网站界面设计用户体验,网站建设先做后,东昌府聊城网站建设,揭阳网站设计公司1. 线性代数#xff1a;乐高积木的世界
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向量#xff1a; 就像一个有方向的箭头#xff0c;或者一组排好队的数字。比如#xff1a; 一个箭头…1. 线性代数乐高积木的世界
想象你有很多乐高积木块。线性代数就是研究怎么用这些积木块搭建东西以及这些搭建好的东西有什么特性的学问。
向量 就像一个有方向的箭头或者一组排好队的数字。比如 一个箭头从你家指向学校有长度多远和方向哪边。一组数字[身高, 体重, 年龄] 可以代表一个人。[苹果2个, 香蕉3根] 可以代表你的水果篮子。向量就是描述事物的一个列表。 矩阵 想象一个大表格就像班级花名册有行一排排学生和列姓名、学号、成绩。矩阵就是一堆数字整整齐齐地排列在一个方格里。 它能干嘛 存数据 比如全班每个同学每科的成绩就是一个大矩阵。做计算 就像一个超级计算器能一次性对整组数字进行加、减、乘这个乘法很特别不是简单的数字相乘。变换 想象一张图片它是由很多小点像素组成的。如果你想旋转这张图片、或者放大缩小它就可以用一个特殊的矩阵去“作用”在代表这张图片的所有点上瞬间完成变换这就像给图片施加了一个魔法。 行列式 想象一个由几个向量箭头在平面上搭成的平行四边形比如两个箭头或者平行六面体三个箭头。行列式就是一个数字它告诉你这个图形面积二维或体积三维有多大以及这个图形有没有被“压扁”比如两个箭头完全重合了面积就是0。特征值和特征向量 想象你有一个橡皮筋网。你抓住其中一个点用力拉施加一个变换。在拉扯过程中网的大部分点都移动了但可能有一根或几根橡皮筋的方向几乎没变只是被拉长或缩短了。 那根方向没变的橡皮筋的方向就是特征向量。它被拉长或缩短的倍数就是特征值。在机器学习里这能帮我们找到数据里最重要的“方向”。 向量空间 就是所有符合特定规则的向量箭头/列表集合在一起形成的一个“空间”。想象一个无限大的房间里面只能放各种长度、指向不同方向的箭头二维空间就是地面三维空间就是我们生活的空间。在这个空间里你可以自由地加箭头、拉长缩短箭头乘以一个数结果还属于这个空间。线性变换 就是一种规则它能把一个向量或一堆向量变成另一个向量或另一堆向量而且这种变换必须满足两个很“公平”的条件 两个向量先加起来再变 分别变了再加起来。一个向量先拉长再变 变了之后再拉长同样的倍数。前面说的旋转、放大图片就是线性变换。把数据从一个角度看变成从另一个角度看也是线性变换。
简单说线性代数就是研究“列表”向量和“表格”矩阵如何排列、组合、变化以及它们代表空间中的点和方向的学问。它是处理大量数据和多维度信息的利器。
2. 微积分研究“变化”的放大镜
想象你在爬山或者开车。微积分就是研究你爬得有多快变化速度以及你总共爬了多高累积变化的学问。
导数 就是瞬时速度或者坡度。 开车时速度表显示的就是你此时此刻的速度比如60公里/小时这就是导数。它告诉你位置变化得有多快。爬山时山坡的陡峭程度坡度就是导数。坡度越大导数越大你爬得越费劲位置变化越快。简单说导数告诉你某个东西比如高度、温度、价格在某个瞬间变化的快慢和方向是上升还是下降。 积分 就是累加起来的总量。 开车时如果你知道每一刻的速度导数那么把所有瞬间的速度乘以那一小段时间再加起来就能得到你总共走了多远路程。这个“加起来”的过程就是积分。想象一条速度-时间曲线下面的面积这个面积就是总路程也就是速度的积分。简单说积分就是把很多很多个瞬间的小变化累加起来得到总的变化量比如总路程、总热量、总收益。 极限 想象你盯着一个点然后拿着放大镜无限地、无限地靠近它看想看清楚它最最最精确的样子是什么。极限就是这个“无限靠近”时你看到的值。 它是导数和积分的基础工具用来定义“瞬间”和“无穷小”。 级数 就是把一大堆数或者函数一个一个加起来。比如 1 1/2 1/4 1/8 1/16 ... 一直加下去最后会无限接近2。这个无限加下去的和就是一个级数的和。在机器学习里有时复杂的函数可以近似看成是很多简单函数比如正弦波的级数相加。 多变量微积分 前面说的爬山可能只考虑了高度一个变量。但现实世界更复杂比如 山的高度H 不仅取决于你向东走了多远(X)还取决于你向北走了多远(Y)即 H f(X, Y)。这就是多变量函数。 梯度 这是多变量微积分里的超级明星 想象你站在山坡上蒙着眼睛想知道哪个方向最陡峭上坡最快 梯度就是一个向量箭头它指向最陡峭的上坡方向箭头越长表示那个方向越陡。为什么重要 机器学习就像在复杂地形里找最低点代表错误最小。梯度告诉你最陡峭的下坡方向梯度的反方向沿着这个方向一小步一小步走就能最快地“下山”找到最优解。这就是“梯度下降法”的核心思想。
简单说微积分是研究事物如何“变化”导数和“累积”积分的学问特别是当变化是连续平滑的时候。多变量微积分处理多个因素同时变化的情况梯度则是指引我们在复杂地形中快速找到最优路径的“指南针”。
3. 概率与统计猜谜游戏和找规律
想象你在玩抽奖、掷骰子或者想通过调查一小部分人来猜全班同学的情况。概率和统计就是关于“可能性”和“从数据中发现规律”的学问。
概率论 研究事情发生的可能性有多大。 概率 一个事情发生的机会大小用0到1之间的数表示。0是完全不可能1是绝对会发生。比如掷一个标准骰子掷出1点的概率是1/6。随机变量 一个还不确定的值但它取某些值的概率是知道的。比如“掷一次骰子得到的点数”就是一个随机变量它可以取1,2,3,4,5,6每个概率是1/6。概率分布 描述一个随机变量所有可能取的值以及每个值出现的概率。就像一张清单 骰子点数 1(概率1/6), 2(概率1/6), ..., 6(概率1/6) -- 这叫均匀分布。人的身高大部分人在平均身高附近特别高和特别矮的人少 -- 可能像一座钟形山正态分布。它告诉我们随机变量最可能取什么值以及取值的分散程度。 统计学 研究如何收集、分析、解释数据并从中得出结论或做出预测。 期望 (均值) 就是随机变量的长期平均值。比如掷骰子很多很多次平均每次掷出的点数是多少计算(123456)/6 3.5。所以期望是3.5。它代表了分布的中心位置。方差 衡量数据分散的程度或者说波动有多大。 方差小数据都紧紧挤在均值周围比如全班考试分数都接近80分。方差大数据很分散比如分数从0分到100分都有。就像一群人方差小说明大家身高差不多方差大说明有高个子也有矮个子。 协方差 相关性 看两个东西比如学习时间和考试成绩是不是一起变。 协方差 如果学习时间增加考试成绩也倾向于增加协方差就是正的如果学习时间增加考试成绩反而倾向于减少协方差就是负的如果看不出明显关系协方差接近0。相关性 是协方差的“标准化”版本把值固定在-1到1之间。1表示完全同向变化-1表示完全反向变化0表示没关系。它比协方差更容易理解关系的强弱。 假设检验 就像侦探破案或者科学实验。 你有一个猜想比如这种新药有效。你收集数据比如给一组人吃药一组人不吃看效果。你问如果我的猜想是错的假设药无效那么我观察到这么好的效果或者更极端效果的可能性概率有多大如果这个可能性非常非常小比如小于5%你就说“嗯不太可能是巧合我的猜想药有效很可能是对的”拒绝原假设。如果这个可能性不算小你就说“证据不足不能推翻药无效的想法”无法拒绝原假设。 置信区间 承认我们的估计可能不准给出一个范围。 比如你调查了100个同学算出平均身高是170cm。但你知道只调查了100人不一定能代表全校。你可能会说“我有95%的把握全校平均身高在168cm到172cm之间”。这个[168, 172]就是一个95%置信区间。它表示了我们对真实值全校平均身高的估计范围和信心程度。 最大似然估计 找一个最合理的故事来解释你看到的数据。 你掷一枚硬币10次有7次是正面。这枚硬币是公平的吗正面概率0.5还是它更可能偏向正面MLE 问假设硬币正面概率是P那么我观察到“10次掷出7次正面”这件事发生的可能性有多大 然后它尝试不同的P值0.1, 0.2, ..., 0.9找出让这个可能性最大的那个P值。这里P0.7的可能性最大。所以MLE估计这枚硬币正面概率是0.7。它就是找那个让已发生的事实看起来最不像是巧合的参数值。 贝叶斯推理 像不断更新的侦探。 你最初对某件事有个猜测先验概率。比如你觉得嫌疑人A有罪的可能性是30%。然后你发现了新证据比如在犯罪现场找到了A的指纹。贝叶斯推理告诉你根据这个新证据嫌疑人有罪的可能性后验概率现在应该是多少 它把最初的猜测和新证据带来的信息结合起来得出一个更新后的判断。在机器学习里它允许我们把对模型的“先验知识”和“观察到的数据”结合起来不断更新对模型的信念。
简单说概率是“猜未来发生的可能性”统计是“用过去的数据找规律、做判断”。它们一起帮机器学习算法理解数据中的不确定性、发现模式、做出预测并评估预测的可信度。
总结一下
线性代数是你的乐高工具箱用来搭建和处理多维度的数据和空间变换。微积分是你的导航仪和放大镜用来理解和优化事物是如何变化的特别是在复杂的多因素环境中找到最佳路径。概率与统计是你的水晶球和侦探手册用来理解不确定性、从数据中发现规律、做出预测并评估这些预测的可靠性。
把这三大块“工具箱”掌握好你就能更好地理解机器学习这个“超级机器人”是怎么工作、怎么学习的了虽然这些概念背后有复杂的数学但记住这些生动的比喻能帮你抓住它们最核心的思想。加油
