郑州管家网站托管,有什么网站交互做的很好 知乎,将门户网站建设,仙游网站建设目录 定义及数学形式主要特点应用示例小结 高斯核函数#xff08;Gaussian Kernel#xff09;#xff0c;又称径向基核#xff08;Radial Basis Function Kernel#xff0c;RBF Kernel#xff09;#xff0c;是机器学习与模式识别中最常用的核函数之一。它通过在高维空间… 目录 定义及数学形式主要特点应用示例小结 高斯核函数Gaussian Kernel又称径向基核Radial Basis Function KernelRBF Kernel是机器学习与模式识别中最常用的核函数之一。它通过在高维空间衡量样本间的“相似度”使得一些线性不可分问题在映射到更高维度后变得可分从而广泛应用于支持向量机SVM、核岭回归、高斯过程等算法中。 定义及数学形式
对于任意两个样本 x \mathbf{x} x 与 y \mathbf{y} y高斯核函数定义为 k ( x , y ) exp ( − ∥ x − y ∥ 2 2 σ 2 ) k(\mathbf{x}, \mathbf{y}) \exp\left(-\frac{\|\mathbf{x} - \mathbf{y}\|^2}{2\sigma^2}\right) k(x,y)exp(−2σ2∥x−y∥2)
有时也会写作 k ( x , y ) exp ( − γ ∥ x − y ∥ 2 ) k(\mathbf{x}, \mathbf{y}) \exp\left(-\gamma \|\mathbf{x} - \mathbf{y}\|^2\right) k(x,y)exp(−γ∥x−y∥2)
其中 ∥ x − y ∥ \|\mathbf{x} - \mathbf{y}\| ∥x−y∥ 表示 x \mathbf{x} x 与 y \mathbf{y} y 的欧几里得距离 σ \sigma σ 用于控制核函数的宽度也可用参数 γ 1 2 σ 2 \gamma \frac{1}{2\sigma^2} γ2σ21 代替当 x y \mathbf{x} \mathbf{y} xy 时核函数取值为 1两点距离越大核函数值衰减越快。 主要特点 非线性映射 高斯核可以看作是将样本映射到无穷维的特征空间从而捕捉到更加丰富的特征关系在原始空间中线性不可分的问题可能在映射后的高维空间中被线性分割。 平滑且连续 高斯核呈现出光滑、连续、无界的性质容易处理大多数实际应用的噪声与不确定性。 调参简洁 高斯核往往只需要关注一个主要超参数 σ \sigma σ或 γ \gamma γ通过调节它的大小即可控制核所“感知”的局部与全局范围 σ \sigma σ 小 γ \gamma γ 大会使核函数值衰减更快模型关注更多的局部信息 σ \sigma σ 大 γ \gamma γ 小会使核函数值衰减更慢模型更加平滑但有时也会导致过度平滑。 应用广泛 在支持向量机SVM等核方法中高斯核通常表现出优于其他核函数的稳定效果。在许多实际场景如图像识别、文本分类、生物信息学等高斯核都是默认且常用的选择。 应用示例
以下以支持向量机为例展示高斯核的应用流程 数据准备 准备训练数据集 { ( x i , y i ) } i 1 n \{(\mathbf{x}_i, y_i)\}_{i1}^n {(xi,yi)}i1n。其中 x i ∈ R d \mathbf{x}_i \in \mathbb{R}^d xi∈Rd y i ∈ { 1 , − 1 } y_i \in \{1, -1\} yi∈{1,−1}。 选择高斯核 在训练 SVM 时指定核函数为高斯核 k ( x i , x j ) exp ( − γ ∥ x i − x j ∥ 2 ) k(\mathbf{x}_i, \mathbf{x}_j) \exp\left(-\gamma \|\mathbf{x}_i - \mathbf{x}_j\|^2\right) k(xi,xj)exp(−γ∥xi−xj∥2) 超参数调优 使用交叉验证等方法对 γ \gamma γ以及 SVM 中的 C 参数进行调参以在训练集和验证集上取得最优表现。 训练与预测 通过核技巧Kernel Trick在对偶空间中求解最优决策边界。之后针对新样本 x new \mathbf{x}_{\text{new}} xnew即可计算 f ( x new ) ∑ i 1 n α i y i exp ( − γ ∥ x i − x new ∥ 2 ) b f(\mathbf{x}_{\text{new}}) \sum_{i1}^n \alpha_i y_i \exp\left(-\gamma \|\mathbf{x}_i - \mathbf{x}_{\text{new}}\|^2\right) b f(xnew)∑i1nαiyiexp(−γ∥xi−xnew∥2)b 若 f ( x new ) 0 f(\mathbf{x}_{\text{new}}) 0 f(xnew)0预测为 1 1 1反之为 − 1 -1 −1。 小结
高斯核函数通过指数衰减的方式度量样本间的相似度实现了对样本的非线性映射常被用作机器学习中的默认核函数之一。它在处理各种高维和复杂分布数据时都有稳定而优异的表现尤其适用于支持向量机、核岭回归及高斯过程等方法。通过合理选择 σ \sigma σ或 γ \gamma γ高斯核能在“过拟合”与“欠拟合”之间找到平衡帮助模型取得更好的泛化能力。
