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决策规划算法…以下内容来自b站up主忠厚老实的老王视频链接自动驾驶决策规划算法序章 总纲与大致目录_哔哩哔哩_bilibilihttps://www.bilibili.com/video/BV1hP4y1p7es/?spm_id_from333.999.0.0vd_sourced36e625f376908cfa88ef5ecf2fb0ed8侵删。
决策规划算法概述 数学基础
五次多项式 其中隐含的限制就是f(t)的定义域和值域都应该是实数因为s和t都是真实空间中的轨迹和时间坐标不能有虚数。
要想使得上面的那个jark最小积分号中是平方项也就是当其为0时最小也就是f(t)的三阶导数为0也就是f(t)是二次或者二次以下的函数时三阶导数才为0。 也就是求泛函 在后面的那三个约束条件下极小值对应的f(t)。 上面把一个带约束的泛函化成了一个无约束的泛函但是L和f点、f两点、f三点都有关不能直接使用上面只能处理一阶导数的欧拉——拉格朗日方程。要使用广义的欧拉——拉格朗日方程 凸优化 所以一般求复杂函数在复杂约束条件下的最小值问题都采用迭代法。迭代法的求解速度要比求导法快很多。 以梯度下降法为例说明大概原理 紫色区域是约束所以迭代法对初值比较敏感有可能收敛到局部最小值。 凸优化是最简单的非线性规划方法。自动驾驶的规划求解不是一个凸优化问题凸优化必须满cost function是一个凸函数约束空间是一个凸空间以避障工况为例 整个过程就是 上述方法也有一定的缺点 采样点少的话会比较容易收敛到局部最优采样点多的话会发生维度灾难如下 frenet坐标系和Cartesian坐标系坐标转换
概述和基本量 也就是在直角坐标系下想对一个函数求导那它只有一个dx这个dx是不区分点在x坐标上的位移还是点的实际位移在x坐标上的分量因为这两者一样但是在frenet坐标系中它们是一样的所以在frenet坐标系中会有d/ds和d/dsx之分。在直角坐标系中可能只有一个dx但是在frenet坐标系中可能会有多个ds举例说明如下 这里使用dsx和ds来区分不同的s在很多推导教程中可能中只用ds会造成理解困难。
预备知识1 证明这个质点位矢r的导数等于v的模乘以ττ是质点在切线方向的单位向量。 当dt趋近于0时ds和dr无限的接近比值为1方向会无限的趋近于在位矢r处的切线方向也就是τ。 预备知识2frenet坐标系 其中ds是黑色曲线的弧微分证明如下 其中τdτ和τ以及dτ形成的三角形是一个等腰三角形可以求出dτ的大小也即使dτ的模方向趋近于τ的法线方向。
其中当dτ无限趋近于0时sin(dθ/2)等价无穷小于(dθ/2)。 其中 kh是质点轨迹的曲率kr是道路中心线的曲率这里的曲率都是在直角坐标系下的曲率。 这里的ds指的是frenet坐标轴下的弧微分。 其中ρ是曲率半径法向加速度是向心加速度。
预备知识总结 坐标转换(从直角坐标转为frenet坐标
下面的问题就是已知在笛卡尔坐标系下的以及frenet坐标系下的坐标起点算这个点在frenet坐标系下的其中。 其中向量三角形是黄色区域由向量三角形可以得到核心的公式 得到上面的核心公式可以该公式和微积分依次求出但是这个公式还不能直接使用因为只知道rhrr和nr未知此时要找到投影点的相关信息。
投影点及其相关的信息的确定方法如下 最后计算得到rr的原理如下 为什么可以原理如下 至此投影点的信息已经基本求值完毕。 下面可以使用上面的核心公式来计算相关量。
s的计算方法是从离散规划点起点开始把各个点的长度累加起来一直累加到投影点(xr,yr)为止。也就是以直线长度近似代替弧长 小结 坐标变换(从frenet转换到直角坐标)
