彩票网站建设服务,沈阳高端网站建设公司,类似淘宝网站模板,做门户网站私活多少钱文章目录 概率论Ch1. 随机事件及其概率1.基本概念(1)随机试验、随机事件、样本空间(2)事件的关系和运算①定义#xff1a;互斥(互不相容)、对立②运算法则#xff1a;德摩根率 (3)概率的定义(4)概率的性质(5)概率计算排列组合 2.等可能概型1.古典概型 (离散)2.几何概型 (连续… 文章目录 概率论Ch1. 随机事件及其概率1.基本概念(1)随机试验、随机事件、样本空间(2)事件的关系和运算①定义互斥(互不相容)、对立②运算法则德摩根率 (3)概率的定义(4)概率的性质(5)概率计算排列组合 2.等可能概型1.古典概型 (离散)2.几何概型 (连续) 3.七大公式(1)逆事件概率公式(2)加法公式(3)减法公式(4)条件概率公式(5)乘法公式(6)全概率公式(7)贝叶斯公式 (先验概率) 4.独立性(1)事件的独立性(2)n重伯努利概型 (独立试验序列概型) 概率论 Ch1. 随机事件及其概率
1.基本概念 ①古典概型求概率 ②几何概型求概率 ③七大公式求概率 ④独立性 (1)随机试验、随机事件、样本空间
1.随机试验 E 2.随机事件 A、B、C ①必然事件 Ω P ( Ω ) 1 P(Ω)1 P(Ω)1 ②不可能事件 Ø P ( Ø ) 0 P(Ø)0 P(Ø)0 3.样本空间 ①样本点 ω 基本事件 ②样本空间 Ω样本点的全体组成的集合 (2)事件的关系和运算
①定义互斥(互不相容)、对立
(一) 关系包含、相等、相容、(互不相容)互斥、对立 (二) 运算和(并)、差、积(交)
(一) 事件的关系 1.包含 (1)概念 (2)性质 ① A ⊂ B A \subset B A⊂B则 P ( A ) ≤ P ( B ) P(A)≤P(B) P(A)≤P(B) ② A B ⊂ A AB\subset A AB⊂A且 A B ⊂ B AB\subset B AB⊂B即 P(AB)≤P(A)且P(AB)≤P(B)
(3)若事件C发生必然导致事件A与B同时发生则A、B、C事件关系为 C ⊂ A B C\subset AB C⊂AB 2.相等
3.相容 4.互不相容(互斥) (1)定义 若事件A,B互斥则 ①事件角度ABØ ②概率角度P(AB)0
(2)性质 ABØ则 A ⊂ B ‾ A\subset \overline B A⊂B P ( A ) ≤ P ( B ‾ ) P(A)≤P(\overline B) P(A)≤P(B) 5.对立对立事件、逆事件 ① A B Ø ABØ ABØ 且 A ∪ B Ω A∪BΩ A∪BΩ (即 A ˉ \bar{A} AˉB) ②P(AB)0 且 P(A)P(B)1 (二)事件的运算 1.和(并)A∪B 2.差$A-BA∩\overline{B} $ 3.积(交)A∩B 或 AB 例题112年14.
答案3/4 ②运算法则德摩根率
5.德摩根率(对偶律) 【长杠变短杠开口换方向】 (1) A ∪ B ‾ A ‾ ∩ B ‾ A ‾ B ‾ \overline{A∪B}\overline{A}∩\overline{B}\overline{A}\ \overline{B} A∪BA∩BA BA、B均不发生 (2) A B ‾ A ‾ ∪ B ‾ \overline{AB}\overline{A}∪\overline{B} ABA∪BA、B至少有一个不发生 方法转化为带并的来看含义 例题1 分析 A{甲畅销乙滞销}B∩C A ˉ B ∩ C ‾ B ‾ ∪ C ‾ \bar{A}\overline{B∩C}\overline{B}∪\overline{C} AˉB∩CB∪C甲滞销 或 乙畅销
答案C 例题2 法一推导 法二画图 (3)概率的定义
1.用频率去估计概率 2.概率的公理化定义 ①非负性 P ( A ) ≥ 0 P(A)≥0 P(A)≥0 ②规范性 P ( Ω ) 1 P(Ω)1 P(Ω)1 ③可列可加性任意可列个两两互不相容的事件 A 1 , A 2 , . . . , A n A_1,A_2,...,A_n A1,A2,...,An有 P ( A 1 ∪ A 2 ∪ . . . ∪ A n ) P ( A 1 ) P ( A 2 ) . . . P ( A n ) P(A_1∪A_2∪...∪A_n)P(A_1)P(A_2)...P(A_n) P(A1∪A2∪...∪An)P(A1)P(A2)...P(An) 【完备事件组】 (4)概率的性质
(1)有界性 对任意事件A有 0 ≤ P ( A ) ≤ 1 0≤P(A)≤1 0≤P(A)≤1。 注对于几何概型若P(A)0不能断言 AØ若P(A)1不能断言 AΩ 但反之则对若A是空集Ø则P(A)0若A是全集Ω则P(A)1。即一定有 P ( Ø ) 0 , P ( Ω ) 1 P(Ø)0,P(Ω)1 P(Ø)0,P(Ω)1。 (2)单调性 对于A,B两个事件若有 A ⊂ B A\subset B A⊂B则有 ①P(A)≤P(B) ②P(B-A)P(B)-P(A) (5)概率计算
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排列组合
排列组合符号 A n m A_n^m Anm C n m C_n^m Cnm公式 A n m n ( n − 1 ) . . . ( n − m − 1 ) A_n^mn(n-1)...(n-m-1) Anmn(n−1)...(n−m−1) C n m n ( n − 1 ) . . . ( n − m − 1 ) m ! C_n^m\dfrac{n(n-1)...(n-m-1)}{m!} Cnmm!n(n−1)...(n−m−1)关系 A n m A_n^m Anm C n m ⋅ m ! C_n^m·m! Cnm⋅m! 2.等可能概型
1.古典概型 (离散)
古典概型(离散)研究工具①排列组合 ②加法原理、乘法原理 ③直接数数 求法 (1)直接用定义求概率 P ( A ) k n P(A)\dfrac{k}{n} P(A)nk
(2)随机分配m个可辩质点放到n个盒子中 ①每个盒子可以放任意多个质点有 n m n^m nm 种放法 ②每个盒子只能放一个质点有 A n m n ( n − 1 ) . . . ( n − m 1 ) A_n^mn(n-1)...(n-m1) Anmn(n−1)...(n−m1) 种放法 (3)简单随机抽样
含义共有多少种不同的取法①先后有放回m个球先后有放回地取n次 m n m^n mn②先后无放回m个球先后无放回地取n次 A m n m ( m − 1 ) . . . ( m − n 1 ) A_m^nm(m-1)...(m-n1) Amnm(m−1)...(m−n1)③任取(一次性同时拿出)从n中一次性取m个球 C n m C_n^m Cnm 2.几何概型 (连续)
几何概型(连续)研究工具几何方法、微积分 P ( A ) S A 的几何度量 Ω 的几何度量 P(A)\dfrac{S_A的几何度量}{Ω的几何度量} P(A)Ω的几何度量SA的几何度量 几何度量长度、面积、体积 例题107年16. 几何概型
分析 法一直接观察使得 x-y绝对值小于0.5 显然概率应为 3 4 \dfrac{3}{4} 43 法二随机变量的概率
文字语言数学语言两个数之差的绝对值 ∣ X − Y ∣ \lvert X-Y\rvert ∣X−Y∣两个数之差的绝对值小于 1 2 \dfrac{1}{2} 21 ∣ X − Y ∣ 1 2 \lvert X-Y\rvert\dfrac{1}{2} ∣X−Y∣21两个数之差的绝对值小于 1 2 \dfrac{1}{2} 21的概率 P { ∣ X − Y ∣ 1 2 } P\{\ \lvert X-Y\rvert\dfrac{1}{2}\ \} P{ ∣X−Y∣21 }
则 P { ∣ X − Y ∣ 1 2 } P { − 1 2 X − Y 1 2 } P { − 1 2 Y − X 1 2 } P { x − 1 2 Y x 1 2 } P\{|X-Y|\dfrac{1}{2}\}P\{-\dfrac{1}{2}X-Y\dfrac{1}{2}\}P\{-\dfrac{1}{2}Y-X\dfrac{1}{2}\}P\{x-\dfrac{1}{2}Yx\dfrac{1}{2}\} P{∣X−Y∣21}P{−21X−Y21}P{−21Y−X21}P{x−21Yx21}
即在 0 x 1 , 0 y 1 0x1,0y1 0x1,0y1区域内落在 y x 1 2 yx\dfrac{1}{2} yx21 和 y x − 1 2 yx-\dfrac{1}{2} yx−21 之间的概率。 答案 3 4 \dfrac{3}{4} 43 3.七大公式
(1)逆事件概率公式 P ( A ‾ ) 1 − P ( A ) P(\overline A)1-P(A) P(A)1−P(A) (2)加法公式
1.任意事件 ①两事件和的概率 P ( A ∪ B ) P ( A ) P ( B ) − P ( A B ) P(A∪B)P(A)P(B)-P(AB) P(A∪B)P(A)P(B)−P(AB) ②三事件和的概率 P ( A ∪ B ∪ C ) P ( A ) P ( B ) P ( C ) − P ( A B ) − P ( B C ) − P ( A C ) P ( A B C ) P(A∪B∪C)P(A)P(B)P(C)-P(AB)-P(BC)-P(AC)P(ABC) P(A∪B∪C)P(A)P(B)P(C)−P(AB)−P(BC)−P(AC)P(ABC) ③四事件和的概率 P ( A ∪ B ∪ C ∪ D ) [ P ( A ) P ( B ) P ( C ) P ( D ) ] − [ P ( A B ) P ( A C ) P ( A D ) P ( B C ) P ( B D ) P ( C D ) ] [ P ( A B C ) P ( A B D ) P ( A C D ) P ( B C D ) ] − P ( A B C D ) P(A∪B∪C∪D)[P(A)P(B)P(C)P(D)]-[P(AB)P(AC)P(AD)P(BC)P(BD)P(CD)][P(ABC)P(ABD)P(ACD)P(BCD)]-P(ABCD) P(A∪B∪C∪D)[P(A)P(B)P(C)P(D)]−[P(AB)P(AC)P(AD)P(BC)P(BD)P(CD)][P(ABC)P(ABD)P(ACD)P(BCD)]−P(ABCD)
2.两两互不相容事件 互斥条件下的加法公式和的概率 概率的和 (3)减法公式 P ( A − B ) P ( A ) − P ( A B ) P ( A B ‾ ) P(A-B)P(A)-P(AB)P(A\overline{B}) P(A−B)P(A)−P(AB)P(AB) (4)条件概率公式
条件概率A发生条件下B发生的概率记为 P ( B ∣ A ) P(B|A) P(B∣A)前提要求P(A)0 【垂帘听政】 P ( B ∣ A ) P ( A B ) P ( A ) P(B|A)\dfrac{P(AB)}{P(A)} P(B∣A)P(A)P(AB) 注①条件概率也是概率概率的性质仍都满足 (5)乘法公式
① P ( A B ) P ( A ) ⋅ P ( B ∣ A ) P(AB)P(A)·P(B|A) P(AB)P(A)⋅P(B∣A)
② P ( A 1 A 2 A 3 ) P ( A 1 ) P ( A 2 ∣ A 1 ) P ( A 3 ∣ A 1 A 2 ) P(A_1A_2A_3)P(A_1)P(A_2|A_1)P(A_3|A_1A_2) P(A1A2A3)P(A1)P(A2∣A1)P(A3∣A1A2) 【上过台的到帘子后面】 (6)全概率公式
1.完备事件组任意两两互斥概率有可列可加性
2.全概率公式 【全集分解公式由因导果】 P ( B ) ∑ i 1 n P ( B A i ) P ( B A 1 ) P ( B A 2 ) . . . P ( B A n ) P ( A 1 ) P ( B ∣ A 1 ) P ( A 2 ) P ( B ∣ A 2 ) . . . P ( A n ) P ( B ∣ A n ) P(B) \sum\limits_{i1}^nP(BA_i)P(BA_1)P(BA_2)...P(BA_n)P(A_1)P(B|A_1)P(A_2)P(B|A_2)...P(A_n)P(B|A_n) P(B)i1∑nP(BAi)P(BA1)P(BA2)...P(BAn)P(A1)P(B∣A1)P(A2)P(B∣A2)...P(An)P(B∣An) 【谁去干的概率×干成功的概率】 例 P { Y ≤ y } P { X 1 } ⋅ P { Y ≤ y ∣ X 1 } P { X 2 } ⋅ P { Y ≤ y ∣ X 2 } P\{Y≤y\} P\{X1\}·P\{Y≤y|X1\} P\{X2\}·P\{Y≤y|X2\} P{Y≤y}P{X1}⋅P{Y≤y∣X1}P{X2}⋅P{Y≤y∣X2} 对y的取值进行分类讨论①y0 ②0≤y1 ③1≤y2 ④y2 (7)贝叶斯公式 (先验概率)
贝叶斯公式(逆概率公式执果索因)已知B发生了求是谁干的 P ( A k ∣ B ) P ( B A k ) P ( B ) P ( A k ) P ( B ∣ A k ) ∑ i 1 n P ( A i ) P ( B ∣ A i ) 全概率的某一项 全概率公式 P(A_k|B)\dfrac{P(BA_k)}{P(B)}\dfrac{P(A_k)P(B|A_k)}{\sum\limits_{i1}^nP(A_i)P(B|A_i)}\dfrac{全概率的某一项}{全概率公式} P(Ak∣B)P(B)P(BAk)i1∑nP(Ai)P(B∣Ai)P(Ak)P(B∣Ak)全概率公式全概率的某一项 在全概率时每个人干的可能性一般是等可能的。但当事件发生后每个人干的可能性就发生了变化。 即贝叶斯公式增加信息概率的大小可能要修正 例题1随机事件的概率 分析 德摩根律(对偶率) A C 包含的性质
D 逆事件概率公式 德摩根律(对偶率)
答案A 例题218年14. 条件概率、事件的独立性
分析关键是分析出P(AC(AB∪C))P(AC)
因为BCØ∴P(BC)0P(ABC)0 P ( A C ∣ A B ∪ C ) P ( A C ( A B ∪ C ) ) P ( A B ∪ C ) P ( A B C ∪ A C ) ) P ( A B ∪ C ) P ( A C ) ) P ( A B ) P ( C ) − P ( A B C ) P ( A ) P ( C ) ) P ( A ) P ( B ) P ( C ) 1 4 P(AC|AB∪C)\dfrac{P(AC(AB∪C))}{P(AB∪C)}\dfrac{P(ABC∪AC))}{P(AB∪C)}\dfrac{P(AC))}{P(AB)P(C)-P(ABC)}\dfrac{P(A)P(C))}{P(A)P(B)P(C)}\dfrac{1}{4} P(AC∣AB∪C)P(AB∪C)P(AC(AB∪C))P(AB∪C)P(ABC∪AC))P(AB)P(C)−P(ABC)P(AC))P(A)P(B)P(C)P(A)P(C))41 ∴ P ( C ) 1 4 ∴P(C)\dfrac{1}{4} ∴P(C)41 答案 1 4 \dfrac{1}{4} 41 例题315年7. 交与并、加法公式
分析交的概率大于等于并的概率
答案C 例题421年16. 全概率公式 条件概率 分析
答案 1 5 \dfrac{1}{5} 51 例题523李林六(三)16.
分析法1:特殊值 法2:正面解 答案2 例题6全概率公式
分析分两次全概率①抽验样本为正品 ②该箱通过验收
答案0.887 例题7贝叶斯公式
分析
答案 3 28 \dfrac{3}{28} 283 4.独立性
(1)事件的独立性
(1)数学定义事件A、B独立 ⇔ P ( A B ) P ( A ) ⋅ P ( B ) \Leftrightarrow P(AB)P(A)·P(B) ⇔P(AB)P(A)⋅P(B) 不可能事件Ø与任意事件独立 (2)可推得A、B独立条件下的条件概率公式 P ( A ∣ B ) P ( A ) P ( B ∣ A ) P ( B ) P(A|B)P(A)P(B|A)P(B) P(A∣B)P(A)P(B∣A)P(B) 【描述性定义结果不受影响 】 (3)n个事件相互独立、n个事件两两独立 例题1
分析 答案B (2)n重伯努利概型 (独立试验序列概型)
