越秀网站建设策划,gowers wordpress com,徐州模板厂,网络营销试题前言
导数反映了函数值相对于自变量的变化快慢程度#xff0c;而微分则表明当自变量有微小变化时#xff0c;函数值大体上变化多少
瞬时速度的解决——极限
牛顿采用了一种无限逼近的方法。
平均速度的定义:如果一个物体在一段时间△t内位移了s,它在这段时间内的平均速度…前言
导数反映了函数值相对于自变量的变化快慢程度而微分则表明当自变量有微小变化时函数值大体上变化多少
瞬时速度的解决——极限
牛顿采用了一种无限逼近的方法。
平均速度的定义:如果一个物体在一段时间△t内位移了s,它在这段时间内的平均速度是:△s/△t.
由于物体在某一时刻的位移s由时间t决定因此它是t的函数,可以写成s(t)的形式.如果我们在一个坐标系中用横坐标表示t,纵坐标表示s,那么物体在任意时刻的位移就是一条曲线,如图
如图,当时间间隔△t逐渐变小时△s/△t的比值会越来越接近t.点的速度。最后当△t趋近于0时三角形斜边所在的直线就是曲线在t.点的切线它的斜率就是物体在t.点的瞬时速度 V ( t ) lim △ t → 0 △ s / △ t V(t)\lim\limits_{{△t \to 0}}△s/△t V(t)△t→0lim△s/△t 通过极限的概念牛顿将平均速度和瞬时速度联系起来了。这一点在认识论上有很重大的意义它说明宏观整体的规律和微观瞬时的规律之间并非是孤立的而是有联系的。
当然如果只是通过极限思想计算出一个时间点的瞬时速度比起两千多年前阿基米德用割圆术估算圆周率也没有太多进步。牛顿了不起的地方在于他认识到函数变化的速率也就是函数曲线上每一个点切线的斜率本身又是一种新的函数他称之为流数就是我们今天所说的导数原先的函数也因此被称为原函数。
导数的本质就是对原函数变化快慢的规律性的描述有了导数人们对函数变化快慢的度量就从定性估计精确到定量分析了我们甚至可以准确地度量一个函数在任意一个点的速率变化也可以对比不同函数的速率变化。
导数 看看下面两个例子 例6.求函数 f ( x ) ∣ x ∣ f(x)|x| f(x)∣x∣在x0 处的导数。 即函数可导性与连续性的关系
如果函数在 y f ( x ) yf(x) yf(x)在点 x x x处可导则函数必在该点连续一个函数在某点连续却不一定在该点可导
根据导数定义得初等函数求导公式 函数的四则运算的求导法则 对式3为例子证明
反函数的求导法则 简言之反函数的导数等于直接函数导数的倒数。
复合函数的求导法则 简言之如果里层函数在 x 0 x_0 x0点处可导外层函数在相应的 u 0 u_0 u0 处可导那么复合函数在 x 0 x_0 x0处可导且导数是外层函数在 u 0 u_0 u0处的导数值乘以里层函数在 x 0 x_0 x0 处的导数值。
隐函数的导数 为什么要讨论隐函数的导数呢何不先把隐函数显化然后再求导呢原因是有时候隐函数显化的过程非常困难所以不如直接在隐函数的基础上进行求导来的简单。 对 y 5 y^5 y5求导,可以看成是一个复合函数的操作 g ( y ) y 5 g(y)y^5 g(y)y5 y f ( x ) yf(x) yf(x) 则 g ′ ( x ) g ′ ( y ) f ′ ( x ) 5 y 4 d y d x g(x) g(y)f(x) 5y^4\frac{dy}{dx} g′(x)g′(y)f′(x)5y4dxdy 由参数方程所确定的函数的导数 有时候很难根据参数方程求出其确定的函数表达式从而求导函数。所以我们希望可以直接在参数方程的基础上求导下面我们来讨论如何直接根据参数方程求其确定的函数的导函数。
微分描述微观世界的工具
什么是微分呢它其实就是在前面有关速度的例子中提到的当△t趋近于零时位移量△s的值。对比一般性的函数yf(x),我们用dx表示自变量趋于零的情况用dy表示函数的微分。 如果我们对比一下导数的定义和微分的定义就可以看出它们讲的其实是一回事因为dyf’(x)*dx因此我们也经常直接把导数写成f’(x)dy/dx 如果我们孤立地看微分少就是无穷小定义微分这样一个新概念有什么必要呢
我们用一个具体的例子来说明。假如你是一个工程师要建造一个巨大的储油噬无论增大半径还是增加高度都有相当大的工程难度。而现在建造经费有限只能在一个维度上增大储油罐的体积你应该怎么做呢
我们知道圆柱体的体积等于圆周率π乘以半径平方再乘以高度即 V π r 2 h Vπr^2h Vπr2h.如果要问圆柱体的体积随半径变化快还是随高度变化快.在没有微分这个概念时一般人根据直觉会觉得随半径变化快因为体积和半径之间是平方关系而随高度变化只是线性关系。
真实情况是什么样呢我们可以对这两种变化趋势做量化的对比在半径和高度特定的条件下看看半径增长一个很小的单位体积增加多少再看看高度增加同样的单位体积增加多少。先来看半径增长对体积的影响。 所以当储油罐比较扁平时应该增加高度。
微分在近似计算中的应用 工程上也会近似公式的方式来估值
主要参考
《第十三讲 导数的概念》 《第十四讲 函数的求导法则》 《第十六讲 隐函数和参数方程所确定函数的导数》 《第十七讲 函数的微分》 《微分和导数的关系是什么》
