学做分类网站,p2p金融网站建设,欧妮雅网页制作教程,会展网站建设情况在《傅里叶分析#xff08;1#xff09;》中#xff0c;讲述了连续信号的傅里叶分析方法#xff0c;本文讲述离散信号的傅里叶分析方法。
虽然电、声、光、机械振动等信号在物理上是连续函数#xff0c;但在实际工程中#xff0c;其通常为离散信号#xff0c;即若干离散…在《傅里叶分析1》中讲述了连续信号的傅里叶分析方法本文讲述离散信号的傅里叶分析方法。
虽然电、声、光、机械振动等信号在物理上是连续函数但在实际工程中其通常为离散信号即若干离散的数据点。对于离散信号傅里叶级数和傅里叶变换已经无法使用需要使用 DTFT离散时间傅里叶变换和 DFT离散傅里叶变换分析离散信号。 1 离散信号的来源
离散信号来源于对连续信号的采样。数学处理上离散信号为连续信号和采样函数sampling function的乘积 采样函数为基于狄拉克 δ 函数Dirac delta function表述的脉冲序列其定义如下 采样函数为周期函数其在非采样时刻的函数值为 0由此可得仅限采样时刻的离散数据点。 采样函数的图像图源维基百科 采样函数的傅里叶变换为频域上的采样函数其周期为 1/T 2 离散时间傅里叶变换discrete-time Fourier transformDTFT
根据前述采样方法可将离散信号 x{n} 视为连续函数除了采样点之外其他时刻函数值均为0。
傅里叶变换的卷积特性可表示为 利用傅里叶变换的卷积特性对 x{n} 进行傅里叶变换其结果即 DTFT 计算公式为 变换结果 X(ξ) 为连续周期函数其周期为 1/T即 X(ξ)X(ξn/T)。 由于 X(ξ) 为连续函数其逆变换可直接使用傅里叶逆变换的计算公式。对于周期函数可将积分区间从无穷大简化到一个周期内得到 DTFT 逆变换公式 其中积分区间可为任意的区间只需满足区间的长度为单个周期长度 1/T 即可。根据 n 取值的不同即可获得 x{n} 各项取值。 对于纯实数的信号 x{n}其变换结果 X(ξ) 在正频率和负频率的幅值为对称关系。 3 离散傅里叶变换discrete Fourier transformDFT
虽然 DTFT 表明了离散信号的频谱分析方法但是得到的频谱是连续函数对基于程序的实际信号分析造成很大困难。
引用 DTFT 思路将 x{n} 视为连续函数。根据连续信号的频谱特征周期函数的频谱为离散点由此可对频谱进行程序处理。
将包含 N 个数据点的有限数据集 x{n}从 x{0} 至 x{N-1}进行周期延拓即 x{n} x{nk*T*N)}可使之成为在无穷大区间均有定义的周期函数其周期为 T*N。由于 x{n} 的周期性对 x{n} 进行DTFT 仅需在单周期内即可进行。
单周期内的 DTFT 为 DFT其计算公式为 很显然X{k} 在区间 [0, N-1] 只有 N 个取值且周期为 N。
同理在频域的单周期内进行 DTFT 逆变换即可得到 DFT 逆变换计算公式 4 重要问题
4.1 频谱的类型
通常而言时域信号 x{n} 来源为传感器信号、A/D电路转换等其表示的物理量通常为可直接测量的物理量如速度、电流、温度等。
实际应用中频谱通常分为幅值谱amplitude spectrum和功率谱power spectrum两类。幅值谱表示与功率的平方根成比例的物理量如速度、电流、电压等功率谱表示功率或与功率成比例的物理量如光强度、声强度等。 功率谱示意图图源mathworks.com 幅值谱和功率谱分别定义如下 4.2 频谱范围与精度
对于纯实数函数在正数范围内DFT 可分析的频率范围为 其中t 为采样总时间fs 为采样频率。
由 DFT 周期延拓的操作思路即可得信号的基频为采样总时间对应的频率其他所有频率都高于基频。根据奈奎斯特采样定理Nyquist sampling theorem离散信号可分析的频谱最高频率为采样频率的一半。对于更高频率部分DFT 已无法分析。 DFT 频谱的频率分辨率为 其中 N 为信号的数据点数量。 4.2 数据处理与窗函数
对离散信号的周期延拓通常会在信号首尾两端形成较大的不连续。信号在时域的不连续会导致频谱泄露spectral leakage即人为形成某些本不存在的谐波。
通过窗函数window function对离散信号进行处理使信号首尾两端的幅值逐步降低可降低信号在两端的不连续性。
通过窗函数处理后的信号 y{n} 和原始信号 x{n} 之间满足 其中 w{n} 为窗函数。 窗函数应用效果对比图源《Digital Signal Processing Fundamentals and Applications》作者 Li Tan 常用的窗函数包括三角、Hamming、Hanning等。
若信号是宽带信号即不存在很明显的频域尖峰可无需窗函数处理。Hanning 窗函数适用于多数常规问题可作为通用的窗函数。
Hanning 窗函数表达式为 5 DFT 和 FFT 的关系
快速傅里叶变换Fast Fourier TransformFFT是 DFT 的一种计算方法。FFT 本质上是利用其它替代计算方式避免根据 DFT 的定义直接计算 DFT从而加快计算速度节约硬件资源。
FFT 当前最常用方法为 Cooley–Tukey 方法。许多工程计算软件均有 FFT 相关功能直接导入数据序列进行分析即可。 6 总结
对1、2文的重点进行总结
傅里叶级数和傅里叶变换表述了连续信号频谱分析方法DTFT 表述了无限多样本的离散信号频谱分析方法DFT 表述了有限多样本的离散信号频谱分析方法只有 DFT 可直接用于程序计算使用 FFT 可加快 DFT 计算速度
