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割点的定义就是在一个图G中#xff0c;它本来是连通的#xff0c;去掉一个点v以后这个…本文主要解决以下几个问题
1.欧拉图能不能有割点能不能有桥
2.哈密顿图能不能有割点能不能有桥 首先我们要明白几个定义
割点的定义就是在一个图G中它本来是连通的去掉一个点v以后这个图G就不连通了那么点v就被叫做割点。
桥的定义就是在一个图G中它本来也是连通的去掉一条边x以后这个图就不连通了那么边x就被称为桥。
欧拉图是拥有欧拉闭迹的图。
所谓欧拉闭迹包含两层概念“闭”和“迹”。
我们先来说什么是迹所谓“迹”就是用一笔可以从一个顶点出发一直沿着边走走到另一个顶点停止。在走的过程中可以有重复的点但是不能有重复的边。也就是说一个点可以经过两次以上但是一个边只能走一次。 如图从1走到5最后再回到1这就是一条迹。
我们再来说什么是“闭”所谓闭就是闭合的意思也就是说这条迹最后要回到起点形成一条闭合回路。上图所示的迹也是一条闭迹。
我们可以看到上面画的这个图拥有一套欧拉闭迹那么他就是一个欧拉图。
如果这个图去掉点3他就变成不连通的了那么点3就是一个割点显然欧拉图是可以有割点的有割点的图也可以是欧拉图。
那么欧拉图能不能有桥呢
我们先来试着想一想欧拉图必须要从一个点出发走回去边不能重复。那么如果有桥的话对于两个划分以后的子图我们为了从一个顶点出发最后再回到这个顶点不得不从这个桥走两遍这显然违背了欧拉图的定义。 如果需要严谨证明的话我们可以先由欧拉图得到在图上任意去掉一条边x图依然是连通的。如果去掉桥的话恰恰与欧拉图的定义相违背自然就证明了欧拉图中不能有桥了。
说完了欧拉图我们来看哈密顿图。
哈密顿图是具有哈密顿圈的图哈密顿圈是对于图G而言它有一个圈这个圈包含了图G的所有顶点。
换言之如果一个图G它具有一个能包含所有顶点的圈那么它具有哈密顿圈图G也就是哈密顿图了。
显然哈密顿图是有圈的图有圈的图不论去掉哪个顶点依然是连通的所以哈密顿图没有割点。有圈的图不论去掉哪条边也依然是连通的所以哈密顿图也没有桥
换言之有割点的图一定不是哈密顿图有桥的图一定不是哈密顿图。 完毕
