360网站怎么做链接,石家庄网架公司,在国外建设网站,绍兴seo排名公司文章目录 简单密码算法模运算数学定义置换移位代换仿射 参考文献 简单密码算法
模运算数学定义
模m剩余类集 Z m Z_m Zm 设∀a,b∈Z#xff08;整数#xff09;#xff0c;m为正整数 m|b-a #xff0c;称a R b R满足反身性、对称性、传递性 1、R为同余关系#xff0c;… 文章目录 简单密码算法模运算数学定义置换移位代换仿射 参考文献 简单密码算法
模运算数学定义
模m剩余类集 Z m Z_m Zm 设∀a,b∈Z整数m为正整数 m|b-a 称a R b R满足反身性、对称性、传递性 1、R为同余关系也是Z的一个等价关系。 2、记为a≡b(mod m)即 a同余于b模m。 3、[a]为整数集Z的一个模m剩余类 (1) [a]可记为 a ‾ \overline {a} a (2) 对应的商集为Z的模m剩余类集记作 Z m Z_m Zm
环 1、 Z m Z_m Zm 上定义加法和乘法都具有运算封闭性、符合交换律和结合律。 2、加法有逆元和单位元乘法只有单位元。 3、加法逆元是 m − a ‾ \overline{m-a} m−a单位元是 0 ‾ \overline{0} 0 加法构成群。 4、乘法单位元是 1 ‾ \overline{1} 1乘法无逆元因此就乘法运算只能是半群乘法构成半群。 5、乘法与加法存在分配律 ( a b ) c ( a c ) ( b c ) (ab)c(ac)(bc) (ab)c(ac)(bc) c ( a b ) ( c a ) ( c b ) c(ab)(ca)(cb) c(ab)(ca)(cb) 因此构成了环。
置换
移位
定义移位映射 e k ( x ) ( x k ) m o d 26 d k ( y ) ( y − k ) m o d 26 e k 、 d k 互为逆映射 e k 为加密 d k 为解密。 注意这里的 e k 、 d k 映射为单射。 e_k(x)(xk) \quad mod \quad 26\\ d_k(y)(y-k) \quad mod \quad 26\\ e_k、d_k互为逆映射e_k为加密d_k为解密。 \\注意这里的e_k、d_k映射为单射。 ek(x)(xk)mod26dk(y)(y−k)mod26ek、dk互为逆映射ek为加密dk为解密。注意这里的ek、dk映射为单射。 设k3x为D则加密结果为Gy为G解密结果为D。实质上移位也是一种置换。
设X为一个集合含有n个元素每个元素对应原文的一个字母或一个字节如果是字母则有26个如果是字节则有256 2 8 2^8 28个。 定义 S n { φ ∣ φ 是 X 上的双射 } 称 s n 中的元素为 n 元置换。 令集合 X { 1 , 2 , 3 , . . . , n } 任意置换 φ ∈ S n 可表示为如下形式 φ ( 1 2 . . . n φ ( 1 ) φ ( 2 ) . . . φ ( n ) ) 此处也可设 X { 0 , 1 , 2 , 3 , . . . , n − 1 } φ ( 0 1 . . . n − 1 φ ( 0 ) φ ( 1 ) . . . φ ( n − 1 ) ) 定义S_n\{φ|φ是X上的双射\}\\ 称s_n中的元素为n元置换。\\ 令集合 X\{1,2,3,...,n\} 任意置换φ∈S_n可表示为如下形式\\ φ\begin{pmatrix} 1 2 ...n\\ φ(1) φ(2)...φ(n) \end{pmatrix} \\此处也可设 X\{0,1,2,3,...,n-1\} \\ φ\begin{pmatrix} 0 1 ...n-1\\ φ(0) φ(1)...φ(n-1) \end{pmatrix} 定义Sn{φ∣φ是X上的双射}称sn中的元素为n元置换。令集合X{1,2,3,...,n}任意置换φ∈Sn可表示为如下形式φ(1φ(1)2φ(2)......nφ(n))此处也可设X{0,1,2,3,...,n−1}φ(0φ(0)1φ(1)......n−1φ(n−1)) 这里的 φ φ φ就是 e k e_k ek也可以是 d k d_k dk。 移位规定的 φ φ φ就是置换 φ ( x ) ( x k ) m o d n k 是秘钥 φ(x)(xk) \quad mod \quad n \\ k是秘钥 φ(x)(xk)modnk是秘钥 看一个置换 φ ( 0 1 . . . n − 1 φ ( 0 ) φ ( 1 ) . . . φ ( n − 1 ) ) 定义 s 5 中的 φ ( x ) ( x k ) m o d 5 , k 3 , n 5 φ ( 0 1 2 3 4 3 4 0 1 2 ) 置换 φ 为长度为 5 的轮换 φ\begin{pmatrix} 0 1 ...n-1\\ φ(0) φ(1)...φ(n-1) \end{pmatrix} \\定义s_5中的φ(x)(xk) \quad mod \quad 5 ,k3,n5 \\ φ\begin{pmatrix} 01 2 34\\ 34 012 \end{pmatrix} \\置换φ为长度为5的轮换 φ(0φ(0)1φ(1)......n−1φ(n−1))定义s5中的φ(x)(xk)mod5,k3,n5φ(0314203142)置换φ为长度为5的轮换 任意置换 φ ∈ S 26 φ∈S_{26} φ∈S26对于26个字母来说即定义了移位运算移位映射φ
代换
当然如果在这里指定置换φ函数中每个自变量对应的函数值即分段常数函数就是代换。 26个字母共有 26 26 26种置换一个字节共有 256 256 256种置换。 每种置换构成一个密码表每个原文以及对应的密文组成
仿射 φ ( x ) ( a x b ) m o d n n 为 26 或 256 φ(x)(axb) \quad mod \quad n \\ \\n为26或256 φ(x)(axb)modnn为26或256 1、加密映射定义如下 n 为 26 或 256 , 映射为单射 e ( x ) ( a x b ) m o d n n为26或256,映射为单射 \\ e(x)( axb)\quad mod \quad n n为26或256,映射为单射e(x)(axb)modn 因为同余方程 a x ≡ b ( m o d m ) 有唯一解的充要条件是 g c d ( a , m ) 1 ax≡b(mod \quad m)有唯一解的充要条件是gcd(a,m)1 ax≡b(modm)有唯一解的充要条件是gcd(a,m)1 所以规定 g c d ( a , n ) 1 即 a 与 n 互素 gcd(a,n)1即a与n互素 gcd(a,n)1即a与n互素 2、解密映射定义如下 同余方程 y ≡ a x b ( m o d n ) a x ≡ y − b ( m o d n ) a − 1 ( a x ) ≡ a − 1 ( y − b ) ( m o d n ) d ( y ) a − 1 ( y − b ) m o d n n 为 26 或 256 , 映射为单射 同余方程y≡axb (mod \quad n) \\ax≡y-b (mod \quad n) \\a^{-1}(ax)≡a^{-1}(y-b) (mod \quad n) \\d(y)a^{-1}(y-b) \quad mod \quad n \\n为26或256,映射为单射 同余方程y≡axb(modn)ax≡y−b(modn)a−1(ax)≡a−1(y−b)(modn)d(y)a−1(y−b)modnn为26或256,映射为单射 3、密钥为 ( a , b ) a , b ∈ Z n (a,b) \quad a,b∈Z_n (a,b)a,b∈Zn
参考文献
1、《密码学原理与实践第三版》 2、《抽象代数》
