变化过程 x → ∗ x\to{*} x→∗中,函数 f ( x ) f(x) f(x)为无穷大,则 1 f ( x ) \frac{1}{f(x)} f(x)1是无穷小; 反之,若 f ( x ) f(x) f(x)是无穷小,且 f ( x ) ≠ 0 f(x)\neq{0} f(x)0,则 1 f ( x ) \frac{1}{f(x)} f(x)1为无穷大 证:以 x → x 0 x\to{x_0} x→x0为例( x → ∞ x\to\infin x→∞类似) 设 lim x → x 0 f ( x ) ∞ \lim\limits_{x\to{x_0}}f(x)\infin x→x0limf(x)∞,则 ∀ M 0 \forall{M0} ∀M0, ∃ δ 0 \exist{\delta0} ∃δ0,当 0 ∣ x − x 0 ∣ δ 0|x-x_0|\delta 0∣x−x0∣δ时,有 ∣ f ( x ) ∣ M |f(x)|M ∣f(x)∣M 则 ∣ 1 f ( x ) ∣ 1 M |\frac{1}{f(x)}|\frac{1}{M} ∣f(x)1∣M1,令 ϵ 1 M \epsilon\frac{1}{M} ϵM1,因为 M M M可以取任何正数,所以 ϵ \epsilon ϵ也可取任何值,且总有 ∣ 1 f ( x ) ∣ ϵ |\frac{1}{f(x)}|\epsilon ∣f(x)1∣ϵ,从而 lim x → x 0 1 f ( x ) 0 \lim\limits_{x\to{x_0}}\frac{1}{f(x)}0 x→x0limf(x)10 隐去细节的紧凑版本: ∀ ϵ 0 \forall{\epsilon0} ∀ϵ0,对于 M 1 ϵ M\frac{1}{\epsilon} Mϵ1, ∃ δ 0 \exist{\delta0} ∃δ0,当 0 ∣ x − x 0 ∣ δ 0|x-x_0|\delta 0∣x−x0∣δ时, ∣ f ( x ) ∣ M 1 ϵ |f(x)|M\frac{1}{\epsilon} ∣f(x)∣Mϵ1,即 ∣ 1 f ( x ) ∣ ϵ |\frac{1}{f(x)}|\epsilon ∣f(x)1∣ϵ,所以 lim x → x 0 1 f ( x ) 0 \lim\limits_{x\to{x_0}}\frac{1}{f(x)}0 x→x0limf(x)10 反之,设 lim x → x 0 f ( x ) 0 \lim\limits_{x\to{x_0}}f(x)0 x→x0limf(x)0,且 f ( x ) ≠ 0 f(x)\neq{0} f(x)0 ∀ M 0 \forall{M0} ∀M0,根据无穷小的定义,对于 ϵ 1 M \epsilon\frac{1}{M} ϵM1, ∃ δ 0 \exist{\delta0} ∃δ0,当 0 ∣ x − x 0 ∣ δ 0|x-x_0|\delta 0∣x−x0∣δ, ∣ f ( x ) ∣ ϵ 1 M |f(x)|\epsilon\frac{1}{M} ∣f(x)∣ϵM1由于当 0 ∣ x − x 0 ∣ δ 0|x-x_0|\delta 0∣x−x0∣δ时 f ( x ) ≠ 0 f(x)\neq{0} f(x)0,从而 ∣ 1 f ( x ) ∣ M |\frac{1}{f(x)}|M ∣f(x)1∣M所以 lim x → x 0 1 f ( x ) ∞ \lim\limits_{x\to{x_0}}\frac{1}{f(x)}\infin x→x0limf(x)1∞
无穷小无穷大的运算法则
参见极限的运算法则
