海南省建设银行官方网站招聘,网站正在升级建设中代码,uncode wordpress,网页设计培训 多少钱原创首发于CSDN#xff0c;禁止转载#xff0c;谢谢#xff01; 文章目录 微积分的底层逻辑探究一篇网络文章《数学分析的核心——不等式》高中数学与大学数学的脱节#xff5c;脱节的实质含义#xff5c;高中与大学的衔接数理书籍推荐 我个人所认为的数学分析的根基更新时…原创首发于CSDN禁止转载谢谢 文章目录 微积分的底层逻辑探究一篇网络文章《数学分析的核心——不等式》高中数学与大学数学的脱节脱节的实质含义高中与大学的衔接数理书籍推荐 我个人所认为的数学分析的根基更新时间记录 微积分的底层逻辑探究
矩阵连通代数代数连通方程方程连通完全线性的方程点积与叉积则完全建立在线性空间之上。
解析几何是“矩阵、代数、方程”三者共同的地基。 无穷维解析几何是泛函分析另外一个大的推广是代数几何。代数几何里面包含了许多函数论与拓扑学的内容。
极限的根基是不等式、实数理论。实数 R R R包含有理数 Q Q Q与无理数一整根数轴是“稠密”的上面没有空隙。有理数与无理数的构造涉及近似不足与近似过剩的不等式组。解析几何 极限 微积分e.g.麻省理工数理本科教材《微积分与解析几何》、《马同学图解微积分》上下两册。解析几何 向量 线性代数e.g.《线性代数的几何意义》任广千、《马同学图解线性代数》。解析几何 向量 代数结构 高等代数e.g.《高等代数》上、下和《高等代数学习指导书》北京大学数学教授蓝以中先生。解析几何 复数 极坐标与参数方程 复变函数e.g.《复变函数及其应用》
作为一个毕业多年后现今正在重新学数学的一条素质教育的漏网之鱼个人的体会是这中间的学科绝对是不能跳级的。绝对可以确切地说大学院校里上来直接学高等代数相当于在学习阶梯上直接跳过了基础的两门数理科目——解析几何、线性代数——前者是地基后者是桥梁。国内大学院校绝大多数的大一新生在学习数学分析、高等代数这两门科的课程时因不合理的科目学习计划安排而痛苦挣扎的不在少数。 一篇网络文章《数学分析的核心——不等式》
数学分析的核心是不等式而代数是等式。
常言道“数学分析是不等式而代数是等式。”这是学习分析和代数很久以后才能体会得到的。我们从数学分析和高等代数的角度来浅谈这句话的含义。我们先说为什么分析是不等式
数学分析是伊普西隆——艾塔 e p s i l o n epsilon epsilon— e t a eta eta语言导出的体系。从实数系 R R R 的建立开始走向实数系基本定理再导出各个基本定理。整个体系是由十九世纪的伊普西隆——艾塔语言贯穿始终的。
回顾数学分析的每一块内容。先是极限论主要为数列极限、函数极限。极限是由伊普西隆语言定义的我们证明极限就是设法证明一个式子和极限这个数的距离是任意小 e p s i l o n epsilon epsilon也就是小于伊普西隆。既然是证小于中间就必然要经历一连串的不等式放缩。
在二十四册的数学基础丛书中的《有理数与无理数》一书中有以下内容
手动开无理数 2 \sqrt{2} 2 运用不等式组表示 2 \sqrt{2} 2 它大于“不足近似值”小于“过剩近似值”。随着小数点后的位数不断增加由此可以形成一连串以 2 \sqrt{2} 2 为中心的无限不等式组实数理论之柯西序列在数轴上表示 2 \sqrt{2} 2 本质上是以有理数来逼近无理数但这个精度即小数点后面的位数可以无限拉高尝试使用一元多项式环的定义来区分“代数数”与“超越数”即若可以用形如 c n x n c n − 1 x n − 1 c n − 2 x n − 2 . . . c 1 x c 0 0 c_nx^nc_{n-1}x^{n-1}c_{n-2}x^{n-2}...c_1xc_00 cnxncn−1xn−1cn−2xn−2...c1xc00 的整数系代数方程表达出来则为代数数不能就是超越数。无理数 2 \sqrt{2} 2 本质上是一个超越数它不能用含未知数 x x x 的整数系代数方程式表达出来连分数表示无理数 2 \sqrt{2} 2 …………
再是微分学和积分学但是微分学的本质还是极限毕竟导数就是用极限定义的。而积分学用黎曼和的极限定义这也是极限。
后面再是级数特殊的数列极限。函数项级数特殊的级数或者是可以看成二元的数列。再是多元微分学、多元积分学分别是一元微分学和一元积分学的延申本质上还是极限。
就是因为数学分析都是极限而极限的定义就是不等式所以你会发现几乎数学分析里所有的东西都是不等式。再后面其它的分析学如复分析实分析等等都是把数学分析的概念进行了推广但是本质还是在数学分析的框架下进行的那自然脱不了不等式的束缚。
我们再说说为什么代数是等式
高等代数的本质是不是矩阵矩阵或者更一般的代数对象都是没有比较关系的。你有办法比较两个矩阵的大小吗不能。甚至你连比较两个复数的大小都不能。
代数就是一点一点把数学定义抽象化那么自然会出现大量不可比较的数学对象除非你能够定义良好的序关系但由于太过于抽象定义往往很不自然也没多大意义。
话说回矩阵这一最基本的代数对象虽然没办法比较大小但是我们可以做运算最基本的如四则运算并且这定义出来是具有非常多良好性质的。这就造就了代数对象之间可以做一些等式的运算了。这种等式运算也是贯彻代数学始终的。
总的来说就是因为代数对象太过于抽象没办法比较只能做等式运算。而分析对象基本都是看得见摸得着有办法比较的数所以往往都是不等式。当然这并不是说分析绝对都是不等式代数绝对都是等式仅仅是一个比较宽泛的现象罢了。 高中数学与大学数学的脱节
脱节的实质含义
大学的数理课程与高中的内容是脱节的大学的授课老师基本会默认大一新生在开学之前就已经掌握了大一数理课的前置内容如反三角函数、极坐标与参数方程、不等式、整式、有理数与无理数、基本的复数概念等等但根据笔者出校门后六七年的所见所思事实并非如此。因为现今国内的高中学校不讲授基本的微积分、线性代数、群论的相关知识导致大一新生入学就浪费了一个学期的时间去学习基本的知识概念而这对于一二线城市的一部分孩子特别是常年参加数学、物理竞赛的高校生而言他她们在高中就已经提前初步学习了一遍。 如果读者自己搜索或者购买过上世纪70年代、80年代、90年代的老教材如高中数学甲种本六册、高中物理甲种本三册、小平邦彦先生写的四册高中生数学教材、24册数学基础知识丛书这些书目都初步涉及了基本的微积分、线性代数、矩阵运算的知识内容。 出于数学知识连贯和未来大学科目学习顺利过渡的角度考虑笔者认为高三学生在高考后休息几天或者一个星期之后就应该去学习以下学科的初步知识
微积分线性代数群论集合论点集拓扑先学集合论力学电磁学微分方程 ……
高中与大学的衔接数理书籍推荐
《高中大学数学衔接》周子翔《高考导数探秘》董晟渤作者是北大的数学系博士在读生早年有数学竞赛背景今年应该不超过25岁。《从初等数学到高等数学卷一、卷二》彭翕成、《大学与中学数学衔接教程》卢兴江、黄正达、贾厚玉、姜海益《高等数学基础中学数学内容补充与数学概念和思维方法补充》苏德矿、余继光铭师道作品系列六册【《五章算经》、《高数视角下的的导函数论》、《高数视角下的二次曲线》、《高中数学方法原本三卷本》】 我个人所认为的数学分析的根基
“几何、代数、三角、不等式、初等数论、集合论、多项式理论、组合、函数方程”这里的九个模块我认为甚至还可以再加一个“群论”。高中生其实已经可以去学群论了据我了解很多海外的数学系、物理系的学生在高中时期就已经初步学习了微积分、群论这不是什么困难的科目学习之后对于高中生而言反而有更高维度的视角。
我见了太多太多的大学生学完高等数学数学分析之后只会计算几道数学题遇到脱离计算套路的高数题目就无从下手不知所措对以上的根基内容可谓是一塌糊涂。对于考研而言也是如此大量的计算题考的不仅仅是速度更是考验一个人根基学得扎实不扎实可惜大部分考研生困于计算的藩篱没有进行系统的基础科目的学习这样子只会注定无缘后续高等学府的研究生教育。 更新时间记录
文章的内容模块划分完毕内容初步建立「2024.10.17 15:42:」书写各个模块的具体内容「2024.10.22 17:50」增加了高中大学数学衔接模块含14本书籍。「2024.10.27 18:01」在“高中数学与大学数学的脱节”一节中增加了“脱节的实质含义”一小节内容「2024.11.6 10:15」在“ 一篇网络文章《数学分析的核心——不等式》”一节中博主个人增加了五个等价表达无理数 2 \sqrt{2} 2 的方法「2024.11.6 10:36」删除了网络开源书籍《求极限大法》的个人评论这本书是一本优秀的学习极限的奠基之作可放在以后介绍。「2024.11.6 10:40」增加“我个人所认为的数学分析的根基”一节。「2024.11.6 11:03」检查了文章全文点击“发布文章按键”。「2024.11.6 11:52」审核通过后手机APP上看了一下文章的排版发现有几处细节实在不能忍中饭后打开电脑网页端在排版方面进行了几处修改。「2024.11.6 12:39」 P.S.该篇文章中涉及到具体的书目名单有二十一本。七年了从博主2018年4月份、5月份退学算起再过几个月就要满七年了时间呀过得真快呀。七年七年这是能再读一次高中一次大学本科、两个本科、两个研究生、一个博士有余的时间段呀。人是不是都在年轻的时候都懵懂无知呢这放在我身上也许是的吧。好多事情真的只有长大了才知道才知道呀这里面也包括了知识的阶梯。但这本应该是在学校就该学习到的呀该学习到的呀「2024.11.6 11:49」
