内江建设局网站,Pk10网站建设多少钱,wordpress删除dux主题,贵阳奇点未来网站建设知识目录同余完全剩余系剩余类完全剩余系❀简化剩余系❀欧拉函数逆元#xff01;欧拉定理 #xff01;同余
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知识目录同余完全剩余系剩余类完全剩余系❀简化剩余系❀欧拉函数逆元欧拉定理 同余
a,b 两个数字都模m当两个数字模m后余的数一样即为同余。 例子 a bq r (mod m)这里的a 和 r 就是同余 因为a模m就是余r的 同余性质若 m | a-b 则 a 和 b 同余 m同余符号用三横线表示 传递性若a b同余 b c 同余那么a和c就同余 倍数原则a和b模m同余则a km b 解释同余中玩的也是余数所以当模m余数相同的时候不管你添加多少个m都是同余的结果 加法原则a b 同余c d 同余则a c 和 b d也同余 解释原因是因为a 和 b的余数是相同的只要两边添加相同的数字便不会改变ab之间还是同余的关系那么上面添加的是 c 和 d明显cd本身就是同余也就是说ab添加的不是cd而是cd的余数他们的余数是一样的也就是两边添加后还是同余的结果。 乘法原则a b 同余c d 同余则a × c 和 b × d也同余 解释同理本质是用余数进行运算所以相乘也是两边乘以同一个数字后还是同余的。 注意乘法成立除法不成立 乘法原则推论a b 模m同余则na 和 nb同余n为任意整数 解释余数同乘则不变 指数原则若ab同余则ana^nan和bnb^nbn也同余 解释因为a和b同余次方数也一样个数一样的a和b相乘其实也就是和乘法原则一样所以指数原则只要次方数一样也是同余。 单独原则a b mod m a mod m b mod m 或者 当ab同余的时候na和nb在判断是否同余的时候也可以单独先对ab分开取模例如n (a mod m) n (b mod m) 解释在一个求模式子中可以单独拆开来分别先取模同理在乘法中也一样两个数字相乘也可以单独拆开来分别取模这和十进制运算也是一样的道理。 同除原则若ad 和 bd 模 m同余(d,m) 1则a 同余 b 解释上面的乘法原则提到除法不行但是这里又可以因为这里的d是和m互素的所以我们可以用单独原则将两边的d进行先取模最后得到一个1和ab相乘所以最后得出ab是同余的所以在希望通过除法对数字简化的时候必须要保证两边的数字能够提取出来的公因数是与m互素的才能够保证之后的数字仍为同余。 若ab模m同余 取k,k0,则同乘k后ak bk 模mk仍然同余 解释这里的k并没有考虑是否和m互素或者与其他数字有什么联系我们不考虑这些关系后把m也同时乘k这时候当我们再把ak取模的时候会把k一同消去留下的只有a的余数同理bk也是留下了b的余数那么就和原本的ab模m同余一样了。对比上面同乘原则这里更多的是考虑整体而同乘原则考虑的是余数之间因为同余的余数相等同乘k是依旧同余但余数余数不一样了变成了k倍了但是这里是整体乘k取模的时候是整体模k所以模完之后的余数仍然和原本的ab模m后的余数使用一样的因此这两个定理是不一样的。 若ak bk 模mk同余则a b 模 m同余 解释其实是上一条定理的推论但是要把模数也除因为这里的k并没有和模数mk互素因此也要都除。为什么不叫同除因为同的意思是同余的两个数的同除不关模数的事情但这里把模数也除了所以不叫同除原则了好牵强的解释。 把ak bk mk换成c d e,那么推论就是cd模e同余那么c/k d/k 模e/k同余 假如a 三 b (mod m1) a 三 b (mod m2) 那么求出m1,m2的最小公倍数为 G 则a 三 b (mod G) 同余。 PS这里的定理在后面的方程组中如果发现一个数字可以拆分成m1,m2mi…相乘并且两两互素的时候就可以减少计算量 总结 “同”的字眼一般是对同余符号两边的数字进行操作和模数没有关系 因此同乘k模m仍旧同余但余数若没有超出模数大小就变成了余数的k倍。同除就是能将两边的数提取公因数并且该公因数需要和模数互素才可以同除。 以下说的就是和模数有关的当两边的数和模数都能提取出一个公共的公因数就可以一并提取也可以无缘无故的同时乘一个k数进去涉及到模数改变的一般改变之后和原本的式子的余数一样。
完全剩余系
完全剩余系是由剩余类中的数字组成的。 是等于模m中 0~m-1的数字就是完全剩余系即两两不同余。
剩余类
当模m后每一个数字都不会大于m那么在0~m-1个数字中每个数字代表了一个剩余数字因为在模的世界里 比如1模m余数为1也就是剩余为1的一类当1加上模数m的时候再去模m后还是1所以余数为1的数字很多把这些数字统一起来叫余数为1的剩余类 设 C0C_0C0 代表余数为0的一类 C1C_1C1 代表余数为1的一类 C2C_2C2 代表余数为2的一类 C3C_3C3 代表余数为3的一类以此类推 这就是剩余类剩余类有m个范围是[0, m-1]
剩余类之间的关系 ①每个数字都同余 ②剩余类内的数字可以是无限大只要是余数和剩余类内其他数字同余即可 ③剩余类内任意取出一个数该数叫做该类的剩余
完全剩余系
当模m后我们在每一个剩余类中取出一个数字来组成一个整体那么该整体就叫做完全剩余系。
完全剩余系之间的关系 ①每个数字之间都不同余 ②每个数字模m后组成0~m-1的数字 ③该系中的数字可以无限大只要不和其他数字同余即可 完全剩余系的性质
若**(a,m) 1**设r0r_0r0,r1r_1r1,r2r_2r2…rmr_mrm为模m的一个完全剩余系 那么ar0r_0r0 b, ar1r_1r1 b, ar2r_2r2 b, … armr_mrm b, 仍然是模m的一个完全剩余系该性质完全就是应用了同余知识当a和m互素的时候就能够将原本的数字改变后仍和原来的数字是同余的所以在完全剩余系中都不同余的数字每一个数字改变后其实还是和原来的数字是一样的所以其实还是原来的剩余系没有改变仍旧是都不同余的数字只是数字本身进行了一些变化其他数字也会跟着变化所以剩余系还是那个剩余系。完全剩余系的应用 解释该定理是如何操作的 一随便找出两个互素的正整数的完全剩余系设两个数m1m_1m1m2m_2m2 二说明待会公式中x1x_1x1x2x_2x2 会分别 遍历 m1m_1m1m2m_2m2的完全剩余系 x1遍历m1x2遍历m2 三公式x1x_1x1×m2m_2m2 x2x_2x2×m1m_1m1 其中x1x_1x1x2x_2x2就开始遍历 四遍历得到的多个数字x1x_1x1×m2m_2m2 x2x_2x2×m1m_1m1 其实就是模m1m_1m1×m2m_2m2的完全剩余系。
❀简化剩余系❀
简化剩余系就是在完全剩余系中找出与模数m互素的剩余类将其留下来组成的整体就是简化剩余系。 举例模数为8的时候 C1C_1C1 C3C_3C3 C5C_5C5 就是模8的简化剩余系其他剩余类中的0 2 4都不是和8互素的
欧拉函数
模m的简化剩余系中的个数叫做欧拉函数ϕ\phiϕ(m) 其他运算和简化剩余系一样一些简单的运算后保证还是简化剩余系即可。
若p为素数ϕ(p)\phi(p)ϕ(p) p - 1若mn互素即(m,n) 1则ϕ\phiϕ(mn) ϕ\phiϕ(m)ϕ\phiϕ(n)若p为素数ϕ\phiϕ(pap^apa) pap^apa - pap^apa −^-− 1^11若p,q为素数并且n p×q则ϕ\phiϕ(n) (p-1)(q-1) 欧拉函数求解通式 设n为欧拉函数的参数 求出n的标准分解式n p1p_1p1a^aa1^11×p2p_2p2a^aa2^22×p3p_3p3a^aa3^33… 则ϕ\phiϕ(n) n × (1- 1/p1p_1p1 ) × (1- 1/p2p_2p2 ) × (1- 1/p3p_3p3 ) 欧拉函数求解的通式十分重要 逆元
设(a,m) 1a×a−a^-a−三 1 mod m a−a^-a−就是a的逆元相当于分数中的倒数一个数乘以他的倒数就等于1在同余中同理当一个数乘以逆元就同余1. 如何求逆元 对(a,m)使用欧几里德算法后使用裴蜀等式算出s和t也就是sa tm 1后很明显要找a的逆元就是s因为tm模m后是0只剩下sa 1所以逆元就是s
欧拉定理
欧拉定理必须要记住在后续解方程或者计算高次幂的数字时候能大大减少计算量。
aϕa^\phiaϕ(^((m^mm)^)) 三 1 (mod m) 费马小定理 apa^pap−^-−1^11 三 1 (mod p) 解释其实就是应用了欧拉定理中的方法当p是素数的时候ϕ(p)\phi(p)ϕ(p) p-1
