婚纱摄影网站设计模板,公司网站方案,软件开发属于技术服务吗,数据中台主要实现哪些功能文章目录 引言一、一维随机变量及其分布1.1 随机变量1.2 分布函数 二、随机变量常见类型及分布2.1 离散型随机变量2.2 连续型随机变量及概率密度函数 写在最后 引言
暑假接近尾声了#xff0c;争取赶一点概率论部分的进度。 一、一维随机变量及其分布
1.1 随机变量
设随机试… 文章目录 引言一、一维随机变量及其分布1.1 随机变量1.2 分布函数 二、随机变量常见类型及分布2.1 离散型随机变量2.2 连续型随机变量及概率密度函数 写在最后 引言
暑假接近尾声了争取赶一点概率论部分的进度。 一、一维随机变量及其分布
1.1 随机变量
设随机试验 E E E 的样本空间为 Ω \Omega Ω X X X 为定义于样本空间 Ω \Omega Ω 上的函数对于任意 w ∈ Ω w \in \Omega w∈Ω 总存在唯一确定的 X ( w ) X(w) X(w) 与之对应称 X ( w ) X(w) X(w) 为随机变量一般记为 X X X 。 随机变量一定的取值范围本质上就是随机事件若随机变量某个范围内取不到任何值本质上为不可能事件若某个范围包含了随机变量所有可能的取值本质上就是必然事件。 1.2 分布函数
设 X X X 为随机变量对任意的实数 x x x 称函数 F ( x ) P F(x)P F(x)P { X ≤ x X \leq x X≤x } 为随机变量 X X X 的分布函数。
其有如下四个性质
1 0 ≤ F ( x ) ≤ 1 ; 0 \leq F(x) \leq 1; 0≤F(x)≤1;
2 F ( x ) F(x) F(x) 是 x x x 的单调不减函数
3 F ( x ) F(x) F(x) 关于 x x x 右连续
4 F ( − ∞ ) 0 , F ( ∞ ) 1. F(-\infty)0,F(\infty)1. F(−∞)0,F(∞)1.
若有一个函数满足以上四个条件可称其为某个随机变量的分布函数。如 F ( 3 x − 1 ) F(3x-1) F(3x−1) 仍为分布函数但 F ( 1 − 3 x ) F(1-3x) F(1−3x) 不是分布函数当 x → ∞ x \to \infty x→∞ F ( 1 − 3 x ) F(1-3x) F(1−3x) 极限为 0 不为 1 F ( x 2 ) F(x^2) F(x2) 也不是分布函数因为当 x → ∞ x \to \infty x→∞ F ( x 2 ) F(x^2) F(x2) 极限为 1 不为 0 。 设随机变量 X X X 的分布函数为 F ( x ) F(x) F(x) 则 1 P P P { X a X a Xa } F ( a − 0 ) ; F(a - 0); F(a−0); 2 P P P { a X ≤ b a X\leq b aX≤b } F ( b ) − F ( a ) ; F(b)-F(a); F(b)−F(a); 3 P P P { a ≤ X b a \leq X b a≤Xb } F ( b − 0 ) − F ( a − 0 ) ; F(b - 0)-F(a-0); F(b−0)−F(a−0); 4 P P P { a ≤ X ≤ b a \leq X \leq b a≤X≤b } F ( b ) − F ( a − 0 ) ; F(b)-F(a-0); F(b)−F(a−0); 5 P P P { a X b a X b aXb } F ( b − 0 ) − F ( a ) ; F(b - 0)-F(a); F(b−0)−F(a); 6 P P P { X a X a Xa } F ( a ) − F ( a − 0 ) ; F(a)-F(a-0); F(a)−F(a−0); 二、随机变量常见类型及分布
2.1 离散型随机变量
设 X X X 为随机变量若 X X X 的可能取值是有限个或可列个称 X X X 为离散型随机变量。
设离散型随机变量 X X X 的可能取值为 x i ( i 1 , 2 , … ) x_i(i1,2,\dots) xi(i1,2,…) 其对应的概率为 P P P { X x i Xx_i Xxi } p i p_i pi 称 P P P { X x i Xx_i Xxi } p i p_i pi 或下表 为随机变量 X X X 的分布律。 离散型随机变量 X X X 的分布律满足 1 p i ≥ 0 ( i 1 , 2 , … ) . p_i \geq 0(i1,2,\dots). pi≥0(i1,2,…). 2 ∑ i 1 ∞ p i 1. \sum_{i1}^{\infty}p_i1. ∑i1∞pi1. 3分布函数 F ( x ) P F(x)P F(x)P { X ≤ x X \leq x X≤x } 为阶梯函数且 F ( x ) F(x) F(x) 的间断点即为随机变量 X X X 的可能取值。 什么是阶梯函数呢就是图像是像台阶那样的。举个例子记随机变量 X X X 为投掷一枚均匀的骰子朝上的点数则 X X X 可取 1 , 2 , 3 , 4 , 5 , 6 1,2,3,4,5,6 1,2,3,4,5,6 且 P P P { X i Xi Xi } 1 6 ( i 1 , 2 , … , 6 ) \frac{1}{6}(i1,2,\dots,6) 61(i1,2,…,6) 其分布律如下表所示 分布函数图像为 注意阶梯是先右再上的阶梯因为是离散的取值所以在两个取值之间的分布函数值应为前一个取值所对应函数值。
2.2 连续型随机变量及概率密度函数
设随机变量 X X X 的分布函数为 F ( x ) F(x) F(x) 若存在非负、可积的函数 f ( x ) f(x) f(x) 使得对任意实数 x x x 有 F ( x ) ∫ − ∞ x f ( t ) d t , F(x)\int_{-\infty}^xf(t)dt, F(x)∫−∞xf(t)dt, 称 X X X 为连续型随机变量函数 f ( x ) f(x) f(x) 为随机变量 X X X 的概率密度函数或概率密度。
连续型随机变量概率密度有如下结论
1 f ( x ) ≥ 0 ; f(x) \geq 0; f(x)≥0;
2 ∫ − ∞ ∞ f ( t ) d t 1 ; \int_{-\infty}^{\infty}f(t)dt1; ∫−∞∞f(t)dt1;
3分布函数 F ( x ) F(x) F(x) 为连续函数但不一定可导
4 P P P { X a Xa Xa } F ( a ) − F ( a − 0 ) 0 F(a)-F(a-0)0 F(a)−F(a−0)0 故连续型随机变量在任意一点处的概率为 0 。
5设分布函数为 F ( x ) F(x) F(x) 则概率密度函数为 f ( x ) { F ′ ( x ) , x 为 F ( x ) 的可导点 0 , x 为 F ( x ) 的不可导点 f(x) \begin{cases} F(x), x \text{为} F(x) 的可导点 \\ 0, x为F(x) 的不可导点\\ \end{cases} f(x){F′(x),0,x为F(x)的可导点x为F(x)的不可导点 6存在既不是离散型又不是连续型的随机变量如随机变量 X X X 的分布函数表达式为 F ( x ) { 0 , if x 0 x 2 , if 0 ≤ x 1 1 if x ≥ 1 F(x) \begin{cases} 0, \text{if } x 0 \\ \frac{x}{2}, \text{if } 0 \leq x 1 \\ 1 \text{if } x \geq1 \end{cases} F(x)⎩ ⎨ ⎧0,2x,1if x0if 0≤x1if x≥1 显然 F ( x ) F(x) F(x) 满足分布函数的四个特性但其不是阶梯函数所以 X X X 非离散型随机变量。又因为 F ( x ) F(x) F(x) 存在间断点所以 X X X 也非连续型随机变量其图像如下图所示。 写在最后
下一篇我们将介绍一些常见的随机变量分布。