优化推广网站淄博,马鞍山做网站公司排名,岳阳做网站的公司,平板网站开发KCF 目录 KCF预备知识1. 岭回归2. 循环移位和循环矩阵3. 傅里叶对角化4. 方向梯度直方图#xff08;HOG#xff09; 正文1. 线性回归1.1. 岭回归1.2. 基于循环矩阵获取正负样本1.3. 基于傅里叶对角化的求解 2. 使用非线性回归对模型进行训练2.1. 应用kernel-trick的非线性模型…KCF 目录 KCF预备知识1. 岭回归2. 循环移位和循环矩阵3. 傅里叶对角化4. 方向梯度直方图HOG 正文1. 线性回归1.1. 岭回归1.2. 基于循环矩阵获取正负样本1.3. 基于傅里叶对角化的求解 2. 使用非线性回归对模型进行训练2.1. 应用kernel-trick的非线性模型的求解结果2.2. 快速核方法2.3. 快速检测 3. 快速核相关4. KCF算法流程5. 总结 参考博文 【KCF算法解析】High-Speed Tracking with Kernelized Correlation Filters笔记KCF论文理解与源码解析KCF算法公式推导KCF(High-Speed Tracking with Kernelized Correlation Filters)论文详解KCF目标跟踪方法分析与总结
预备知识
1. 岭回归
首先温习一下最小二乘法.
在矩阵形式下最小二乘法的解 w ( X T X ) − 1 X T Y w (X^TX)^{-1}X^TY w(XTX)−1XTY X X X是一个 m × n m×n m×n的矩阵其中每一行代表样本列代表样本的某一个属性。为了求得 w w w则必须要求矩阵 ( X T X ) (X^TX) (XTX)满秩满秩是可逆的充要条件。然而在解决现实问题时当 X X X中的某些属性相关性较大时 X X X不一定满秩线性相关 ⇔ \Leftrightarrow ⇔行列式为0 ⇔ \Leftrightarrow ⇔矩阵不满秩。除此之外当 n n n的数量大于 m m m即样本矩阵的列数大于行数时 X X X也不满秩因为 此时由于 X T X X^TX XTX不满秩则不可求其逆因此无法算出最优解。那是否可以求一个近似最优解出来呢
一个比较直观的想法是在 X T X X^TX XTX中加上一个单位阵即只有对角线有元素其它处全为0的矩阵该对角阵值的大小由一个参数 λ \lambda λ控制。
这样做的好处是使得 X T X X^TX XTX变成满秩矩阵这样是不是就可以求解了而由于这个满秩矩阵是在原矩阵的基础上添加了扰动项对角阵得来的所以最后求得的 w w w一般不是最优解但是也是比较接近最优解了。当最优解很难很难求解出时可以较为简单地求出接近最优解的解一般是一种更好的选择
最优解 w ( X T X ) − 1 X T Y w (X^TX)^{-1}X^TY w(XTX)−1XTY在加上由参数 λ \lambda λ控制的对角阵后求得的次优解为 w ( X T X λ I n ) − 1 X T Y w (X^TX\lambda I_n)^{-1}X^TY w(XTXλIn)−1XTY 其中 I n I _n In是单位矩阵对角线全是1类似于“山岭”。 λ \lambda λ是岭系数改变其数值可以改变单位矩阵对角线的值。
再反推目标函数可以得到目标函数为 arg min w ∣ ∣ X ⋅ w − Y ∣ ∣ 2 λ ∣ ∣ w ∣ ∣ 2 \mathop{\arg\min}\limits_{w}||X \cdot w-Y||^2\lambda||w||^2 wargmin∣∣X⋅w−Y∣∣2λ∣∣w∣∣2
也就是说岭回归其实就是在最小二乘法的基础上加入了对 w w w的惩罚项当 λ \lambda λ值越大时惩罚强度就越大生成的模型就越简单 ∣ ∣ w ∣ ∣ 2 ||w||^2 ∣∣w∣∣2也被称为L2范数。从整体上来看岭回归是对最小二乘回归的一种补充其损失了无偏性但是获得了较高计算精度和数值稳定性。
这篇岭回归详解 从零开始 从理论到实践讲得可以还有这篇岭回归原理简单分析与理解。
2. 循环移位和循环矩阵
参考【KCF算法解析】High-Speed Tracking with Kernelized Correlation Filters笔记 理解即可注意生成循环矩阵的过程用 X C ( x ) XC(x) XC(x)表示其中 x x x是原向量 X X X是生成的循环矩阵。
3. 傅里叶对角化 All circulant matrices are made diagonal by the Discrete Fourier Transform (DFT), regardless of the generating vector x. 任意循环矩阵可以被傅里叶变换矩阵对角化。 参照这篇博客循环矩阵傅里叶对角化理解即可我也没太懂。
4. 方向梯度直方图HOG
图像特征方向梯度直方图 HOG
正文
全文内容概览参考这篇目标跟踪算法——KCF入门详解即可。
公式推导参考这篇KCF算法公式推导即可。
1. 线性回归
1.1. 岭回归
KCF的基本模型是岭回归器。
线性分类器 f ( x ) w T x (1) f(x)w^Tx \tag 1 f(x)wTx(1) 岭回归的目标函数 arg min w ∣ ∣ X ⋅ w − Y ∣ ∣ 2 λ ∣ ∣ w ∣ ∣ 2 (2) \mathop{\arg\min}\limits_{w}||X \cdot w-Y||^2\lambda||w||^2 \tag 2 wargmin∣∣X⋅w−Y∣∣2λ∣∣w∣∣2(2) 基于岭回归求得的闭式解到底什么是“闭合解Closed-form Solution” w ( X T X λ I n ) − 1 X T Y (3) w(X^TX\lambda I_n)^{-1}X^TY \tag 3 w(XTXλIn)−1XTY(3) 变换到复数域的闭式解 w ( X H X λ I n ) − 1 X H Y (4) w(X^HX\lambda I_n)^{-1}X^HY \tag 4 w(XHXλIn)−1XHY(4) 其中 X X X表示样本矩阵其中每一行代表每一个样本每一列代表所有样本的某个特征值 X H X^H XH表示其复数的共轭转置。
1.2. 基于循环矩阵获取正负样本
假设感兴趣区域的图像patch由一个长度为 n n n的向量 x x x表示 x x x也被称作基样本。这个很好理解吧目标跟踪一般是给定一组连续帧以及需要跟踪的目标在起始帧的位置信息然后在接下来的连续帧中执行跟踪。那么我们最开始能够获得的目标特征就用 x x x表示。
之后原文中的一句话提到 Our goal is to train a classifier with both the base sample (a positive example) and several virtual samples obtained by translating it (which serve as negative examples). 即**作者计划通过基样本来生成正负样本然后送给分类器来训练以获得区分目标区域和其它区域的能力。**这句话也很好理解吧就是基于初始帧以及给定的目标信息获得目标的特征然后在此基础上生成正负样本正样本代表需要跟踪的目标负样本代表背景或者其它干扰信息。这是目标跟踪领域的一个常见思路典型的如TLD、MOOSE都采用了这种方法。
如何基于基样本生成正负样本呢这里得用前面提到的循环矩阵。
对于基样本 x x x生成的循环矩阵 X C ( x ) XC(x) XC(x)文中给了个示意图 OK此时基于循环矩阵得到的正负样本采用岭回归训练线性模型得到在复数域下的解析解和前面的公式相同但是公式中字母的意义不同 w ( X H X λ I n ) − 1 X H Y (5) w(X^HX\lambda I_n)^{-1}X^HY \tag 5 w(XHXλIn)−1XHY(5) 此时 X X X表示由初始向量 x x x基样本生成的循环矩阵 X H X^H XH表示其复数的共轭转置即 X H ( X ∗ ) T X^H(X^*)^T XH(X∗)T X ∗ X^* X∗是 X X X的复数共轭形式。
1.3. 基于傅里叶对角化的求解
还记得前面提到的任意循环矩阵可以被傅里叶变换矩阵对角化吧那么用傅里叶对角化我们就可以更快速地求解。
对于循环矩阵 X X X其可以被傅里叶对角化 X C ( x ) F d i a g ( x ^ ) F H (6) XC(x)F \mathrm{diag}(\hat{x})F^H \tag 6 XC(x)Fdiag(x^)FH(6) 其中 x ^ \hat{x} x^是 x x x的离散傅里叶变换即 x ^ F ( x ⃗ ) \hat{x}\mathcal{F}(\vec{x}) x^F(x )。 F F F是离散傅里叶变换矩阵是一个不依赖于 x x x的常数矩阵。注意离散傅里叶变换矩阵是一个酉矩阵即其满足 F H F F F H I F^HFFF^HI FHFFFHI。
之后经过公式推导参考KCF算法公式推导可以得到线性模型参数 w w w的求解结果 w ^ x ^ ∗ ⊙ y ^ x ^ ∗ ⊙ x ^ λ (7) \hat{w}\frac{\hat{x}^*\odot \hat{y}}{\hat{x}^*\odot \hat{x}\lambda} \tag 7 w^x^∗⊙x^λx^∗⊙y^(7) 注意这里求出的 w ^ \hat{w} w^是 w w w的傅里叶变换形式使用逆向傅里叶变换即可以轻松地在空间域中恢复 w w w这样我们就能在样本线性可分的前提下基于训练样本快速地求解出较优解 w w w也就是能够快速地训练好分类模型。
结果对比 原闭式解 w ( X H X λ I n ) − 1 X H Y w(X^HX\lambda I_n)^{-1}X^HY w(XHXλIn)−1XHY的计算复杂度为 O ( n 3 ) O(n^3) O(n3) 简化后的解 w ^ x ^ ∗ ⊙ y ^ x ^ ∗ ⊙ x ^ λ \hat{w}\frac{\hat{x}^*\odot \hat{y}}{\hat{x}^*\odot \hat{x}\lambda} w^x^∗⊙x^λx^∗⊙y^的复杂度为 O ( n l o g n ) O(nlogn) O(nlogn)
所以引入循环矩阵不仅增强了样本提高了准确率而且简化了运算提高了运行速度。
2. 使用非线性回归对模型进行训练
2.1. 应用kernel-trick的非线性模型的求解结果
上面只考虑了样本矩阵是线性可分的情况而当数据在当前的特征空间中不能线性可分时我们可以考虑把数据特征从当前特征空间映射到更高维的空间从而使得在低维空间不可分的情况到高维空间之后就能变的线性可分了。核函数主要的目的就是把一个线性问题映射到一个非线性核空间这样把在低维空间不可分的到核空间之后就能够可分了。 因此需要找到一个非线性映射函数 φ ( x ) \varphi(x) φ(x)使得映射后的样本在高维空间中线性可分。那么在这个高维空间中就可以**使用岭回归来寻找一个分类器 f ( x i ) w T φ ( x i ) f(x_i)w^T\varphi(x_i) f(xi)wTφ(xi)**其中 φ ( x i ) \varphi(x_i) φ(xi)表示对样本 x i x_i xi通过非线性映射函数 φ \varphi φ变换到高维空间后的样本向量。 对于分类模型 f ( x i ) w T φ ( x i ) f(x_i)w^T\varphi(x_i) f(xi)wTφ(xi) f ( x i ) f(x_i) f(xi)和 x i x_i xi都已知 φ ( ⋅ ) \varphi(\cdot) φ(⋅)取决于我们选取的映射函数因此主要是想求得对 w w w的解在使用Kernel-trick之后 w w w可以用训练样本的线性组合来表示 w ∑ i α i φ ( x i ) (8) w\sum_i{\alpha_i \varphi(x_i)} \tag 8 wi∑αiφ(xi)(8) 则最优化问题不再是求解 w w w而是 α \alpha α。至于为什么可以将 w w w表示为样本的线性组合可以参考这篇高维映射 与 核方法Kernel Methods里面有详细的解释建议精读。 线性条件下的回归问题经过非线性变换后对于新样本 z z z的预测值为 f ( z ) w T z ( ∑ i n α i φ ( x i ) ) T ⋅ φ ( z ) ∑ i n α i φ ( x i ) T φ ( z ) ∑ i n α i κ ( x i , z ) \begin{align*} f(z)w^Tz\\ (\sum_i^n{\alpha_i\varphi(x_i)})^T\cdot\varphi(z)\\ \sum_i^n{\alpha_i\varphi(x_i)}^T\varphi(z)\\ \tag9 \sum_i^n{\alpha_i\kappa(x_i,z)} \end{align*} f(z)wTz(i∑nαiφ(xi))T⋅φ(z)i∑nαiφ(xi)Tφ(z)i∑nαiκ(xi,z)(9) 其中 x i x_i xi代表训练分类器时的训练样本 z z z代表新出现的测试样本。即预测其实是新样本与所有训练样本在高维空间中内积的加权平均。
对于 α \alpha α的求解原文写得比较省略原文中非线性情况下的最终求解结果公式16为 α ( K λ I ) − 1 y (10) \alpha(K\lambda I)^{-1}y \tag {10} α(KλI)−1y(10) 注意这里的优化目标不是用 w w w而是用字母 α \alpha α表示 K K K代表核矩阵。 推导过程还是推荐仔细阅读这篇高维映射 与 核方法Kernel Methods阅读完之后也能了解什么是核技巧以及为什么优化目标从线性可分情况下的 w w w换成了 α \alpha α。
2.2. 快速核方法
当采用基于Kernel trick的非线性模型训练时最终求解目标 α ( K λ I ) − 1 y \alpha(K\lambda I)^{-1}y α(KλI)−1y包含了核矩阵 K K K。
而从核矩阵 K K K的公式中可以显而易见地发现当数据样本量过大时会导致核矩阵 K K K过大从而使得计算的时间复杂度和空间复杂度都很高。 核方法并非没有缺点。原来的线性模型显然是一种参数化方法好处是训练完成的模型只需要存储权重向量 。然而在使用了核方法以后由于我们用训练集替换掉了权重项因此相当于转化成了非参数化的方法显然增加了需要存储的数据量同时每一次做预测都需要用到全部训练数据集。 因此本节中提到了一种快速的核回归方法。即怎么去计算核函数怎么快速得到最优解。
原文的思路是如果能证明核矩阵 K K K对于数据集来说是循环矩阵就可以对其进行对角化以加速求解过程。
通过施加一个条件来允许K循环。
定理一给定循环矩阵 C ( x ) C(x) C(x)如果核函数 κ \kappa κ对于任何置换矩阵 M M M都满足 κ ( x , x ′ ) κ ( M x , M x ′ ) \kappa(x,x)\kappa(Mx,Mx) κ(x,x′)κ(Mx,Mx′)则 C ( x ) C(x) C(x)在核函数 κ \kappa κ下对应的核矩阵 K K K是循环矩阵。
证明过程假定有一个置换矩阵 P P P如 P [ 0 0 0 ⋯ 1 1 0 0 ⋯ 0 0 1 0 ⋯ 0 0 0 1 ⋯ 0 ⋯ ⋯ ⋯ ⋯ ⋯ ] (11) P\begin{bmatrix} 0 0 0 \cdots 1\\ 1 0 0 \cdots 0\\ 0 1 0 \cdots 0\\ 0 0 1 \cdots 0\\ \cdots \cdots \cdots \cdots \cdots\\ \end{bmatrix} \tag{11} P 0100⋯0010⋯0001⋯⋯⋯⋯⋯⋯1000⋯ (11) 即对于基样本 x x x有 x 1 P 0 x x [ x 1 , x 2 , ⋯ , x n ] T x 2 P 1 x [ x n , x 1 , ⋯ , x n − 1 ] T ⋯ x n P n − 1 x [ x 2 , x 3 , ⋯ , x 1 ] T (12) x_1P^0xx[x_1,x_2,\cdots,x_n]^T\\ x_2P^1x[x_n,x_1,\cdots,x_{n-1}]^T\\ \tag{12} \cdots \\ x_nP^{n-1}x[x_2,x_3,\cdots,x_1]^T x1P0xx[x1,x2,⋯,xn]Tx2P1x[xn,x1,⋯,xn−1]T⋯xnPn−1x[x2,x3,⋯,x1]T(12) 则: K i j κ ( x i , x j ) κ ( P i x , P j x ) \begin{align*} K_{ij}\kappa(x_i, x_j) \\ \tag{13} \kappa(P^ix,P^jx)\\ \end{align*} Kijκ(xi,xj)κ(Pix,Pjx)(13) 可以看到从核矩阵 K K K的公式中可以发现
核矩阵中第 i i i行第 j j j列的值就是第 i i i和第 j j j个样本经过核函数之后得到的值再逐元素相乘计算出的内积。
而我们的样本矩阵是在基向量 x x x的基础上经过循环变换得到的循环矩阵也就是说这个式子刚好满足我们之前的所有假设和前提。这里可能有点绕得细细思考一会。
现在由于定理中提到的是任意变换 M M M那我们就假设 M M M这个置换矩阵为 P − i P^{-i} P−i。
由于 κ ( x , x ′ ) κ ( M x , M x ′ ) \kappa(x,x)\kappa(Mx,Mx) κ(x,x′)κ(Mx,Mx′)所以有 κ ( M x i , M x j ) κ ( x i , x j ) κ ( P − i P i x , P − i P j x ) κ ( x , P j − i x ) K i j \begin{align*} \kappa(Mx_i, Mx_j)\kappa(x_i, x_j) \\ \kappa(P^{-i}P^ix,P^{-i}P^jx)\\ \tag{14} \kappa(x,P^{j-i}x)\\ K_{ij} \end{align*} κ(Mxi,Mxj)κ(xi,xj)κ(P−iPix,P−iPjx)κ(x,Pj−ix)Kij(14) 由于 P n P 0 P^nP^0 PnP0也就是当 j − i j-i j−i的值每到 n n n时为一个循环所以上式可以改写为 K i j κ ( x , P ( j − i ) m o d n x ) K_{ij}\kappa(x,P^{(j-i)mod\space n}x) Kijκ(x,P(j−i)mod nx)即 K [ κ ( x , P 0 x ) κ ( x , P 1 x ) ⋯ κ ( x , P n − 1 x ) κ ( x , P 1 x ) κ ( x , P 2 x ) ⋯ κ ( x , P 0 x ) ⋮ ⋮ ⋱ ⋮ κ ( x , P n − 1 x ) κ ( x , P 0 x ) ⋯ κ ( x , P n − 2 x ) ] (15) K\begin{bmatrix} \kappa(x,P^{0}x) \kappa(x,P^{1}x) \cdots \kappa(x,P^{n-1}x)\\ \kappa(x,P^{1}x) \kappa(x,P^{2}x) \cdots \kappa(x,P^{0}x)\\ \vdots \vdots \ddots \vdots \\ \tag{15} \kappa(x,P^{n-1}x) \kappa(x,P^{0}x) \cdots \kappa(x,P^{n-2}x) \end{bmatrix} K κ(x,P0x)κ(x,P1x)⋮κ(x,Pn−1x)κ(x,P1x)κ(x,P2x)⋮κ(x,P0x)⋯⋯⋱⋯κ(x,Pn−1x)κ(x,P0x)⋮κ(x,Pn−2x) (15) 可以看到此时核矩阵 K K K是一个循环矩阵。
原文中提到下面的核函数都满足定理一
径向基函数核如高斯核点积核如线性核、多项式核加权核如交集、 χ 2 \chi^2 χ2指数加权核
当 K K K为循环矩阵时由前面关于循环矩阵的知识可以得知核矩阵 K K K中的所有元素都是基于其第一行这个向量循环移位得到的。令 k x x k^{xx} kxx为核矩阵 K K K中的第一行向量则 K C ( k x x ) KC(k^{xx}) KC(kxx)。
原文中非线性情况下的最终求解结果公式16为 α ( K λ I ) − 1 y (10) \alpha(K\lambda I)^{-1}y \tag{10} α(KλI)−1y(10) 由于 K K K为循环矩阵则可以应用傅里叶对角化求解 α ( K λ I ) − 1 y ( C ( k x x ) λ I ) − 1 y ( F d i a g ( k ^ x x ) F H λ I ) − 1 y ( F d i a g ( k ^ x x λ ) F H ) − 1 y ( F H ) − 1 ( d i a g ( k ^ x x λ ) − 1 ) F − 1 y F d i a g ( k ^ x x λ ) − 1 F H y F d i a g ( 1 k ^ x x λ ) F H y \begin{align*} \alpha(K\lambda I)^{-1}y\\ (C(k^{xx})\lambda I)^{-1}y\\ (F\mathrm{diag}(\hat{k}^{xx})F^H\lambda I)^{-1}y\\ (F\mathrm{diag}(\hat{k}^{xx}\lambda)F^H)^{-1}y\\ (F^H)^{-1}(\mathrm{diag}(\hat{k}^{xx}\lambda)^{-1})F^{-1}y\\ \tag{16} F\mathrm{diag}(\hat{k}^{xx}\lambda)^{-1}F^Hy\\ F\mathrm{diag}(\frac{1}{\hat{k}^{xx}\lambda})F^Hy \end{align*} α(KλI)−1y(C(kxx)λI)−1y(Fdiag(k^xx)FHλI)−1y(Fdiag(k^xxλ)FH)−1y(FH)−1(diag(k^xxλ)−1)F−1yFdiag(k^xxλ)−1FHyFdiag(k^xxλ1)FHy(16) 这里用到了离散傅里叶变换矩阵是酉矩阵的性质对公式两边进行离散傅里叶变换得到 α ^ y ^ k ^ x x λ (17) \hat{\alpha}\frac{\hat{y}}{\hat{k}^{xx}\lambda} \tag{17} α^k^xxλy^(17) 从上面这个公式也就是原文中的公式(17)可以发现当保证核矩阵 K K K为循环矩阵时通过傅里叶对角化可以使得对 α \alpha α的求解过程只需要涉及到核矩阵 K K K中的第一行向量 k ^ x x \hat{k}^{xx} k^xx 1 × n 1\times n 1×n大小而 k ^ x x \hat{k}^{xx} k^xx是随着样本数量线性变化的。这意味着什么传统的核方法需要计算一个 n × n n\times n n×n的核矩阵与样本数量呈平方增长。
这意味着快速核方法大大节省了空间资源和时间资源。
2.3. 快速检测
在2.2节中得到了系数 α \alpha α的简化求解形式训练过程而为了进一步提高算法的运行速度文章对检测的过程也进行了简化加速。
首先由训练样本和其对应的标签训练检测器其中训练集是由目标区域和由其移位得到的若干样本组成对应的标签是根据距离越近正样本可能性越大的准则赋值的然后可以得到 α \alpha α。
由式(9)可得当对新样本 z z z待检测的图像patch进行检测时有 f ( z ) K α (18) f(z)K\alpha \tag{18} f(z)Kα(18) 注意岭回归中包含的正则化只在训练时使用对于预测直接用求解好的 α \alpha α和核矩阵 K K K即可。
现在用 K z K^z Kz替换 K K K考虑到实际情况式(18)变为 f ( z ) ( K z ) T α (19) f(z)(K^z)^T\alpha \tag{19} f(z)(Kz)Tα(19) 其中 K z C ( k x z ) K^zC(k^{xz}) KzC(kxz)表示训练样本和待检测样本之间的核矩阵是一个非对称矩阵。 k x z k^{xz} kxz表示由基样本 x x x和基础待检测图像patch z z z计算得到的核相关向量 C C C仍代表循环位移操作。
由前面的内容易知 K z K^z Kz中的元素可以被表示为 κ ( P i − 1 z , P j − 1 x ) \kappa(P^{i-1}z,P^{j-1}x) κ(Pi−1z,Pj−1x) P P P的定义如式(11)所示。
基于定理一同样可以证明训练样本和检测样本之间的核矩阵 K z K^z Kz为循环矩阵因此可以对其进行傅里叶对角化有 f ( z ) ( K z ) T α ( C ( k x z ) ) T α ( F d i a g ( k ^ x z ) F H ) T α F H d i a g ( k ^ x z ) F α \begin{align*} f(z)(K^z)^T\alpha \\ (C(k^{xz}))^T\alpha\\ (F\mathrm{diag}(\hat{k}^{xz})F^H)^T\alpha \\ \tag{20} F^H\mathrm{diag}(\hat{k}^{xz})F\alpha \end{align*} f(z)(Kz)Tα(C(kxz))Tα(Fdiag(k^xz)FH)TαFHdiag(k^xz)Fα(20) 考虑到离散傅里叶变换矩阵 F F F的性质则有 F f ( z ) d i a g ( k ^ x z ) F α (21) Ff(z)\mathrm{diag}(\hat{k}^{xz})F\alpha \tag{21} Ff(z)diag(k^xz)Fα(21) 舍掉 F F F再进行傅里叶变换则可以得到最终的快速检测公式 f ^ ( z ) k ^ x z ⊙ α ^ (22) \hat{f}(z)\hat{k}^{xz}\odot\hat{\alpha} \tag{22} f^(z)k^xz⊙α^(22) 该公式可以理解为用 α \alpha α对核矩阵 K z K^z Kz进行空间滤波操作或者是线性加权生成的 f ( z ) f(z) f(z)是一个向量代表所有可能位置的置信度值最大的置信度值对应的patch即作为检测的输出。
3. 快速核相关
尽管前面已经提出了快速训练和快速检测的方法但它们仍依赖于计算两个图像块的核相关性这一过程如 k x x k^{xx} kxx和 k x z k^{xz} kxz根据前面的内容核相关操作包含了计算两个输入及所有相对位移的高维特征点乘值这是最后一个需要解决的计算瓶颈。因此本节对核相关过程进行了加速。
这一节主要就是介绍几种常见的核函数的形式以及每种核函数所对应的快速计算方式。 点积核 k x x ′ g ( F − 1 ( x ^ ∗ ⊙ x ^ ′ ) ) (23) k^{xx}g(\mathcal{F}^{-1}(\hat{x}^*\odot\hat{x})) \tag{23} kxx′g(F−1(x^∗⊙x^′))(23) 多项式核 k x x ′ ( F − 1 ( x ^ ∗ ⊙ x ^ ′ ) a ) b (24) k^{xx}(\mathcal{F}^{-1}(\hat{x}^*\odot\hat{x})a)^b \tag{24} kxx′(F−1(x^∗⊙x^′)a)b(24) 对于某种径向基函数 h h h其核函数可表示为 k x x ′ h ( ∣ ∣ x ′ ∣ ∣ 2 ∣ ∣ x ∣ ∣ 2 − 2 F − 1 ( x ^ ∗ ⊙ x ^ ′ ) ) (25) k^{xx}h(||x||^2||x||^2-2\mathcal{F}^{-1}(\hat{x}^*\odot\hat{x})) \tag{25} kxx′h(∣∣x′∣∣2∣∣x∣∣2−2F−1(x^∗⊙x^′))(25) 高斯核 k x x ′ e x p ( − 1 σ 2 ( ∣ ∣ x ′ ∣ ∣ 2 ∣ ∣ x ∣ ∣ 2 − 2 F − 1 ( x ^ ∗ ⊙ x ^ ′ ) ) ) (26) k^{xx}exp(-\frac{1}{\sigma^2}(||x||^2||x||^2-2\mathcal{F}^{-1}(\hat{x}^*\odot\hat{x}))) \tag{26} kxx′exp(−σ21(∣∣x′∣∣2∣∣x∣∣2−2F−1(x^∗⊙x^′)))(26)
4. KCF算法流程 5. 总结
