没有网站做cpa,网站建设系统公司,成都建网站哪家好,太原网站优化技术一、求行列式的方法
计算机是利用主元计算行列式的。本节介绍其它两种计算行列式的方法。一是 “大公式”#xff08;big formula#xff09;#xff0c;它使用了全部 n ! n! n! 个排列计算#xff1b;二是 “代数余子式公式”#xff08;cofactor formula#xff09;big formula它使用了全部 n ! n! n! 个排列计算二是 “代数余子式公式”cofactor formula它使用的是大小为 n − 1 n-1 n−1 的行列式来计算的。下面是一个 4 × 4 4\times4 4×4 矩阵的例子 A [ 2 − 1 0 0 − 1 2 − 1 0 0 − 1 2 − 1 0 0 − 1 2 ] 的行列式是 det A 5 A\begin{bmatrix}\kern 7pt2-1\kern 7pt0\kern 7pt0\\-1\kern 7pt2-1\kern 7pt0\\\kern 7pt0-1\kern 7pt2-1\\\kern 7pt0\kern 7pt0-1\kern 7pt2\end{bmatrix}\kern 5pt的行列式是\kern 5pt\det A5 A 2−100−12−100−12−100−12 的行列式是detA5我们可以通过以下三种方式来求行列式主元大公式代数余子式。
主元的乘积是 2 ⋅ 3 2 ⋅ 4 3 ⋅ 5 4 2\cdot\displaystyle\frac{3}{2}\cdot\frac{4}{3}\cdot\frac{5}{4} 2⋅23⋅34⋅45消去后得到 5 5 5。大公式有 4 ! 24 4!24 4!24 项只有 5 5 5 项是非零的 det A ∣ 2 0 0 0 0 2 0 0 0 0 2 0 0 0 0 2 ∣ ∣ 2 0 0 0 0 2 0 0 0 0 0 − 1 0 0 − 1 0 ∣ ∣ 2 0 0 0 0 0 − 1 0 0 − 1 0 0 0 0 0 2 ∣ ∣ 0 − 1 0 0 − 1 0 0 0 0 0 2 0 0 0 0 2 ∣ ∣ 0 − 1 0 0 − 1 0 0 0 0 0 0 − 1 0 0 − 1 0 ∣ 16 − 4 − 4 − 4 1 5 \det A\begin{vmatrix}2000\\0200\\0020\\0002\end{vmatrix}\begin{vmatrix}20\kern 7pt0\kern 7pt0\\02\kern 7pt0\kern 7pt0\\00\kern 7pt0-1\\00-1\kern 7pt0\end{vmatrix}\begin{vmatrix} 2\kern 7pt0\kern 7pt00\\0\kern 7pt0-10\\0-1\kern 7pt00\\0\kern 7pt0\kern 7pt02\end{vmatrix}\begin{vmatrix}\kern 7pt0-100\\-1\kern 7pt000\\\kern 7pt0\kern 7pt020\\\kern 7pt0\kern 7pt002\end{vmatrix}\begin{vmatrix}\kern 7pt0-1\kern 7pt0\kern 7pt0\\-1\kern 7pt0\kern 7pt0\kern 7pt0\\\kern 7pt0\kern 7pt0\kern 7pt0-1\\\kern 7pt0\kern 7pt0-1\kern 7pt0\end{vmatrix}16-4-4-415 detA 2000020000200002 20000200000−100−10 200000−100−1000002 0−100−100000200002 0−100−1000000−100−10 16−4−4−415 16 16 16 来自 A A A 的对角线 2 ⋅ 2 ⋅ 2 ⋅ 2 2\cdot2\cdot2\cdot2 2⋅2⋅2⋅2 − 4 -4 −4 和 1 1 1 来自与后面 4 4 4 个行列式。第一行的数字 2 , − 1 , 0 , 0 2,-1,0,0 2,−1,0,0 乘上它们自己来自于其它行的余子式 4 , 3 , 2 , 1 4,3,2,1 4,3,2,1得到 2 ⋅ 4 − 1 ⋅ 3 5 2\cdot4-1\cdot35 2⋅4−1⋅35。这些余子式是 3 × 3 3\times3 3×3 的行列式余子式所使用的行和列是第一行的元素未使用的行和列。 行列式的每一项仅适用每行每列一次
二、主元公式
当用消元法得到 A L U ALU ALU 时主元 d 1 , d 2 , ⋯ , d n d_1,d_2,\cdots,d_n d1,d2,⋯,dn 在上三角矩阵 U U U 的对角线上如果没有行交换将主元相乘就可以得到行列式 det A ( det L ) ( det U ) ( 1 ) ( d 1 d 2 ⋯ d n ) ( 5.2.1 ) \det A(\det L)(\det U)(1)(d_1d_2\cdots d_n)\kern 30pt(5.2.1) detA(detL)(detU)(1)(d1d2⋯dn)(5.2.1)这个公式是没有行交换的情况下如果发生行交换则公式中会出现置换矩阵变成 P A L U PALU PALU而 P P P 的行列式是 − 1 -1 −1 或 1 1 1。 ( det P ) ( det A ) ( det L ) ( det U ) 得到 det A ± ( d 1 d 2 ⋯ d n ) ( 5.2.2 ) (\det P)(\det A)(\det L)(\det U)\kern 10pt得到\kern 10pt{\color{blue}\det A±(d_1d_2\cdots d_n)}\kern 25pt(5.2.2) (detP)(detA)(detL)(detU)得到detA±(d1d2⋯dn)(5.2.2) 【例1】一次行交换可以得到主元 4 , 2 , 1 4,2,1 4,2,1 和重要的负号 A [ 0 0 1 0 2 3 4 5 6 ] P A [ 4 5 6 0 2 3 0 0 1 ] det A − ( 4 ) ( 2 ) ( 1 ) − 8 A\begin{bmatrix}001\\023\\456\end{bmatrix}\kern 10ptPA\begin{bmatrix}456\\023\\001\end{bmatrix}\kern 10pt\det A-(4)(2)(1)-8 A 004025136 PA 400520631 detA−(4)(2)(1)−8行交换是奇数次一次则 det P − 1 \det P-1 detP−1。 下一个例子没有行交换这是一个 n × n n\times n n×n 的矩阵主元可以得到它的行列式行列式也可以得到主元。
【例2】三角矩阵 A A A 的前几个主元是 2 , 3 2 , 4 3 2,\displaystyle\frac{3}{2},\frac{4}{3} 2,23,34后面的是 5 4 \displaystyle\frac{5}{4} 45 和 6 5 \displaystyle\frac{6}{5} 56最终是 n 1 n \displaystyle\frac{n1}{n} nn1。分解这个 n × n n\times n n×n 的矩阵就可以看出行列式 [ 2 − 1 − 1 2 − 1 − 1 2 ⋅ ⋅ ⋅ − 1 − 1 2 ] [ 1 − 1 2 1 − 2 3 1 ⋅ ⋅ − n − 1 n 1 ] [ 2 − 1 3 2 − 1 4 3 − 1 ⋅ ⋅ n 1 n ] \begin{bmatrix}\kern 7pt2-1\\-1\kern 7pt2-1\\-1\kern 7pt2\cdot\\\cdot\cdot-1\\-1\kern 7pt2\end{bmatrix}\begin{bmatrix}\kern 7pt1\\-\frac{1}{2}\kern 7pt1\\-\frac{2}{3}1\\\cdot\cdot\\-\frac{n-1}{n}1\end{bmatrix}\begin{bmatrix}\pmb2-1\\\pmb{\frac{3}{2}}-1\\\pmb{\frac{4}{3}}-1\\\cdot\cdot\\\pmb{\frac{n1}{n}}\end{bmatrix} 2−1−12−1−12⋅⋅⋅−1−12 1−211−321⋅−nn−1⋅1 2−123−134−1⋅⋅nn1 主元在 U U U最后一个矩阵的对角线当 2 2 2 和 3 2 \displaystyle\frac{3}{2} 23 和 4 3 \displaystyle\frac{4}{3} 34 和 5 4 \displaystyle\frac{5}{4} 45 乘起来分数消去则 4 × 4 4\times4 4×4 矩阵的行列是 5 5 5 3 × 3 3\times3 3×3 矩阵的行列式是 4 4 4。 n × n n\times n n×n 矩阵的行列式是 n 1 n1 n1 − 1 , 2 , − 1 矩阵 det A ( 2 ) ( 3 2 ) ( 4 3 ) ⋯ ( n 1 n ) n 1 \pmb{-1,2,-1\,矩阵}\kern 15pt\det A(\pmb2)(\pmb{\frac{3}{2}})(\pmb{\frac{4}{3}})\cdots(\pmb{\frac{n1}{n}})\pmb{n1} −1,2,−1矩阵detA(2)(23)(34)⋯(nn1)n1重点前面的主元仅和原始矩阵 A A A 的左上角有关。这条规则适用于所有不需要行交换的矩阵。 前 k 个主元来自于 A 左上角的 k × k 矩阵 A k 。 左上角子矩阵 A k 的行列式是 d 1 d 2 ⋯ d k ( 前 k 个主元 ) 。 前\,k\,个主元来自于A\,左上角的\,k\times k\,矩阵A_k。\\\pmb{左上角子矩阵A_k的行列式是\,d_1d_2\cdots d_k(前\,k\,个主元)。} 前k个主元来自于A左上角的k×k矩阵Ak。左上角子矩阵Ak的行列式是d1d2⋯dk(前k个主元)。 1 × 1 1\times1 1×1 的矩阵 A 1 A_1 A1 仅包含第一个主元 d 1 d_1 d1就是 det A 1 \det A_1 detA1左上角 2 × 2 2\times 2 2×2 的矩阵有 det A 2 d 1 d 2 \det A_2d_1d_2 detA2d1d2最终 n × n n\times n n×n 的行列式就是所有主元相乘。 当开始处理整个矩阵时我们对左上角的矩阵 A k A_k Ak 进行消元假设没有行交换 —— 则 A L U ALU ALU 且 A k L k U k A_kL_kU_k AkLkUk。一个行列式除以前一个行列式 A k A_k Ak 除以 A k − 1 A_{k-1} Ak−1可以消去除最后一个主元 d k d_k dk 以外的所有主元。每个主元都是行列式的比值 从行列式得到主元 第 k 个主元是 d k d 1 d 2 ⋯ d k d 1 d 2 ⋯ d k − 1 det A k det A k − 1 ( 5.2.3 ) \pmb{从行列式得到主元}\kern 15pt第\,k\,个主元是\,\pmb{d_k}\frac{d_1d_2\cdots d_k}{d_1d_2\cdots d_{k-1}}{\color{blue}\frac{\det A_k}{\det A_{k-1}}}\kern 15pt(5.2.3) 从行列式得到主元第k个主元是dkd1d2⋯dk−1d1d2⋯dkdetAk−1detAk(5.2.3) 当所有左上角的子矩阵都有 det A k ≠ 0 \det A_k\neq0 detAk0则就不需要行交换。
三、行列式的大公式
主元很好计算它们有能够求出行列式的足够多的信息。但是它很难和原始的 a i j a_{ij} aij 联系起来。我们回到规则 1 − 2 − 3 1-2-3 1−2−3线性、符号反转和 det I 1 \det I1 detI1 就能够让这一问题变得清晰起来。我们要推导出一个确切的行列式公式它直接由元素 a i j a_{ij} aij 得来。 这个公式有 n ! n! n! 项。项数会增加的非常快因为 n ! 1 , 2 , 6 , 24 , 120 , ⋯ n!1,2,6,24,120,\cdots n!1,2,6,24,120,⋯若 n 11 n11 n11 那么会有接近四千万项。 n 2 n2 n2 时这两项分别是 a d ad ad 和 b c bc bc半数的项是负号如 − b c -bc −bc半数的项是正数如 a b ab ab。当 n 3 n3 n3 时则有 3 ! ( 3 ) ( 2 ) ( 1 ) 6 3!(3)(2)(1)6 3!(3)(2)(1)6 项这六项如下 3 × 3 行列式 ∣ a 11 a 12 a 13 a 21 a 22 a 23 a 31 a 32 a 33 ∣ a 11 a 22 a 33 a 12 a 23 a 31 a 13 a 21 a 32 − a 11 a 23 a 32 − a 12 a 21 a 33 − a 13 a 22 a 31 ( 5.2.4 ) 3\times3\,行列式\kern 20pt\begin{vmatrix}a_{11}a_{12}a_{13}\\a_{21}a_{22}a_{23}\\a_{31}a_{32}a_{33}\end{vmatrix}{\color{blue}\begin{matrix}a_{11}a_{22}a_{33}a_{12}a_{23}a_{31}a_{13}a_{21}a_{32}\\-a_{11}a_{23}a_{32}-a_{12}a_{21}a_{33}-a_{13}a_{22}a_{31}\end{matrix}}\kern 15pt(5.2.4) 3×3行列式 a11a21a31a12a22a32a13a23a33 a11a22a33a12a23a31a13a21a32−a11a23a32−a12a21a33−a13a22a31(5.2.4) 注意这个模式每个乘积如 a 11 a 23 a 32 a_{11}a_{23}a_{32} a11a23a32 有来自每一行的一个元素也有来自每一列的一个元素。列的顺序 1 , 3 , 2 1,3,2 1,3,2 表示这个特定的项符号是负号 a 13 a 21 a 32 a_{13}a_{21}a_{32} a13a21a32 的列序 3 , 1 , 2 3,1,2 3,1,2 则为正号。由这种 “排列” 顺序可以得到符号。 下一步 n 4 n4 n4有 4 ! 24 4!24 4!24 项因为有 24 24 24 种方式从每一行和每一列选择一个元素。沿着主对角线 a 11 a 22 a 33 a 44 a_{11}a_{22}a_{33}a_{44} a11a22a33a44 的列序 1 , 2 , 3 , 4 1,2,3,4 1,2,3,4 总是正号这是单位排列identity permutation。 我们从 n 2 n2 n2 开始推导大公式big formula目的是用系统的方法得到 a d − b c ad-bc ad−bc。将每一行分成两个简单的行 [ a b ] [ a 0 ] [ 0 b ] [ c d ] [ c 0 ] [ 0 d ] \begin{bmatrix}a b\end{bmatrix}\begin{bmatrix}a0\end{bmatrix}\begin{bmatrix}0b\end{bmatrix}\kern 10pt\begin{bmatrix}cd\end{bmatrix}\begin{bmatrix}c0\end{bmatrix}\begin{bmatrix}0d\end{bmatrix} [ab][a0][0b][cd][c0][0d]现在利用线性性质首先用在第 1 1 1 行第 2 2 2 行固定然后用在第 2 2 2 行第 1 1 1 行固定 ∣ a b c d ∣ ∣ a 0 c d ∣ ∣ 0 b c d ∣ ( 分解第 1 行 ) ∣ a 0 c 0 ∣ ∣ a 0 0 d ∣ ∣ 0 b c 0 ∣ ∣ 0 b 0 d ∣ ( 分解第 2 行 ) ( 5.2.5 ) \begin{vmatrix}ab\\cd\end{vmatrix}\begin{vmatrix}a0\\cd\end{vmatrix}\begin{vmatrix}0b\\cd\end{vmatrix}\kern 106pt(分解第\,1\,行)\kern 83pt\\\begin{vmatrix}a0\\c0\end{vmatrix}\begin{vmatrix}a0\\0d\end{vmatrix}\begin{vmatrix}0b\\c0\end{vmatrix}\begin{vmatrix}0b\\0d\end{vmatrix}\kern 20pt(分解第\,2\,行)\kern 20pt(5.2.5) acbd ac0d 0cbd (分解第1行) ac00 a00d 0cb0 00bd (分解第2行)(5.2.5)最后一行有 2 2 4 2^24 224 个行列式第一个和第四个都是零因为其中一行是另一行的倍数最后剩下 2 ! 2 2!2 2!2 个行列式需要计算 ∣ a 0 0 d ∣ ∣ 0 b c 0 ∣ a d ∣ 1 0 0 1 ∣ b c ∣ 0 1 1 0 ∣ a d − b c \begin{vmatrix}a0\\0d\end{vmatrix}\begin{vmatrix}0b\\c0\end{vmatrix}ad\begin{vmatrix}10\\01\end{vmatrix}bc\begin{vmatrix}01\\10\end{vmatrix}ad-bc a00d 0cb0 ad 1001 bc 0110 ad−bc最后得到置换矩阵它们的行列式提供正号或负号置换矩阵可以看出列序。上述列序就是 ( 1 , 2 ) (1,2) (1,2) 和 ( 2 , 1 ) (2,1) (2,1)。 下面试一下 n 3 n3 n3 的情况。每一行都分成 3 3 3 个简单的行例如 [ a 11 0 0 ] \begin{bmatrix}a_{11}00\end{bmatrix} [a1100]。再利用每一行的线性可以将 det A \det A detA 分成 3 3 27 3^327 3327 个简单的行列式。如果列的选择重复了例如又选择了一行 [ a 21 0 0 ] \begin{bmatrix}a_{21}00\end{bmatrix} [a2100]那么这个行列式就为零。 我们只需要注意元素 a i j a_{ij} aij 是来自于不同列的情况如 ( 3 , 1 , 2 ) (3,1,2) (3,1,2) ∣ a 11 a 12 a 13 a 21 a 22 a 23 a 31 a 32 a 33 ∣ ∣ a 11 a 22 a 33 ∣ ∣ a 12 a 23 a 31 ∣ ∣ a 13 a 21 a 32 ∣ \begin{vmatrix}a_{11}a_{12}a_{13}\\a_{21}a_{22}a_{23}\\a_{31}a_{32}a_{33}\end{vmatrix}\color{blue}\begin{vmatrix}a_{11}\\a_{22}\\a_{33}\end{vmatrix}\begin{vmatrix}a_{12}\\a_{23}\\a_{31}\end{vmatrix}\begin{vmatrix}a_{13}\\a_{21}\\a_{32}\end{vmatrix} a11a21a31a12a22a32a13a23a33 a11a22a33 a31a12a23 a21a32a13 六项 ∣ a 11 a 23 a 32 ∣ ∣ a 12 a 21 a 33 ∣ ∣ a 13 a 22 a 31 ∣ \pmb{六项}\kern 56pt\color{blue}\begin{vmatrix}a_{11}\\a_{23}\\a_{32}\end{vmatrix}\begin{vmatrix}a_{12}\\a_{21}\\a_{33}\end{vmatrix}\begin{vmatrix}a_{13}\\a_{22}\\a_{31}\end{vmatrix} 六项 a11a32a23 a21a12a33 a31a22a13 总共有 3 ! 6 3!6 3!6 种列的顺序所以有 6 6 6 个行列式。 ( 1 , 2 , 3 ) (1,2,3) (1,2,3) 的这 6 6 6 种排列方式包括来自于 P I PI PI 的单位排列 ( 1 , 2 , 3 ) (1,2,3) (1,2,3)。 列的顺序 ( 1 , 2 , 3 ) , ( 2 , 3 , 1 ) , ( 3 , 1 , 2 ) , ( 1 , 3 , 2 ) , ( 2 , 1 , 3 ) , ( 3 , 2 , 1 ) ( 5.2.6 ) \pmb{列的顺序}(1,2,3),(2,3,1),(3,1,2),(1,3,2),(2,1,3),(3,2,1)\kern 20pt(5.2.6) 列的顺序(1,2,3),(2,3,1),(3,1,2),(1,3,2),(2,1,3),(3,2,1)(5.2.6)后三个是奇排列一次交换前三个是偶排列 0 0 0 或 2 2 2 次交换。当列序是 ( 3 , 1 , 2 ) (3,1,2) (3,1,2) 时选择的元素是 a 1 3 a 2 1 a 3 2 a_{1\pmb3}a_{2\pmb1}a_{3\pmb2} a13a21a32这项特定的列序符号是正号 2 2 2 次交换。现在 A A A 的行列式可以分解成 6 6 6 个简单的行列式提出因子 a i j a_{ij} aij det A a 11 a 22 a 33 ∣ 1 1 1 ∣ a 12 a 23 a 31 ∣ 1 1 1 ∣ a 13 a 21 a 32 ∣ 1 1 1 ∣ \det Aa_{11}a_{22}a_{33}\begin{vmatrix}1\\1\\1\end{vmatrix}a_{12}a_{23}a_{31}\begin{vmatrix}1\\1\\1\end{vmatrix}a_{13}a_{21}a_{32}\begin{vmatrix}1\\1\\1\end{vmatrix}\kern 70pt detAa11a22a33 111 a12a23a31 111 a13a21a32 111 a 11 a 23 a 32 ∣ 1 1 1 ∣ a 12 a 21 a 33 ∣ 1 1 1 ∣ a 13 a 22 a 31 ∣ 1 1 1 ∣ ( 5.2.7 ) a_{11}a_{23}a_{32}\begin{vmatrix}1\\1\\1\end{vmatrix}a_{12}a_{21}a_{33}\begin{vmatrix}1\\1\\1\end{vmatrix}a_{13}a_{22}a_{31}\begin{vmatrix}1\\1\\1\end{vmatrix}\kern 10pt(5.2.7) a11a23a32 111 a12a21a33 111 a13a22a31 111 (5.2.7)前三个偶排列的行列式 det P 1 \det P1 detP1后三个奇排列的行列式 det P − 1 \det P-1 detP−1。我们已经使用系统的方法证明了 3 × 3 3\times3 3×3 的公式。 下面看 n × n n\times n n×n 的公式。列序共有 n ! n! n! 种列 ( 1 , 2 , 3 , ⋯ , n ) (1,2,3,\cdots,n) (1,2,3,⋯,n) 的每一种可能的顺序 ( α , β , ⋯ , ω ) (\alpha,\beta,\cdots,\omega) (α,β,⋯,ω)从行 1 1 1 取 a 1 α a_{1\alpha} a1α从行 2 2 2 取 a 2 β a_{2\beta} a2β最后从行 n n n 取 a n ω a_{n\omega} anω行列式包含乘积 a 1 α a 2 β ⋯ a n ω a_{1\alpha}a_{2\beta}\cdots a_{n\omega} a1αa2β⋯anω 乘上 1 1 1 或 − 1 -1 −1半数的列序符号是 − 1 -1 −1。 A A A 的行列式是这 n ! n! n! 项简单行列式的和简单行列式 a 1 α a 2 β ⋯ a n ω a_{1\alpha}a_{2\beta}\cdots a_{n\omega} a1αa2β⋯anω 选择的是来自于每行每列的一个元素。对于 5 × 5 5\times5 5×5 的情况 a 15 a 22 a 33 a 44 a 51 a_{15}a_{22}a_{33}a_{44}a_{51} a15a22a33a44a51 这一项有 det P − 1 \det P-1 detP−1仅一次交换 5 5 5 和 1 1 1。 det A 所有 n ! 个列排列 P ( α , β , ⋯ , ω ) ∑ ( det P ) a 1 α a 2 β ⋯ a n ω BIG FORMULA ( 5.2.8 ) \det A所有\,n! \,个列排列\,P(\alpha,\beta,\cdots,\omega)\\{\color{blue}\sum(\det P)a_{1\alpha}a_{2\beta}\cdots a_{n\omega}}\textrm{\pmb{BIG\,\,FORMULA}}\kern 20pt(5.2.8) detA所有n!个列排列P(α,β,⋯,ω)∑(detP)a1αa2β⋯anωBIGFORMULA(5.2.8) 这个就是行列式的大公式Big Formula。 2 × 2 2\times2 2×2 的情形是 a 11 a 22 − a 12 a 21 a_{11}a_{22}-a_{12}a_{21} a11a22−a12a21就是 a d − b c ad-bc ad−bc这里 P P P 是 ( 1 , 2 ) (1,2) (1,2) 和 ( 2 , 1 ) (2,1) (2,1)。 3 × 3 3\times 3 3×3 的情形有 3 3 3 个 “右斜下”down to right的乘积和三个 “左斜下”down to left的乘积。警告这个模式在 4 × 4 4\times4 4×4 的情形是不适用的这种模式只能选取 8 8 8 项但是实际是需要 24 24 24 项。
【例3】 U U U 的行列式当 U U U 是上三角 n ! n! n! 个乘积中只有一个不为零这一项就是对角线的乘积 det U u 11 u 22 ⋯ u n n \det Uu_{11}u_{22}\cdots u_{nn} detUu11u22⋯unn。其它的列序至少有一个元素在对角线下方 U U U 的这些元素都是零。例如 u 21 0 u_{21}0 u210由方程5.1.8知该项一定为零。 det I 0 \det I0 detI0唯一非零项是对角线的 ( 1 ) ( 1 ) ⋯ ( 1 ) (1)(1)\cdots(1) (1)(1)⋯(1)。
【例4】假设 Z Z Z 除了第 3 3 3 列都是单位矩阵有 Z 的行列式 ∣ 1 0 a 0 0 1 b 0 0 0 c 0 0 0 d 1 ∣ 是 c ( 5.2.9 ) Z\,的行列式\begin{vmatrix}10\pmb a0\\01\pmb b0\\00\pmb c0\\00\pmb d1\end{vmatrix}是\,c\kern 25pt(5.2.9) Z的行列式 10000100abcd0001 是c(5.2.9)主对角线这一项 ( 1 ) ( 1 ) ( c ) ( 1 ) (1)(1)(c)(1) (1)(1)(c)(1) 符号为正。总共有 4 ! 24 4!24 4!24 项乘积每行每列选择一个因子但是其它 23 23 23 项都是零。原因如果从列 3 3 3 中选择 a , b a,b a,b 或 d d d 的话则列 3 3 3 已经使用了那么行 3 3 3 就只剩下 0 0 0 可以使用。 另一个原因如果 c 0 c0 c0则 Z Z Z 有一个零行所以 det Z c 0 \det Zc0 detZc0。如果 c c c 不为零利用消元法从其它行减去乘数乘上行 3 3 3可以消去 a , b , c a,b,c a,b,c就只留下一个对角矩阵有 det Z c \det Zc detZc。 改变 I I I 的一列可以很容易得到 Z Z Z 的行列式它仅来自于主对角线。
【例5】假设 A A A 仅在主对角线的上方和下方都是 1 1 1这里 n 4 n4 n4 A [ 0 1 0 0 1 0 1 0 0 1 0 1 0 0 1 0 ] , P [ 0 1 0 0 1 0 0 0 0 0 0 1 0 0 1 0 ] 的行列式都为 1 A\begin{bmatrix}0\pmb100\\\pmb10\pmb10\\0\pmb10\pmb1\\00\pmb10\end{bmatrix},\kern 12ptP\begin{bmatrix}0\pmb100\\\pmb1000\\000\pmb1\\00\pmb10\end{bmatrix}的行列式都为\,1 A 0100101001010010 ,P 0100100000010010 的行列式都为1行 1 1 1 非零的选择只能是列 2 2 2行 4 4 4 非零的选择只能是列 3 3 3则 行 2 2 2 和行 3 3 3 就只能选择列 1 1 1 和列 4 4 4。换句话说就是 det P det A \det P\det A detPdetA。 P P P 的行列式是 1 1 1两次行交换得到列序 2 , 1 , 4 , 3 2,1,4,3 2,1,4,3因此 det A 1 \det A1 detA1。
四、代数余子式求行列式
公式 (5.2.8) 是行列式的直接定义它一次性给了所有信息 —— 但是需要将它都理解毕竟这 n ! n! n! 个和项都需要满足规则 1 − 2 − 3 1-2-3 1−2−3也就会满足性质 4 − 10 4-10 4−10 了。最简单的是 det I 1 \det I1 detI1这个已经验证好了。 当将第一行的因子 a 11 , a 12 a_{11},a_{12} a11,a12 和 a 13 a_{13} a13 提取出来就可以看到线性性质。对于 3 × 3 3\times3 3×3 的矩阵可以将行列式的 6 6 6 项分成 3 3 3 对 det A a 11 ( a 22 a 33 − a 23 a 32 ) a 12 ( a 23 a 31 − a 21 a 33 ) a 13 ( a 21 a 32 − a 22 a 31 ) ( 5.2.10 ) \det A\pmb{a_{11}}{\color{blue}(a_{22}a_{33}-a_{23}a_{32})}\pmb{a_{12}}{\color{blue}(a_{23}a_{31}-a_{21}a_{33})}\pmb{a_{13}}{\color{blue}(a_{21}a_{32}-a_{22}a_{31})}\kern 15pt(5.2.10) detAa11(a22a33−a23a32)a12(a23a31−a21a33)a13(a21a32−a22a31)(5.2.10) 括号中的 3 3 3 项称为 “代数余子式”cofactor注意这里前面不需要加 algebra余子式的英文是 minor。这 3 3 3 项代数余子式都是来自 2 2 2 行与 3 3 3 行的 2 × 2 2\times2 2×2 的行列式第一行提供了因子 a 11 , a 12 , a 13 a_{11},a_{12},a_{13} a11,a12,a13下面的行贡献了代数余子式 C 11 , C 12 , C 13 C_{11},C_{12},C_{13} C11,C12,C13。当然行列式 a 11 C 11 a 12 C 12 a 13 C 13 a_{11}C_{11}a_{12}C_{12}a_{13}C_{13} a11C11a12C12a13C13 与 a 11 , a 12 , a 13 a_{11},a_{12},a_{13} a11,a12,a13 有线性关系这就是规则 3 3 3。 a 11 a_{11} a11 的代数余子式是 C 11 a 22 a 33 − a 23 a 32 C_{11}a_{22}a_{33}-a_{23}a_{32} C11a22a33−a23a32从下面的分解中就可以看出来代数余子式 ∣ a 11 a 12 a 13 a 21 a 22 a 23 a 31 a 32 a 33 ∣ ∣ a 11 a 22 a 23 a 32 a 33 ∣ ∣ a 12 a 21 a 23 a 31 a 33 ∣ ∣ a 13 a 21 a 22 a 31 a 32 ∣ \begin{vmatrix}a_{11}a_{12}a_{13}\\a_{21}a_{22}a_{23}\\a_{31}a_{32}a_{33}\end{vmatrix}\begin{vmatrix}a_{11}\\a_{22}a_{23}\\a_{32}a_{33}\end{vmatrix}\begin{vmatrix}a_{12}\\a_{21}a_{23}\\a_{31}a_{33}\end{vmatrix}\begin{vmatrix}a_{13}\\a_{21}a_{22}\\a_{31}a_{32}\end{vmatrix} a11a21a31a12a22a32a13a23a33 a11a22a32a23a33 a21a31a12a23a33 a21a31a22a32a13 我们仍然可以选择来自于每一行每一列的一个元素因为 a 11 a_{11} a11 使用了第 1 1 1 行和第 1 1 1 列所以就剩下一个 2 × 2 2\times2 2×2 的行列式当它的代数余子式。 行列式中需要一直关注符号跟着 a 12 a_{12} a12 的 2 × 2 2\times 2 2×2 的行列式虽说看起来是 a 21 a 33 − a 23 a 31 a_{21}a_{33}-a_{23}a_{31} a21a33−a23a31但是它的代数余子式 C 12 C_{12} C12 与这个行列式的符号相反 a 12 C 12 a_{12}C_{12} a12C12 才是正确的 3 × 3 3\times3 3×3 行列式。代数余子式的符号沿着第一行的模式是 “正-负-正-负”。划掉第 1 1 1 行和第 j j j 列得到一个大小是 ( n − 1 ) × ( n − 1 ) (n-1)\times(n-1) (n−1)×(n−1) 的子矩阵 M 1 j M_{1j} M1j它的行列式乘上符号 ( − 1 ) 1 j (-1)^{1j} (−1)1j 就得到代数余子式 行 1 的代数余子式是 C 1 j ( − 1 ) 1 j det M 1 j 行\,1\,的代数余子式是\,C_{1j}(-1)^{1j}\det M_{1j} 行1的代数余子式是C1j(−1)1jdetM1j 代数余子式扩展是 det A a 11 C 11 a 12 C 12 ⋯ a 1 n C 1 n ( 5.2.11 ) \pmb{代数余子式扩展是\det Aa_{11}C_{11}a_{12}C_{12}\cdotsa_{1n}C_{1n}}\kern 15pt(5.2.11) 代数余子式扩展是detAa11C11a12C12⋯a1nC1n(5.2.11)在大公式5.2.8中 a 11 a_{11} a11 乘上一些项的组合 C 11 det M 11 C_{11}\det M_{11} C11detM11它的符号是 ( − 1 ) 1 1 (-1)^{11} (−1)11即是正号。式 5.2.11是式5.2.8和5.2.10的另一种形式来自第 1 1 1 行的因子乘上只用到其它行的代数余子式。
注 行 1 1 1 是这样那么行 i i i 也一样。某一行的元素 a i j a_{ij} aij 也有代数余子式 C i j C_{ij} Cij它们是 ( − 1 ) i j (-1)^{ij} (−1)ij 乘上 n − 1 n-1 n−1 阶的行列式因为 a i j a_{ij} aij 使用了行 i i i 和列 j j j子矩阵 M i j M_{ij} Mij 会移除行 i i i 和列 j j j。下面展示 a 43 a_{43} a43 和 M 43 M_{43} M43行 4 4 4 和列 3 3 3 被移掉了符号 ( − 1 ) 4 3 (-1)^{43} (−1)43 乘上行列式 M 43 M_{43} M43 得到 C 43 C_{43} C43符号矩阵展示了 ± ± ± 号的模式 A [ ∙ ∙ ∙ ∙ ∙ ∙ ∙ ∙ ∙ a 43 ] 符号 ( − 1 ) i j [ − − − − − − − − ] A\begin{bmatrix}\bullet\bullet\bullet\\\bullet\bullet\bullet\\\bullet\bullet\bullet\\a_{43}\end{bmatrix}\kern 15pt符号\kern 5pt(-1)^{ij}\begin{bmatrix}--\\--\\--\\--\end{bmatrix} A ∙∙∙∙∙∙a43∙∙∙ 符号(−1)ij −−−−−−−− 行列式是 A A A 的任意行 i i i 与其它行的代数余子式的点积 代数余子式公式 COFACTOR FORMULA det A a i 1 C i 1 a i 2 C i 2 ⋯ a i n C i n ( 5.2.12 ) \pmb{代数余子式公式\kern 3pt\textrm{COFACTOR\,\,\,FORMULA}}\kern 15pt{\color{blue}\det Aa_{i1}C_{i1}a_{i2}C_{i2}\cdotsa_{in}C_{in}}\kern 14pt(5.2.12) 代数余子式公式COFACTORFORMULAdetAai1Ci1ai2Ci2⋯ainCin(5.2.12)每个代数余子式 C i j C_{ij} Cij阶数是 n − 1 n-1 n−1去除掉行 i i i 和列 j j j包含它正确的符号 代数余子式 Cofactor C i j ( − 1 ) i j det M i j \pmb{代数余子式\kern 4pt\textrm{Cofactor}}\kern 10pt{\color{blue}C_{ij}(-1)^{ij}\det M_{ij}} 代数余子式CofactorCij(−1)ijdetMij 一个 n n n 阶行列式是 n − 1 n-1 n−1 阶行列式的组合继续递归下去每个子行列式再分解成 n − 2 n-2 n−2 阶行列式的组合。通过式5.2.12我们可以定义所有的行列式这个规则从阶数 n n n 到 n − 1 n-1 n−1 到 n − 2 n-2 n−2 最终到阶数 1 1 1定义 1 × 1 1\times1 1×1 的行列式 ∣ a ∣ |a| ∣a∣ 是数字 a a a则使用代数余子式的方法定义行列式就完成了。 我们更偏向于从行列式的性质来构建 A A A线性符号反转 det I 1 \det I1 detI1大公式5.2.8和代数余子式公式5.2.10–5.2.12也遵循这些性质。使用规则得到的最后一个公式 det A det A T \det A\det A^T detAdetAT我们也可以使用代数余子式将它扩展此时是沿着一列而不是一行。沿着列 j j j 的元素是 a 1 j a_{1j} a1j 到 a n j a_{nj} anj代数余子式是 C 1 j C_{1j} C1j 到 C n j C_{nj} Cnj行列式就是下面的点积 沿着列 j 的代数余子式 det A a 1 j C 1 j a 2 j C 2 j ⋯ a n j C n j ( 5.2.13 ) \pmb{沿着列\,j\,的代数余子式}\kern 13pt\det Aa_{1j}C_{1j}a_{2j}C_{2j}\cdotsa_{nj}C_{nj}\kern 13pt(5.2.13) 沿着列j的代数余子式detAa1jC1ja2jC2j⋯anjCnj(5.2.13)当矩阵有很多零时代数余子式很有用 —— 如下例子
【例6】 − 1 , 2 , − 1 -1,2,-1 −1,2,−1 矩阵在第一行仅有两个非零值所以仅有两个和行列式相关的代数余子式 C 11 C_{11} C11 和 C 12 C_{12} C12下面会将 C 12 C_{12} C12 加粗 ∣ 2 − 1 − 1 2 − 1 − 1 2 − 1 − 1 2 ∣ 2 ∣ 2 − 1 − 1 2 − 1 − 1 2 ∣ − ( − 1 ) ∣ − 1 − 1 2 − 1 − 1 2 ∣ ( 5.2.14 ) \begin{vmatrix}\kern 7pt2-1\\\pmb{-1}\kern 7pt2\pmb{-1}\\-1\kern 7pt\pmb2\pmb{-1}\\\pmb{-1}\kern 7pt\pmb{2}\end{vmatrix}2\begin{vmatrix}\kern 7pt2-1\\-1\kern 7pt2-1\\-1\kern 7pt2\end{vmatrix}-(-1)\begin{vmatrix}\pmb{-1}\pmb{-1}\\\kern 7pt\pmb2\pmb{-1}\\\pmb{-1}\kern 7pt\pmb2\end{vmatrix}\kern 12pt(5.2.14) 2−1−12−1−12−1−12 2 2−1−12−1−12 −(−1) −1−12−1−12 (5.2.14)右侧的第一项是 2 2 2 乘上 C 11 C_{11} C11 C 11 C_{11} C11 移除了第 1 1 1 行和第 1 1 1 列代数余子式 C 11 C_{11} C11 与原始矩阵 A A A 有着相同的 − 1 , 2 , − 1 -1,2,-1 −1,2,−1 的模式它仅大小变小了一阶。 要计算上面加粗的代数余子式 C 12 C_{12} C12沿着第一列使用代数余子式最上面的是唯一一个非零数这里又得到了另外一个 ( − 1 ) (-1) (−1)所以前面要加上负号它的代数余子式是一个 2 × 2 2\times2 2×2 的 − 1 , 2 , − 1 -1,2,-1 −1,2,−1 行列式比原始的 A A A 小了二阶。 总结每个 n n n 阶行列式 D n D_n Dn 都可由 D n − 1 D_{n-1} Dn−1 和 D n − 2 D_{n-2} Dn−2 得到 D 4 2 D 3 − D 2 一般式 D n 2 D n − 1 − D n − 2 ( 5.2.15 ) D_42D_3-D_2\kern 11pt一般式\kern 5pt{\color{blue}D_n2D_{n-1}-D_{n-2}}\kern 12pt(5.2.15) D42D3−D2一般式Dn2Dn−1−Dn−2(5.2.15)直接计算 D 2 3 D_23 D23 D 3 4 D_{3}4 D34所以式5.2.14有 D 4 2 ( 4 ) − 3 5 D_42(4)-35 D42(4)−35行列式 3 , 4 , 5 3,4,5 3,4,5 符合公式 D n n 1 D_{n}n1 Dnn1则 D n 2 n − ( n − 1 ) D_n2n-(n-1) Dn2n−(n−1)。这种 “特殊三对角答案”special tridiagonal answer用例 2 的主元乘积也可以得到。
【例7】下面这个矩阵除了第一个元素左上角是 1 1 1其它和例 6 6 6 一样 B 4 [ 1 − 1 − 1 2 − 1 − 1 2 − 1 − 1 2 ] B_4\begin{bmatrix}\kern 7pt1-1\\-1\kern 7pt2-1\\-1\kern 7pt2-1\\-1\kern 7pt2\end{bmatrix} B4 1−1−12−1−12−1−12 这个矩阵的所有主元都是 1 1 1所以行列式是 1 1 1。那么如何用代数余子式计算呢将其沿第一行展开所有的代数余子式都和例 6 6 6 一致仅仅是 a 11 2 a_{11}2 a112 变成了 b 11 1 b_{11}1 b111 det B 4 D 3 − D 2 而不是 det A 4 2 D 3 − D 2 \det B_4D_3-D_2\kern 11pt而不是\kern 11pt\det A_42D_3-D_2 detB4D3−D2而不是detA42D3−D2 B 4 B_4 B4 的行列式是 4 − 3 1 4-31 4−31每个 B n n − ( n − 1 ) 1 B_nn-(n-1)1 Bnn−(n−1)1。 如果将最后一个 2 2 2 改成 1 1 1则 det 0 \det 0 det0。
五、主要内容总结
如果没有行交换 det A ( 主元的乘积 ) \det A(主元的乘积) detA(主元的乘积)在 A A A 的左上角 det A k ( 前 k 个主元的乘积 ) \det A_k(前\,k\,个主元的乘积) detAk(前k个主元的乘积)。大公式5.2.8中的每一项使用每行每列一次。 n ! n! n! 个项中的一半符号是正此时 det P 1 \det P1 detP1一半的符号是负。代数余子式 C i j C_{ij} Cij 是 ( − 1 ) i j (-1)^{ij} (−1)ij 乘上去掉 i i i 行 j j j 列的小一点的行列式因为 a i j a_{ij} aij 使用了这一行和这一列。 A A A 的行列式是它任意行与该行的代数余子式的点积。如果 A A A 有很多零的话则只需要很少的代数余子式。
六、例题
【例8】海森堡矩阵Hessenberg matrix是一个多了一个对角线的三角矩阵。对第 1 1 1 行使用代数余子式证明 4 × 4 4\times4 4×4 的行列式满足斐波那契Fibonacci规则 ∣ H 4 ∣ ∣ H 3 ∣ ∣ H 2 ∣ |H_4||H_3||H_2| ∣H4∣∣H3∣∣H2∣。相同的规则适用于所有的大小 ∣ H n ∣ ∣ H n − 1 ∣ ∣ H n − 2 ∣ |H_n||H_{n-1}||H_{n-2}| ∣Hn∣∣Hn−1∣∣Hn−2∣。 ∣ H n ∣ |H_n| ∣Hn∣ 等于哪个斐波那契数呢 H 2 [ 2 1 1 2 ] H 3 [ 2 1 1 2 1 1 1 2 ] H 4 [ 2 1 1 2 1 1 1 2 1 1 1 1 2 ] H_2\begin{bmatrix}21\\12\end{bmatrix}\kern 10ptH_3\begin{bmatrix}21\\121\\112\end{bmatrix}\kern 10ptH_4\begin{bmatrix}21\\121\\1121\\1112\end{bmatrix} H2[2112]H3 21112112 H4 2111121112112 解 H 4 H_4 H4 的代数余子式 C 11 C_{11} C11 是行列式 ∣ H 3 ∣ |H_3| ∣H3∣还需要一个代数余子式 C 12 C_{12} C12 C 12 − ∣ 1 1 0 1 2 1 1 1 2 ∣ − ∣ 2 1 0 1 2 1 1 1 2 ∣ ∣ 1 0 0 1 2 1 1 1 2 ∣ C_{12}-\begin{vmatrix}\pmb1\pmb1\pmb0\\\pmb1\pmb2\pmb1\\\pmb1\pmb1\pmb2\end{vmatrix}-\begin{vmatrix}210\\121\\112\end{vmatrix}\begin{vmatrix}100\\121\\112\end{vmatrix} C12− 111121012 − 211121012 111021012 保持第 2 2 2 行和第 3 3 3 行不变使用了第 1 1 1 行的线性性质。右侧的两个行列式是 − ∣ H 3 ∣ -|H_3| −∣H3∣ 和 ∣ H 2 ∣ |H_2| ∣H2∣。所以 4 × 4 4\times4 4×4 的行列式就是 ∣ H 4 ∣ 2 C 11 1 C 12 2 ∣ H 3 ∣ − ∣ H 3 ∣ ∣ H 2 ∣ ∣ H 3 ∣ ∣ H 2 ∣ |H_4|2C_{11}1C_{12}2|H_3|-|H_3||H_2||H_3||H_2| ∣H4∣2C111C122∣H3∣−∣H3∣∣H2∣∣H3∣∣H2∣实际数字 ∣ H 1 ∣ 2 |H_1|2 ∣H1∣2 ∣ H 2 ∣ 3 |H_2|3 ∣H2∣3 ∣ H 3 ∣ 5 |H_3|5 ∣H3∣5 ∣ H 5 ∣ 8 |H_5|8 ∣H5∣8。因为 ∣ H n ∣ 2 , 3 , 5 , 8 , ⋯ |H_n|2,3,5,8,\cdots ∣Hn∣2,3,5,8,⋯ 遵循斐波那契规则 ∣ H n − 1 ∣ ∣ H n − 2 ∣ |H_{n-1}||H_{n-2}| ∣Hn−1∣∣Hn−2∣则必有 ∣ H n ∣ F n 2 |H_n|F_{n2} ∣Hn∣Fn2。
【例9】下面的问题是关于 det A \det A detA 的大公式里的 ± ± ± 号 P P P 是奇数还是偶数
如果 A A A 是 10 × 10 10\times10 10×10 的全 1 1 1 矩阵用大公式如何得到 det A 0 \det A0 detA0如果所有 n ! n! n! 个排列乘在一起得到一个 P P P那么 P P P 是奇数还是偶数 ? ? ?如果每一项 a i j a_{ij} aij 都乘以分数 i / j i/j i/j为什么 det A \det A detA 不变
解
由于所有的 a i j 1 a_{ij}1 aij1所以大公式5.2.8中所有的乘积都是 1 1 1而半数符号是正半数符号是负它们加起来后都会消去所以 det A 0 \det A0 detA0。如果 n 1 n1 n1则所有全 1 1 1 矩阵都是奇异的。乘积 [ 1 0 0 1 ] [ 0 1 1 0 ] \begin{bmatrix}10\\01\end{bmatrix}\begin{bmatrix}01\\10\end{bmatrix} [1001][0110] 是一个奇排列对于 3 × 3 3\times 3 3×3 的情形 3 3 3 个奇排列乘在一起还是奇排列顺序无关。但是对于 n 3 n3 n3 的情形所有奇排列的乘积是偶数。这是因为有 n ! / 2 n!/2 n!/2 个奇排列因为 n ! n! n! 是 4 4 4 的倍数所以这些奇排列的乘积会是一个偶数。每个 a i j a_{ij} aij 乘上分数 i / j i/j i/j所以大公式中的每个乘积 a 1 α a 2 β ⋯ a n ω a_{1\alpha}a_{2\beta}\cdots a_{n\omega} a1αa2β⋯anω 会乘上所有的行数字 i 1 , 2 , ⋯ , n i1,2,\cdots,n i1,2,⋯,n 然后除以所有的列数字 j 1 , 2 , ⋯ , n j1,2,\cdots,n j1,2,⋯,n这个列序是某种排列。这样每个乘积都不变所以 det A \det A detA 也不会变。 另一种方法要 i i i 乘上行 i i i相当于对角矩阵 D diag ( 1 : n ) D\textrm{\pmb{diag}}(1:n) Ddiag(1:n) 乘上矩阵 A A A同样列 j j j 除以 j j j相当于右乘 D − 1 D^{-1} D−1。根据行列式的乘积规则 det D A D − 1 det A \det DAD^{-1}\det A detDAD−1detA。
