360极速怎么屏蔽网站,全面了解网站开发,聊城网站建设工作室,快手自媒体平台文章目录 一、多项式环的定义二、多项式环的性质1. 多项式加法2. 多项式乘法3. 满足的运算规律4. 次数5. 单位元 三、剩余多项式环#xff08;商多项式环#xff09;四、有限多项式环五、多项式环的性质与特性1. 子环与理想2. 不可约性和素性3. 有限生成性 一、多项式环的定义… 文章目录 一、多项式环的定义二、多项式环的性质1. 多项式加法2. 多项式乘法3. 满足的运算规律4. 次数5. 单位元 三、剩余多项式环商多项式环四、有限多项式环五、多项式环的性质与特性1. 子环与理想2. 不可约性和素性3. 有限生成性 一、多项式环的定义 多项式环是抽象代数中一种重要的代数结构基于一个环 R通常是交换环构造出关于一个或多个未知元如 x,y,z的 “多项式” 集合并在其上定义加法和乘法运算使其形成一个 新的环。 设 R 是一个环通常是交换环可能带有单位元 1x 是一个形式上的未知元变量。R[x] 是 R 上 关于 x 的 所有多项式构成的集合。一个多项式 f ( x ) ∈ R [ x ] f(x) \in R[x] f(x)∈R[x] 的形式为 f ( x ) a 0 a 1 x a 2 x 2 . . . a n x n f(x) a_0 a_1x a_2x^2 \ ...\ a_nx^n f(x)a0a1xa2x2 ... anxn其中 a 0 , a 1 , a 2 , . . . , a n ∈ R a_0,a_1,a_2,...,a_n \in R a0,a1,a2,...,an∈Rn 是非负整数 可以是有限的也可以是无限的但通常是有限多项式其中 a i a_i ai 称为 i 次项的系数 x i x^i xi 成为 i 次项如果最高次项的系数 a n ≠ 0 a_n \neq 0 an0则 n 称为 f(x) 的次数degree记作 d e g f ( x ) n deg f(x) n degf(x)n。 二、多项式环的性质
1. 多项式加法 两个多项式按对应次数的系数相加例如 ( a 0 a 1 x . . . a n x n ) ( b 0 b 1 x . . . b n x n ) ( a 0 b 0 ) ( a 1 b 1 ) x ( a 2 b 2 ) x 2 . . . ( a n b n ) x n (a_0a_1x...a_nx^n)(b_0b_1x...b_nx^n)(a_0b_0)(a_1b_1)x(a_2b_2)x^2...(a_nb_n)x^n (a0a1x...anxn)(b0b1x...bnxn)(a0b0)(a1b1)x(a2b2)x2...(anbn)xn
2. 多项式乘法 两个多项式按多项式乘法规则相乘例如 ( a 0 a 1 x . . . a n x n ) ⋅ ( b 0 b 1 x . . . b m x m ) c 0 c 1 x . . . c n m x n m (a_0a_1x...a_nx^n) \cdot (b_0b_1x...b_mx^m)c_0c_1x...c_{nm}x^{nm} (a0a1x...anxn)⋅(b0b1x...bmxm)c0c1x...cnmxnm其中 c k ∑ i , j i j k a i b j c_k\sum_{i,j}^{ijk}a_ib_j ck∑i,jijkaibj。
3. 满足的运算规律 R[x] 继承了 R 的交换性如果 R 是交换环并满足结合律和分配律。
4. 次数 多项式 f(x) 的次数 degf(x) 是 f(x) 中最高非零项的指数。零多项式所有系数为 0的次数通常定义为 −∞ 或未定义视上下文而定以避免矛盾。
5. 单位元 如果 R 带有 单位元 1则 R[x] 的 加法单位元 是 零多项式 0所有系数为 0乘法单位元 是常数多项式 10 次项的系数为 1其他系数为 0。 三、剩余多项式环商多项式环 多项式剩余换的表示为 Z [ x ] / ( ϕ ( x ) ) { f ( x ) ∑ i 0 n − 1 f i x i ∣ f i ∈ Z } Z[x]/(\phi(x))\{f(x)\sum_{i0}^{n-1}f_ix^i\ |\ f_i \in Z\} Z[x]/(ϕ(x)){f(x)i0∑n−1fixi ∣ fi∈Z}其中 Z[x] 表示整数多项式环。 ϕ ( x ) \phi(x) ϕ(x) 一般只取 x n 1 x^n1 xn1。 实际上就是对一个多项式进行求模例如当取 n 4 n4 n4 即 ϕ ( x ) x 4 1 \phi(x)x^41 ϕ(x)x41 时 f ( x ) m o d ϕ ( x ) x 5 x 3 1 m o d ( x 4 1 ) x ( x 4 1 ) x 3 − x 1 m o d ( x 4 1 ) x 3 − x 1 f(x)\ mod\ \phi(x)\\ x^5x^31\ mod\ (x^41)\\x(x^41)x^3-x1\ mod\ (x^41)\\x^3-x1 f(x) mod ϕ(x)x5x31 mod (x41)x(x41)x3−x1 mod (x41)x3−x1 四、有限多项式环 有限多项式环实际上就是剩余多项式环再对系数取模表示为 R q n Z q [ x ] / ( x n 1 ) R_q^nZ_q[x]/(x^n1) RqnZq[x]/(xn1)其中包含的元素个数为 q n q^n qn。 五、多项式环的性质与特性
1. 子环与理想 R[x] 中的子环包括 常数多项式子环即 R 本身。 理想如主理想在多项式环中有重要作用例如 (x) 是 R[x] 中的一个理想包含所有 x 的倍数多项式。
2. 不可约性和素性 在域 F 上的多项式环 F[x] 中多项式可以分解为不可约多项式的乘积这类似于整数的质因数分解。
3. 有限生成性 如果 R 是诺特环Noetherian ring则 R[x] 也是诺特环这在代数几何中有重要应用。
