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1. 树型结构
概念
树的表示形式
编辑
2. 二叉树#xff08;重点#xff09;
2.1 概念
2.2 二叉树的性质
2.3 二叉树的存储
2.4 二叉树的遍历
前中后序遍历
层序遍历#xff1a;
2.5二叉树的基本操作 本篇主要理解树和二叉树相关概念#xff0c;二叉树遍…目录
1. 树型结构
概念
树的表示形式
编辑
2. 二叉树重点
2.1 概念
2.2 二叉树的性质
2.3 二叉树的存储
2.4 二叉树的遍历
前中后序遍历
层序遍历
2.5二叉树的基本操作 本篇主要理解树和二叉树相关概念二叉树遍历及基本操作。 1. 树型结构
树是一种非线性的数据结构它是由nn0个有限结点组成一个具有层次关系的集合。把它叫做树是因为它看起来像一棵倒挂的树也就是说它是根朝上而叶朝下的。它具有以下的特点
有一个特殊的结点称为根结点根结点没有前驱结点。除根结点外其余结点被分成M(M 0)个互不相交的集合T1、T2、......、Tm其中每一个集合Ti (1 i m) 又是一棵与树类似的子树。每棵子树的根结点有且只有一个前驱可以有0个或多个后继树是由递归定义的。 树与非树的区分点
树形结构中子树之间不能有交集否则就不是树形结构树形结构中除根结点外每个节点有且仅有一个父节点否则就不是树形结构树形结构中一颗N个结点的树有N-1条边否则就不是树形结构
1.1概念
树型结构里有非常多的概念多用用就记住了 结点的度 一个结点含有子树的个数称为该结点的度 如上图 A 的度为3 树的度 一棵树中所有结点度的最大值称为树的度 如上图树的度为3 叶子结点或终端结点 度为 0 的结点称为叶结点 如上图J F K L 等节点为叶结点 双亲结点或父结点 若一个结点含有子结点则这个结点称为其子结点的父结点 如上图 A 是 B 的父结点 孩子结点或子结点 一个结点含有的子树的根结点称为该结点的子结点 如上图 B 是 A 的孩子结点 根结点 一棵树中没有双亲结点的结点如上图 A 结点的层次 从根开始定义起根为第 1 层根的子结点为第 2 层以此类推 树的高度或深度 树中结点的最大层次 如上图树的高度为 4 树的以下概念只需了解在看书时只要知道是什么意思即可 非终端结点或分支结点 度不为 0 的结点 如上图 B 、 C 、 D 、 E... 等节点为分支结点 兄弟结点 具有相同父结点的结点互称为兄弟结点 如上图 B 、 C 是兄弟结点 堂兄弟结点 双亲在同一层的结点互为堂兄弟如上图G H 互为兄弟结点 结点的祖先 从根到该结点所经分支上的所有结点如上图 A 是所有结点的祖先 子孙 以某结点为根的子树中任一结点都称为该结点的子孙。如上图所有结点都是 A 的子孙 森林 由 m m0 棵互不相交的树组成的集合称为森林 1.2树的表示形式 树结构相对线性表就比较复杂了要存储表示起来就比较麻烦了实际中树有很多种表示方式如 双亲表示法 孩子表示法 、 孩子双亲表示法 、 孩子兄弟表示法 等等。我们这里就简单的了解其中最常用的 孩子兄弟表示法 。 class Node { int value ; // 树中存储的数据 Node firstChild ; // 第一个孩子引用 Node nextBrother ; // 下一个兄弟引用 } 结构图 树的应用 文件系统管理目录和文件 2. 二叉树重点 2.1 概念 顾名思义二叉树是度不大于2的树二叉树是结点的一个有限集合该集合 或者为空 或者是由一个根节点加上两棵别称为左子树和右子树的二叉树组成。 从上图可以看出 1. 二叉树不存在度大于2的结点 2. 二叉树的子树有左右之分次序不能颠倒因此二叉树是有序树 注意对于任意的二叉树都是由以下几种情况复合而成的 空树只有根节点只有左子树只有右子树左右子树均在 两种特殊的二叉树 1、 满二叉树 : 一棵二叉树如果 每层的结点数都达到最大值则这棵二叉树就是满二叉树 。也就是说 如果一棵 二叉树的层数为 K 且结点总数是 则它就是满二叉树 。 2.、 完全二叉树 : 完全二叉树是效率很高的数据结构完全二叉树是由满二叉树而引出来的。对于深度为 K的有n 个结点的二叉树当且仅当其每一个结点都与深度为K的满二叉树中编号从0 至n-1 的结点一一对应时称之为完全二叉树。 要注意的是满二叉树是一种特殊的完全二叉树。 加图理解 2.2 二叉树的性质 1. 若规定 根结点的层数为 1 则一棵 非空二叉树的第 i 层上最多有 (i0) 个结点 2. 若规定只有 根结点的二叉树的深度为 1 则 深度为 K的二叉树的最大结点数是(k0) 3. 对任何一棵二叉树 , 如果其 叶结点个数为 n0, 度为 2 的非叶结点个数为 n2, 则有 n0 n2 1 4. 具有 n 个结点的完全二叉树的深度 k 为 上取整 5. 对于具有 n 个结点的完全二叉树 如果按照 从上至下从左至右的顺序对所有节点从 0 开始编号 则对于 序号为 i 的结点有 若 i0 双亲序号 (i-1)/2 i0 i 为根结点编号 无双亲结点 若 2i1n 左孩子序号 2i1 否则无左孩子 若 2i2n 右孩子序号 2i2 相关习题练练手吧~ 1. 某二叉树共有 399 个结点其中有 199 个度为 2 的结点则该二叉树中的叶子结点数为 A 不存在这样的二叉树 B 200 C 198 D 199 2. 在具有 2n 个结点的完全二叉树中叶子结点个数为 A n B n1 C n-1 D n/2 3. 一个具有 767 个节点的完全二叉树其叶子节点个数为 A 383 B 384 C 385 D 386 4. 一棵完全二叉树的节点数为 531 个那么这棵树的高度为 A 11 B 10 C 8 D 12 答案 1.B 2.A 3.B 4.B 2.3 二叉树的存储 二叉树的存储结构 分为 顺序存储 和 类似于链表的链式存储 。 二叉树的链式存储是通过一个一个的节点引用起来的常见的表示方式有二叉和三叉表示方式 具体如下 // 孩子表示法 class Node { int val ; // 数据域 Node left ; // 左孩子的引用常常代表左孩子为根的整棵左子树 Node right ; // 右孩子的引用常常代表右孩子为根的整棵右子树 } // 孩子双亲表示法 class Node { int val ; // 数据域 Node left ; // 左孩子的引用常常代表左孩子为根的整棵左子树 Node right ; // 右孩子的引用常常代表右孩子为根的整棵右子树 Node parent ; // 当前节点的根节点 } 本文采用孩子表示法
并且二叉树定义是递归式的因此后序基本操作中基本都是按照该概念实现的。
2.4 二叉树的遍历
前中后序遍历 学习二叉树结构最简单的方式就是遍历。所谓 遍历 (Traversal) 是指沿着某条搜索路线依次对树中每个结 点均做一次且仅做一次访问 。 访问结点所做的操作依赖于具体的应用问题 ( 比如打印节点内容、节点内容加 1) 。 遍历是二叉树上最重要的操作之一是二叉树上进行其它运算之基础。 public void createBinaryTree(){BTNode node1 new BTNode(1);BTNode node1 new BTNode(2);BTNode node1 new BTNode(3);BTNode node1 new BTNode(4);BTNode node1 new BTNode(5);BTNode node1 new BTNode(6);root node1;node1.left node2;node2.left node3;node1.right node4;node4.left node5;node5.right node6;
} 在遍历二叉树时如果没有进行某种约定每个人都按照自己的方式遍历得出的结果就比较混乱 如果按 照某种规则进行约定则每个人对于同一棵树的遍历结果肯定是相同的 。如果 N 代表根节点 L 代表根节点的 左子树R 代表根节点的右子树则根据遍历根节点的先后次序有以下遍历方式 NLR前序遍历(Preorder Traversal 亦称先序遍历)——访问根结点---根的左子树---根的右子树。 LNR中序遍历(Inorder Traversal)——根的左子树---根节点---根的右子树。 LRN后序遍历(Postorder Traversal)——根的左子树---根的右子树---根节点。 下面主要分析前序递归遍历中序与后序图解类似。 层序遍历 层序遍历 除了先序遍历、中序遍历、后序遍历外还可以对二叉树进行层序遍历。设二叉树的根节点所在 层数为1层序遍历就是从所在二叉树的根节点出发首先访问第一层的树根节点然后从左到右访问第 2 层 上的节点接着是第三层的节点以此类推自上而下自左至右逐层访问树的结点的过程就是层序遍历。 下面做选择题熟悉遍历三种方式 1. 某完全二叉树按层次输出同一层从左到右的序列为 ABCDEFGH 。该完全二叉树的前序序列为 ( ) A: ABDHECFG B: ABCDEFGH C: HDBEAFCG D: HDEBFGCA 2. 二叉树的先序遍历和中序遍历如下先序遍历 EFHIGJK; 中序遍历 HFIEJKG. 则二叉树 根结点为 () A: E B: F C: G D: H 3.设一课二叉树的中序遍历序列 badce 后序遍历序列 bdeca 则二叉树前序遍历序列为 () A: adbce B: decab C: debac D: abcde 4. 某二叉树的后序遍历序列与中序遍历序列相同均为 ABCDEF 则按层次输出 ( 同一层从左到右 ) 的序列为 () A: FEDCBA B: CBAFED C: DEFCBA D: ABCDEF 【参考答案】 1.A 2.A 3.D 4.A 2.5二叉树的基本操作 对于二叉树有以下常见操作会在二叉树下篇经典面试题中讲解。 // 获取树中节点的个数 int size ( Node root ); // 获取叶子节点的个数 int getLeafNodeCount ( Node root ); // 子问题思路 - 求叶子结点个数 // 获取第 K 层节点的个数 int getKLevelNodeCount ( Node root , int k ); // 获取二叉树的高度 int getHeight ( Node root ); // 检测值为 value 的元素是否存在 Node find ( Node root , int val ); // 层序遍历 void levelOrder ( Node root ); // 判断一棵树是不是完全二叉树 boolean isCompleteTree ( Node root ); 初始二叉树就到这里啦刚了解二叉树概念性东西比较多多看几遍就记住了。关注我下篇讲解二叉树的多种遍历方式及多道经典面试题。不要错过喔
