网店 网站建设策划书,企业网站源码 thinkphp,如何创建自己的微信公众号,html5 网站 适配手机文章目录 一、参数估计量的评价标准1.1 无偏性1.2 有效性1.3 一致性 二、一个正态总体参数的双侧区间估计2.1 对参数 μ \mu μ 的双侧区间估计 三、一个正态总体的单侧置信区间四、两个正态总体的双侧置信区间写在最后 一、参数估计量的评价标准
1.1 无偏性
设 X X X 为总… 文章目录 一、参数估计量的评价标准1.1 无偏性1.2 有效性1.3 一致性 二、一个正态总体参数的双侧区间估计2.1 对参数 μ \mu μ 的双侧区间估计 三、一个正态总体的单侧置信区间四、两个正态总体的双侧置信区间写在最后 一、参数估计量的评价标准
1.1 无偏性
设 X X X 为总体 ( X 1 , X 2 , ⋯ , X n ) (X_1,X_2,\cdots ,X_n) (X1,X2,⋯,Xn) 为来自总体 X X X 的简单随机样本 θ \theta θ 为未知参数设 θ ^ φ ( X 1 , X 2 , ⋯ , X n ) \widehat{\theta}\varphi(X_1,X_2,\cdots,X_n) θ φ(X1,X2,⋯,Xn) 为参数 θ \theta θ 的一个点估计量若 E ( θ ^ ) θ E(\widehat{\theta})\theta E(θ )θ 称 θ ^ \widehat{\theta} θ 为参数 θ \theta θ 的无偏估计量。
【例】 设总体 X X X 的密度函数为 f ( x ) { 2 x / θ 2 0 x θ 0 e l s e f(x)\begin{cases} 2x/\theta^2 0x\theta \\ 0 else\end{cases} f(x){2x/θ200xθelse ( X 1 , X 2 , ⋯ , X n ) (X_1,X_2,\cdots,X_n) (X1,X2,⋯,Xn) 为来自总体 X X X 的简单随机样本。
1求参数 θ \theta θ 的矩估计量2求参数 θ \theta θ 的最大似然估计量3矩估计量是否为无偏估计。
解 1 E ( X ) ∫ − ∞ ∞ x f ( x ) d x 2 θ / 3 E(X)\int_{-\infty}^\infty xf(x)dx2\theta/3 E(X)∫−∞∞xf(x)dx2θ/3 令 2 θ / 3 X ‾ 2\theta/3\overline{X} 2θ/3X 则可得矩估计量 θ ^ 3 X ‾ 2 . \widehat{\theta}\frac{3\overline{X}}{2}. θ 23X. 2构造似然函数 L ( θ ) f ( x 1 ) f ( x 2 ) ⋯ f ( x n ) 2 n θ 2 n x 1 x 2 ⋯ x n ( 0 x i θ , i 1 , 2 , ⋯ , n ) . d ln L d θ − 2 n θ 0. L(\theta)f(x_1)f(x_2)\cdots f(x_n)\frac{2^n}{\theta^{2n}}x_1x_2\cdots x_n(0x_i\theta,i1,2,\cdots,n).\\ \frac{d\ln L}{d\theta}-\frac{2n}{\theta}0. L(θ)f(x1)f(x2)⋯f(xn)θ2n2nx1x2⋯xn(0xiθ,i1,2,⋯,n).dθdlnL−θ2n0. 可知 L ( θ ) L(\theta) L(θ) 是 θ \theta θ 的减函数因此最大似然估计量 θ ^ max { X 1 , X 2 , ⋯ , X n } \widehat{\theta}\max\{X_1,X_2,\cdots,X_n\} θ max{X1,X2,⋯,Xn} 。
3 E ( θ ^ ) 3 / 2 ⋅ E ( X ‾ ) 3 / 2 ⋅ 2 θ / 3 θ E(\widehat{\theta})3/2\cdot E(\overline{X})3/2\cdot2\theta/3\theta E(θ )3/2⋅E(X)3/2⋅2θ/3θ 故是无偏估计量。
1.2 有效性
设 X X X 为总体 ( X 1 , X 2 , ⋯ , X n ) (X_1,X_2,\cdots ,X_n) (X1,X2,⋯,Xn) 为来自总体 X X X 的简单随机样本 θ \theta θ 为未知参数设 θ ^ 1 , θ ^ 2 \widehat{\theta}_1,\widehat{\theta}_2 θ 1,θ 2 都是参数 θ \theta θ 的无偏估计量若 D ( θ ^ 1 ) D ( θ ^ 2 ) D(\widehat{\theta}_1)D(\widehat{\theta}_2) D(θ 1)D(θ 2) 称 θ ^ 1 \widehat{\theta}_1 θ 1 为更有效的参数估计量。
1.3 一致性
设 X X X 为总体 ( X 1 , X 2 , ⋯ , X n ) (X_1,X_2,\cdots ,X_n) (X1,X2,⋯,Xn) 为来自总体 X X X 的简单随机样本 θ \theta θ 为未知参数设 θ ^ φ ( X 1 , X 2 , ⋯ , X n ) \widehat{\theta}\varphi(X_1,X_2,\cdots,X_n) θ φ(X1,X2,⋯,Xn) 为参数 θ \theta θ 的一个估计量若对任意 ϵ 0 \epsilon0 ϵ0 有 lim n → ∞ P { ∣ θ ^ − θ ∣ ϵ } 1 \lim_{n\to\infty}P\{|\widehat{\theta}-\theta|\epsilon\}1 n→∞limP{∣θ −θ∣ϵ}1 称 θ ^ \widehat{\theta} θ 作为 θ \theta θ 的估计量具有一致性或相合性。 二、一个正态总体参数的双侧区间估计
前面我们所学的两种方法为点估计法即只能得到一个值但实际上我们并非需要那么精确况且点估计出来也不一定好因此我们最好是估计一个区间范围。
2.1 对参数 μ \mu μ 的双侧区间估计
设 X ∼ N ( μ , σ 2 ) X \sim N(\mu,\sigma^2) X∼N(μ,σ2) 为总体 ( X 1 , X 2 , ⋯ , X n ) (X_1,X_2,\cdots ,X_n) (X1,X2,⋯,Xn) 为来自总体 X X X 的简单随机样本 0 α 1 0\alpha1 0α1 求参数的置信度为 1 − α 1-\alpha 1−α 的双侧置信区间。
1. 参数 σ 2 \sigma^2 σ2 已知
对 X ‾ \overline{X} X 标准化为标准正态分布令其在 − z α 2 -z_{\alpha\over 2} −z2α 和 z α 2 z_{\alpha\over 2} z2α 内的概率为 1 − α 1-\alpha 1−α可求出置信区间为 ( X ‾ − σ n z α 2 , X ‾ σ n z α 2 ) \bigg(\overline{X}-\frac{\sigma}{\sqrt{n}}z_{\alpha\over2},\overline{X}\frac{\sigma}{\sqrt{n}}z_{\alpha\over2}\bigg) (X−n σz2α,Xn σz2α) 2. 参数 σ 2 \sigma^2 σ2 未知
则利用 t t t 分布即取 X ‾ − μ S n ∼ t ( n − 1 ) \frac{\overline{X}-\mu}{\frac{S}{\sqrt{n}}}\sim t(n-1) n SX−μ∼t(n−1) 令其在 ( − t α 2 ( n − 1 ) , t α 2 ( n − 1 ) ) (-t_{\frac{\alpha}{2}}(n-1),t_{\frac{\alpha}{2}}(n-1)) (−t2α(n−1),t2α(n−1)) 的概率为 1 − α 1-\alpha 1−α 可计算出置信区间为 ( X ‾ − S n t α 2 ( n − 1 ) , X ‾ S n t α 2 ( n − 1 ) ) \bigg(\overline{X}-\frac{S}{\sqrt{n}}t_{\alpha\over2}(n-1),\overline{X}\frac{S}{\sqrt{n}}t_{\alpha\over2}(n-1)\bigg) (X−n St2α(n−1),Xn St2α(n−1)) 此外还有对 σ 2 \sigma^2 σ2 的区间估计汇总成下表 三、一个正态总体的单侧置信区间
其实单侧也就是双侧的区间取一端如估计 μ \mu μ 且 σ 2 \sigma^2 σ2 已知单侧置信区间为 ( X ‾ − σ n z α 2 , ∞ ) , ( − ∞ , X ‾ σ n z α 2 ) \bigg(\overline{X}-\frac{\sigma}{\sqrt{n}}z_{\alpha\over2},\infty\bigg),\bigg(-\infty,\overline{X}\frac{\sigma}{\sqrt{n}}z_{\alpha\over2}\bigg) (X−n σz2α,∞),(−∞,Xn σz2α) 其余以此类推。
四、两个正态总体的双侧置信区间
汇总成表 其中 S w ( m − 1 ) S 1 2 ( n − 1 ) S 2 2 m n − 2 S_w\frac{(m-1)S_1^2(n-1)S_2^2}{mn-2} Swmn−2(m−1)S12(n−1)S22 写在最后
看了下大纲对区间估计的概念和一个、两个正态总体的置信区间公式作了理解要求后期抽时间记忆记忆。
