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数据拟合是数学建模与实验分析中的核心任务#xff0c;旨在通过数学模型逼近实际观测数据#xff0c;揭示变量间的潜在规律。本文基于最小二乘法的理论框架#xff0c;结合MATLAB代码实战#xff0c;系统讲解线性拟合、非线性拟合的实现方法#xff0c;并通过电阻温…
引言
数据拟合是数学建模与实验分析中的核心任务旨在通过数学模型逼近实际观测数据揭示变量间的潜在规律。本文基于最小二乘法的理论框架结合MATLAB代码实战系统讲解线性拟合、非线性拟合的实现方法并通过电阻温度预测、血药浓度分析等案例帮助读者掌握从数据预处理到模型优化的全流程技能。 一、拟合基础理论
1. 拟合与插值的区别
插值要求曲线通过所有数据点适合精确重建已知数据。拟合不要求曲线经过所有点旨在反映整体趋势适合噪声数据或预测。
2. 最小二乘法原理
目标最小化观测数据与模型预测值的残差平方和。 数学形式 J ( a 1 , a 2 , … , a m ) ∑ i 1 n ( y i − f ( x i ) ) 2 J(a_1, a_2, \dots, a_m) \sum_{i1}^n \left( y_i - f(x_i) \right)^2 J(a1,a2,…,am)i1∑n(yi−f(xi))2 其中 f ( x ) a 1 r 1 ( x ) a 2 r 2 ( x ) ⋯ a m r m ( x ) f(x) a_1 r_1(x) a_2 r_2(x) \dots a_m r_m(x) f(x)a1r1(x)a2r2(x)⋯amrm(x) 为拟合函数。
线性最小二乘法 当 f ( x ) f(x) f(x) 是待定系数的线性组合时可通过解超定方程组 R a y Ra y Ray 的最小二乘解实现 a ( R T R ) − 1 R T y a (R^T R)^{-1} R^T y a(RTR)−1RTy 二、MATLAB拟合函数详解
1. 线性拟合polyfit
功能多项式拟合返回多项式系数。 语法
p polyfit(x, y, m); % m为多项式次数
y_fit polyval(p, x); % 计算拟合值示例电阻-温度关系拟合
x 0:0.1:1;
y [-0.447, 1.978, 3.28, 6.16, 7.08, 7.34, 7.66, 9.56, 9.48, 9.30, 11.2];
p polyfit(x, y, 2); % 二次多项式拟合
y_fit polyval(p, x);
plot(x, y, ko, x, y_fit, r-);
xlabel(温度); ylabel(电阻); 结果二次多项式 R ( t ) − 9.81 t 2 20.13 t − 0.03 R(t) -9.81t^2 20.13t - 0.03 R(t)−9.81t220.13t−0.03 拟合效果最佳。
2. 非线性拟合lsqcurvefit
功能求解非线性最小二乘问题需自定义模型函数。 语法
x lsqcurvefit(fun, x0, xdata, ydata); 示例血药浓度动力学模型
定义模型函数保存为 curvefun1.m
function f curvefun1(x, tdata) f x(1) x(2) * exp(-0.02 * x(3) * tdata); % x(1)a, x(2)b, x(3)k
end 拟合与结果
tdata 100:100:1000;
cdata 1e-3 * [4.54, 4.99, 5.35, 5.65, 5.90, 6.10, 6.26, 6.39, 6.50, 6.59];
x0 [0.2, 0.05, 0.05];
x lsqcurvefit(curvefun1, x0, tdata, cdata);
disp([a, num2str(x(1)), , b, num2str(x(2)), , k, num2str(x(3))]); 输出 a 0.0063 , b − 0.0034 , k 0.2542 a0.0063, b-0.0034, k0.2542 a0.0063,b−0.0034,k0.2542拟合曲线符合一室药代动力学模型。 三、实战案例解析
案例1水塔流量估计
目标根据水位记录数据估计水塔流量及日总用水量。
步骤 分段拟合水位-时间曲线 第1时段08.97小时和第2时段10.9520.84小时用3次多项式拟合。 % 第1时段拟合
t1 [0, 1, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8, 9];
h1 [968, 948, 931, 913, 898, 881, 869, 850, 834, 822];
p1 polyfit(t1, h1, 3); 第2时段类似操作。 计算流量 流量为水位函数的导数。 dp1 polyder(p1);
flow1 -polyval(dp1, t1); % 流量取负值 估计总用水量 对各时段流量积分并求和。 total_flow trapz(t1, flow1) trapz(t2, flow2);
disp([日总用水量, num2str(total_flow), 立方米]); 结果日总用水量约为1250.4立方米。
案例2药物给药方案设计
背景根据血药浓度数据设计给药剂量与间隔确保浓度在安全范围内。 步骤
拟合血药浓度模型 使用非线性拟合确定药代动力学参数 k k k 和 V V V。 计算给药方案 首次剂量 D 0 c 2 V e − k τ D_0 \frac{c_2 V}{e^{-k \tau}} D0e−kτc2V维持剂量 D D 0 − c 1 V D D_0 - c_1 V DD0−c1V。 k 0.2347;
V 15.02;
tau 4; % 给药间隔
D0 25 * V / exp(-k * tau);
D D0 - 10 * V; 结果首次注射375mg后续每次225mg间隔4小时。 四、拟合方法对比与MATLAB实现
方法适用场景MATLAB函数核心代码示例线性最小二乘多项式、线性组合模型polyfitp polyfit(x, y, 2);非线性最小二乘指数、对数等复杂模型lsqcurvefitx lsqcurvefit(fun, x0, tdata, ydata);分段拟合非连续或趋势变化数据多次调用polyfitp1 polyfit(t1, y1, 3); 五、总结与建议
方法选择根据数据分布选择线性或非线性模型优先验证模型假设。模型评估通过残差分析、 R 2 R^2 R2决定系数评估拟合优度。MATLAB优势 polyfit 快速实现多项式拟合lsqcurvefit 灵活处理复杂非线性问题。 应用扩展拟合技术可结合信号处理、机器学习等领域进一步优化预测精度。 通过本文的学习读者可深入理解最小二乘法的数学原理掌握MATLAB实现方法并能够灵活应用于工程预测、医学分析等实际问题。
