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梯度下降法#xff08;Gradient Descent#xff09;是一种优化算法#xff0c;用于在机器学习和深度学习中最小化#xff08;或最大化#xff09;目标函数。它通过迭代地调整模型参数#xff0c;沿着梯度方向更新参数#xff0c;以逐步接近目标函数的最优解。梯度…概念
梯度下降法Gradient Descent是一种优化算法用于在机器学习和深度学习中最小化或最大化目标函数。它通过迭代地调整模型参数沿着梯度方向更新参数以逐步接近目标函数的最优解。梯度下降法在训练神经网络等机器学习模型时非常常用可以帮助模型学习数据中的模式和特征。
基本原理和步骤
目标函数定义首先需要定义一个目标函数损失函数它用来衡量模型预测与实际值之间的差异。通常目标是最小化损失函数。
参数初始化初始化模型的参数这些参数将在优化过程中被逐步调整。
计算梯度计算损失函数对于模型参数的梯度导数。梯度表示了目标函数在当前参数值处的变化率它指示了在哪个方向上参数应该更新以减小损失。
参数更新通过梯度下降公式沿着梯度的反方向更新模型的参数。更新步长由学习率learning rate控制学习率越大参数更新越大学习率越小参数更新越小。
重复迭代重复执行步骤 3 和 4直到达到预定的迭代次数epochs或收敛条件。通常随着迭代次数的增加模型的损失逐渐减小参数逐渐趋于收敛到最优值。
梯度下降法可以分为多种变体包括批量梯度下降Batch Gradient Descent、随机梯度下降Stochastic Gradient Descent和小批量梯度下降Mini-Batch Gradient Descent。随机梯度下降和小批量梯度下降在实际应用中更为常见因为它们可以更快地收敛并适应大规模数据。
代码实现(SGD)
import numpy as np
import matplotlib.pyplot as plt# 生成一些随机数据
np.random.seed(0)
X 2 * np.random.rand(100, 1)
y 4 3 * X np.random.randn(100, 1)# 添加偏置项
X_b np.c_[np.ones((100, 1)), X]# 初始化参数
theta np.random.randn(2, 1)# 学习率
learning_rate 0.01# 迭代次数
n_iterations 1000# 随机梯度下降
for iteration in range(n_iterations):random_index np.random.randint(100)xi X_b[random_index:random_index1]yi y[random_index:random_index1]gradients 2 * xi.T.dot(xi.dot(theta) - yi)theta theta - learning_rate * gradients# 绘制数据和拟合直线
plt.scatter(X, y)
plt.plot(X, X_b.dot(theta), colorred)
plt.xlabel(X)
plt.ylabel(y)
plt.title(Linear Regression with Stochastic Gradient Descent)
plt.show()print(Intercept (theta0):, theta[0][0])
print(Slope (theta1):, theta[1][0])
