安徽宿州住房与城乡建设玩网站,网站视频接口 怎么做,比较好的做外贸网站,免费做h5的平台文章目录第一章 命题逻辑常用latex数学公式1.4.5679101113171923242627第二章 一阶逻辑1.2.3.6.9.10.12.13.一阶逻辑推理理论12.13.15.第三章 集合2478101213.第一章 命题逻辑
常用latex数学公式
符号代码∨\vee∨$\vee$∧\wedge∧$\wedge$→\rightarrow→$\rightarrow$⇒\Ri…
文章目录第一章 命题逻辑常用latex数学公式1.4.5679101113171923242627第二章 一阶逻辑1.2.3.6.9.10.12.13.一阶逻辑推理理论12.13.15.第三章 集合2478101213.第一章 命题逻辑
常用latex数学公式
符号代码∨\vee∨$\vee$∧\wedge∧$\wedge$→\rightarrow→$\rightarrow$⇒\Rightarrow⇒$\Rightarrow$⇒\Rightarrow⇒$\Rightarrow$⇔\Leftrightarrow⇔$\Leftrightarrow$↔\leftrightarrow↔$\leftrightarrow$¬\neg¬$\neg$
→R2→R2−R1Substractrow1fromrow2(A3)\xrightarrow[R_2\, \rightarrow R_2\,-R_1 ]{Substract \,row \,1 \,from \,row \,2} (A_3)Substractrow1fromrow2R2→R2−R1(A3)
A→下方文字上方文字BA\xrightarrow[下方文字 ]{上方文字} BA上方文字下方文字B
1.
(12)
p:4是2的倍数 q:4是3的倍数
原命题⇔\Leftrightarrow⇔p∨\vee∨q
是复合命题
(16)
是简单命题
(18)
p:4是素数
Γ\GammaΓp是复合命题
4.
(1)
p:今天是1号 q:明天是2号
原命题⇔\Leftrightarrow⇔p→\rightarrow→q p为真q也为真 p→\rightarrow→q为真 p为假q也为假 p→\rightarrow→q为真p→\rightarrow→q为重言式
(2)
p:今天是1号 q:明天是3号
原命题⇔\Leftrightarrow⇔p→\rightarrow→q p为真则q为假 则p→\rightarrow→q为假 p为假则 q无论真假p→\rightarrow→q都为真
5
(1)
p:王威为100米冠军 q:王威为200米冠军
p∧\wedge∧q
(3)
p:天气冷 q:老王来了
p∧\wedge∧q
(6)
p:天下雨 q他乘车上学
p↔\leftrightarrow↔q 或 (p∧\wedge∧q)∧\wedge∧(¬\neg¬p∧\wedge∧¬\neg¬q)
(8)
p:经一事 q:长一智
¬\neg¬p→\rightarrow→¬\neg¬q
6
(1)p∨\vee∨(q∧\wedge∧r)
q∧\wedge∧r0
p∨\vee∨(q∧\wedge∧r)0
(2)(p↔\leftrightarrow↔q)∧\wedge∧(¬\neg¬q∨\vee∨s)
p↔\leftrightarrow↔q0
(p↔\leftrightarrow↔q)∧\wedge∧(¬\neg¬q∨\vee∨s)0
(3)(p∧\wedge∧(q∨\vee∨s))→\rightarrow→((p∨\vee∨q)∧\wedge∧(r∧\wedge∧s))
q∨\vee∨s1
p∧\wedge∧(q∨\vee∨s)0
蕴含式前件为0整个公式真值为1
(4)¬\neg¬(p∨\vee∨(q→\rightarrow→(¬\neg¬p∧\wedge∧r)))→\rightarrow→(r∨\vee∨¬\neg¬s)
q真值为0
q→\rightarrow→(¬\neg¬p∧\wedge∧r)1
p∨\vee∨(q→\rightarrow→(¬\neg¬p∧\wedge∧r)1
¬\neg¬(p∨\vee∨(q→\rightarrow→(¬\neg¬p∧\wedge∧r)))0
¬\neg¬(p∨\vee∨(q→\rightarrow→(¬\neg¬p∧\wedge∧r)))→\rightarrow→(r∨\vee∨¬\neg¬s)1
(5)(¬\neg¬p∧\wedge∧¬\neg¬q)→\rightarrow→(r∧\wedge∧s)
¬\neg¬p∧\wedge∧¬\neg¬q1
r∧\wedge∧s1
(¬\neg¬p∧\wedge∧¬\neg¬q)→\rightarrow→(r∧\wedge∧s)1
7
(2)
p那房子有三室一厅 q:面积在100m2m^2m2以上 r:老王要房子
符号化原命题p∧\wedge∧q→\rightarrow→r
p q rp∧\wedge∧qp∧\wedge∧q→\rightarrow→r0 0 0010 0 1010 1 0010 1 1011 0 0011 0 1011 1 0101 1 111
由真值表可知除了在房子有三室一厅且面积在100m2m^2m2 以上老王不要房子其余情况命题为真
9
(2)((p→\rightarrow→q)∧\wedge∧(q→\rightarrow→p))↔\leftrightarrow↔(p↔\leftrightarrow↔q)
(p↔\leftrightarrow↔q)↔\leftrightarrow↔(p↔\leftrightarrow↔q) (等值等价式)
为重言式
10
(3)
¬\neg¬(p↔\leftrightarrow↔q)⇔\Leftrightarrow⇔((p∨\vee∨q)∧\wedge∧¬\neg¬(p∧\wedge∧q))
(p∨\vee∨q)∧\wedge∧¬\neg¬(p∧\wedge∧q)
⇔\Leftrightarrow⇔ ¬\neg¬(¬\neg¬(p∨\vee∨q)∨\vee∨¬\neg¬¬\neg¬(p∧\wedge∧q)) (德摩根律)
⇔\Leftrightarrow⇔ ¬\neg¬(¬\neg¬(p∨\vee∨q)∨\vee∨(p∧\wedge∧q)) (双重否定律)
⇔\Leftrightarrow⇔¬\neg¬(((¬\neg¬p∧\wedge∧¬\neg¬q)∨\vee∨p)∧\wedge∧((¬\neg¬p∧\wedge∧¬\neg¬q)∨\vee∨q))) (德摩根律分配律)
⇔\Leftrightarrow⇔¬\neg¬(((¬\neg¬p∨\vee∨p)∧\wedge∧(¬\neg¬q∨\vee∨p))∧\wedge∧((¬\neg¬p∨\vee∨q)∧\wedge∧(¬\neg¬q∨\vee∨q))) (分配律)
⇔\Leftrightarrow⇔¬\neg¬((1∧\wedge∧(¬\neg¬q∨\vee∨p))∧\wedge∧((¬\neg¬p∨\vee∨q)$\wedge$1))) (排中律)
⇔\Leftrightarrow⇔¬\neg¬((¬\neg¬q∨\vee∨p)∧\wedge∧(¬\neg¬p∨\vee∨q)) (同一律)
⇔\Leftrightarrow⇔¬\neg¬((q→\rightarrow→p)∧\wedge∧(p→\rightarrow→ q)) (蕴含等值式)
⇔\Leftrightarrow⇔¬\neg¬(p↔\leftrightarrow↔q) (等价等值式)
11
(1)
已知A∨\vee∨C⇔\Leftrightarrow⇔B∨\vee∨C
则A∨\vee∨C↔\leftrightarrow↔B∨\vee∨C为重言式
若 (A∨\vee∨C↔\leftrightarrow↔B∨\vee∨C)↔\leftrightarrow↔(A↔\leftrightarrow↔B)成立
则A↔\leftrightarrow↔B为重言式则A⇔\Leftrightarrow⇔B成立
A∨\vee∨C↔\leftrightarrow↔B∨\vee∨C
⇔\Leftrightarrow⇔((A∨\vee∨C)→\rightarrow→(B∨\vee∨C))∧\wedge∧((B∨\vee∨C)→\rightarrow→(A∨\vee∨C)) 等价等值式
⇔\Leftrightarrow⇔(¬\neg¬(A∨\vee∨C)∨\vee∨(B∨\vee∨C))∧\wedge∧(¬\neg¬(B∨\vee∨C)∨\vee∨(A∨\vee∨C)) 蕴含等值式
⇔\Leftrightarrow⇔((¬\neg¬A∧\wedge∧¬\neg¬C)∨\vee∨(B∨\vee∨C))∧\wedge∧((¬\neg¬B∧\wedge∧¬\neg¬C)∨\vee∨(A∨\vee∨C)) 德摩根律
⇔\Leftrightarrow⇔(((B∨\vee∨C)∨\vee∨¬\neg¬A)∧\wedge∧((B∨\vee∨C)∨\vee∨¬\neg¬C))∧\wedge∧(((A∨\vee∨C)∨\vee∨¬\neg¬B)∧\wedge∧((A∨\vee∨C)∨\vee∨¬\neg¬C)) 分配律
⇔\Leftrightarrow⇔(B∨\vee∨C∨\vee∨¬\neg¬A)∧\wedge∧(B$\vee1)1)1)\wedge(A(A(A\veeCCC\vee$¬\neg¬B)∧\wedge∧(A$\vee$1) 排中律
⇔\Leftrightarrow⇔ (B∨\vee∨C∨\vee∨¬\neg¬A)∧\wedge∧(A∨\vee∨C∨\vee∨¬\neg¬B) 同一律
⇔\Leftrightarrow⇔C∨\vee∨((B∨\vee∨¬\neg¬A)∧\wedge∧(A∨\vee∨¬\neg¬B)) 分配律
⇔\Leftrightarrow⇔C∨\vee∨((A→\rightarrow→B)∧\wedge∧(B→\rightarrow→A)) 蕴含等值式
⇔\Leftrightarrow⇔C∨\vee∨(A↔\leftrightarrow↔B) 等价等值式
与A↔\leftrightarrow↔B不等值
A⇔\Leftrightarrow⇔B不一定成立
(3)
已知¬\neg¬A⇔\Leftrightarrow⇔¬\neg¬B
则¬\neg¬A↔\leftrightarrow↔¬\neg¬B为重言式
¬\neg¬A↔\leftrightarrow↔¬\neg¬B
⇔\Leftrightarrow⇔A↔\leftrightarrow↔B
故A↔\leftrightarrow↔B也为重言式
A⇔\Leftrightarrow⇔B成立
13
(2)(p→\rightarrow→(q∧\wedge∧¬\neg¬p))∧\wedge∧¬\neg¬r∧\wedge∧q
⇔\Leftrightarrow⇔(¬\neg¬p∨\vee∨(q∧\wedge∧¬\neg¬p))∧\wedge∧¬\neg¬r∧\wedge∧q (蕴含等值式)
⇔\Leftrightarrow⇔¬\neg¬(p∧\wedge∧¬\neg¬(q∧\wedge∧¬\neg¬p))∧\wedge∧¬\neg¬r∧\wedge∧q (德摩根式)
17
(3)(p∨\vee∨(q∧\wedge∧r))→\rightarrow→(p∨\vee∨q∨\vee∨r)
⇔\Leftrightarrow⇔¬\neg¬(p∨\vee∨(q∧\wedge∧r))∨\vee∨(p∨\vee∨q∨\vee∨r) (蕴含等值式)
⇔\Leftrightarrow⇔(¬\neg¬p∧\wedge∧(¬\neg¬q∨\vee∨¬\neg¬r))∨\vee∨p∨\vee∨q∨\vee∨r (两次德摩根式)
⇔\Leftrightarrow⇔(¬\neg¬p∧\wedge∧¬\neg¬q)∨\vee∨(¬\neg¬p∧\wedge∧¬\neg¬r)∨\vee∨p∨\vee∨q∨\vee∨r (分配律)
⇔\Leftrightarrow⇔((¬\neg¬p∧\wedge∧¬\neg¬q)∧\wedge∧(r∨\vee∨¬\neg¬r))∨\vee∨(¬\neg¬p∧\wedge∧¬\neg¬r)∨\vee∨p∨\vee∨q∨\vee∨r (排中律)
⇔\Leftrightarrow⇔(¬\neg¬p∧\wedge∧¬\neg¬q∧\wedge∧r)∨\vee∨(¬\neg¬p∧\wedge∧¬\neg¬q∧\wedge∧¬\neg¬r)∨\vee∨(¬\neg¬p∧\wedge∧¬\neg¬r)∨\vee∨p∨\vee∨q∨\vee∨r (分配律)
⇔\Leftrightarrow⇔(¬\neg¬p∧\wedge∧¬\neg¬q∧\wedge∧r)∨\vee∨(¬\neg¬p∧\wedge∧¬\neg¬q∧\wedge∧¬\neg¬r)∨\vee∨(¬\neg¬p∧\wedge∧q∧\wedge∧¬\neg¬r)∨\vee∨(¬\neg¬p∧\wedge∧¬\neg¬q∧\wedge∧¬\neg¬r)∨\vee∨p∨\vee∨q∨\vee∨r
⇔\Leftrightarrow⇔(¬\neg¬p∧\wedge∧¬\neg¬q∧\wedge∧r)∨\vee∨(¬\neg¬p∧\wedge∧¬\neg¬q∧\wedge∧¬\neg¬r)∨\vee∨(¬\neg¬p∧\wedge∧q∧\wedge∧¬\neg¬r)∨\vee∨(¬\neg¬p∧\wedge∧¬\neg¬q∧\wedge∧¬\neg¬r)∨\vee∨(p∧\wedge∧q)∨\vee∨(p∧\wedge∧¬\neg¬q)∨\vee∨(p∧\wedge∧q)∨\vee∨(¬\neg¬p∧\wedge∧q)∨\vee∨(q∧\wedge∧r)∨\vee∨(¬\neg¬q∧\wedge∧r)
⇔\Leftrightarrow⇔(¬\neg¬p∧\wedge∧¬\neg¬q∧\wedge∧r)∨\vee∨(¬\neg¬p∧\wedge∧¬\neg¬q∧\wedge∧¬\neg¬r)∨\vee∨(¬\neg¬p∧\wedge∧q∧\wedge∧¬\neg¬r)∨\vee∨(¬\neg¬p∧\wedge∧¬\neg¬q∧\wedge∧¬\neg¬r)∨\vee∨(p∧\wedge∧q∧\wedge∧r)∨\vee∨(p∧\wedge∧q∧\wedge∧¬\neg¬r)∨\vee∨(p∧\wedge∧¬\neg¬q∧\wedge∧r)∨\vee∨(p∧\wedge∧¬\neg¬q∧\wedge∧¬\neg¬r)∨\vee∨(p∧\wedge∧q∧\wedge∧r)∨\vee∨(p∧\wedge∧q∧\wedge∧¬\neg¬r)∨\vee∨(¬\neg¬p∧\wedge∧q∧\wedge∧r)∨\vee∨(¬\neg¬p∧\wedge∧q∧\wedge∧¬\neg¬r)∨\vee∨(p∧\wedge∧q∧\wedge∧r)∨\vee∨(¬\neg¬p∧\wedge∧q∧\wedge∧r)∨\vee∨(p∧\wedge∧¬\neg¬q∧\wedge∧r)∨\vee∨(¬\neg¬p∧\wedge∧¬\neg¬q∧\wedge∧r)
⇔\Leftrightarrow⇔m001_{001}001∨\vee∨m000_{000}000∨\vee∨m010_{010}010∨\vee∨m000_{000}000∨\vee∨m111_{111}111∨\vee∨m110_{110}110∨\vee∨m101_{101}101∨\vee∨m100_{100}100∨\vee∨m111_{111}111∨\vee∨m110_{110}110∨\vee∨m011_{011}011∨\vee∨m010_{010}010∨\vee∨m111_{111}111∨\vee∨m011_{011}011∨\vee∨m101_{101}101∨\vee∨m001_{001}001
⇔\Leftrightarrow⇔m1_11 ∨\vee∨m0_00∨\vee∨m2_22∨\vee∨m0_00∨\vee∨m7_77∨\vee∨m6_66∨\vee∨m5_55∨\vee∨m4_44∨\vee∨m7_77∨\vee∨m6_66∨\vee∨m3_33∨\vee∨m2_22∨\vee∨m7_77∨\vee∨m3_33∨\vee∨m5_55∨\vee∨m1_11
$\Leftrightarrow$1
成真赋值为 000 ,001, 010 ,011 ,100,101,110,111
19
(1)
p→\rightarrow→(q→\rightarrow→r)与q→\rightarrow→(p→\rightarrow→r) p→\rightarrow→(q→\rightarrow→r) ⇔\Leftrightarrow⇔¬\neg¬p∨\vee∨(¬\neg¬q∨\vee∨r) ⇔\Leftrightarrow⇔(¬\neg¬p∧\wedge∧q)∨\vee∨(¬\neg¬p∧\wedge∧¬\neg¬q)∨\vee∨(p∧\wedge∧¬\neg¬q)∨\vee∨(¬\neg¬p∧\wedge∧¬\neg¬q)∨\vee∨(q∧\wedge∧r)∨\vee∨(¬\neg¬q∧\wedge∧r) ⇔\Leftrightarrow⇔(¬\neg¬p∧\wedge∧q∧\wedge∧r)∨\vee∨(¬\neg¬p∧\wedge∧q∧\wedge∧¬\neg¬r)∨\vee∨(¬\neg¬p∧\wedge∧¬\neg¬q∧\wedge∧r)∨\vee∨(¬\neg¬p∧\wedge∧¬\neg¬q∧\wedge∧¬\neg¬r)∨\vee∨(p∧\wedge∧¬\neg¬q∧\wedge∧r)∨\vee∨(p∧\wedge∧¬\neg¬q¬\neg¬r)∨\vee∨(¬\neg¬p∧\wedge∧¬\neg¬q∧\wedge∧r)∨\vee∨(¬\neg¬p∧\wedge∧¬\neg¬q∧\wedge∧¬\neg¬r)∨\vee∨(p∧\wedge∧q∧\wedge∧r)∨\vee∨(¬\neg¬p∧\wedge∧q∧\wedge∧r)∨\vee∨(p∧\wedge∧¬\neg¬q∧\wedge∧r)∨\vee∨(¬\neg¬p∧\wedge∧¬\neg¬q∧\wedge∧r) ⇔\Leftrightarrow⇔m011_{011}011∨\vee∨m010_{010}010∨\vee∨m001_{001}001∨\vee∨m000_{000}000∨\vee∨m101_{101}101∨\vee∨m100_{100}100∨\vee∨m001_{001}001∨\vee∨m000_{000}000∨\vee∨m111_{111}111∨\vee∨m011_{011}011∨\vee∨m101_{101}101∨\vee∨m001_{001}001 ⇔\Leftrightarrow⇔m3_33∨\vee∨m2_22∨\vee∨m1_11∨\vee∨m0_00∨\vee∨m5_55∨\vee∨m4_44∨\vee∨m1_11∨\vee∨m0_00∨\vee∨m7_77∨\vee∨m3_33∨\vee∨m5_55∨\vee∨m1_11 ⇔\Leftrightarrow⇔m7_77m5_55∨\vee∨m4_44∨\vee∨m3_33∨\vee∨m2_22∨\vee∨m1_11∨\vee∨m0_00 q→\rightarrow→(p→\rightarrow→r) ⇔\Leftrightarrow⇔(¬\neg¬q∧\wedge∧p∧\wedge∧r)∨\vee∨(¬\neg¬q∧\wedge∧p∧\wedge∧¬\neg¬r)∨\vee∨(¬\neg¬q∧\wedge∧¬\neg¬p∧\wedge∧r)∨\vee∨(¬\neg¬q∧\wedge∧¬\neg¬p∧\wedge∧¬\neg¬r)∨\vee∨(q∧\wedge∧¬\neg¬p∧\wedge∧r)∨\vee∨(q∧\wedge∧¬\neg¬p¬\neg¬r)∨\vee∨(¬\neg¬q∧\wedge∧¬\neg¬p∧\wedge∧r)∨\vee∨(¬\neg¬q∧\wedge∧¬\neg¬p∧\wedge∧¬\neg¬r)∨\vee∨(q∧\wedge∧p∧\wedge∧r)∨\vee∨(¬\neg¬q∧\wedge∧p∧\wedge∧r)∨\vee∨(q∧\wedge∧¬\neg¬p∧\wedge∧r)∨\vee∨(¬\neg¬q∧\wedge∧¬\neg¬p∧\wedge∧r) ⇔\Leftrightarrow⇔ m101_{101}101∨\vee∨m100_{100}100∨\vee∨m001_{001}001∨\vee∨m000_{000}000∨\vee∨m011_{011}011∨\vee∨m010_{010}010∨\vee∨m001_{001}001∨\vee∨m000_{000}000∨\vee∨m111_{111}111∨\vee∨m101_{101}101∨\vee∨m011_{011}011∨\vee∨m001_{001}001 ⇔\Leftrightarrow⇔m5_55∨\vee∨m4_44∨\vee∨m1_11∨\vee∨m0_00∨\vee∨m3_33∨\vee∨m2_22∨\vee∨m1_11∨\vee∨m0_00∨\vee∨m7_77∨\vee∨m5_55∨\vee∨m3_33∨\vee∨m1_11 ⇔\Leftrightarrow⇔m7_77m5_55∨\vee∨m4_44∨\vee∨m3_33∨\vee∨m2_22∨\vee∨m1_11∨\vee∨m0_00
等值
23
p:赵去 q:钱去 r:孙去 s:李去 t:周去
p→\rightarrow→qs∨\vee∨t(q∧\wedge∧¬\neg¬r)∨\vee∨(¬\neg¬q∧\wedge∧r)r↔\leftrightarrow↔st→\rightarrow→(p∧\wedge∧q)
⇔\Leftrightarrow⇔(p→\rightarrow→q)∧\wedge∧(s∨\vee∨t)∧\wedge∧(r↔\leftrightarrow↔s)∧\wedge∧(t→\rightarrow→(p∧\wedge∧q))∧\wedge∧((q∧\wedge∧¬\neg¬r)∨\vee∨(¬\neg¬q∧\wedge∧r))
⇔\Leftrightarrow⇔ (¬\neg¬p∨\vee∨q)∧\wedge∧ (s∨\vee∨t)∧\wedge∧(r→\rightarrow→s)∧\wedge∧(s→\rightarrow→r)∧\wedge∧( ¬\neg¬t∨\vee∨(p∧\wedge∧q))∧\wedge∧((q∧\wedge∧¬\neg¬r)∨\vee∨(¬\neg¬q∧\wedge∧r)) (蕴含等值式 等价等值式 蕴含等值式)
⇔\Leftrightarrow⇔(¬\neg¬p∨\vee∨q)∧\wedge∧ (s∨\vee∨t)∧\wedge∧(¬\neg¬r∨\vee∨s)∧\wedge∧(¬\neg¬s∨\vee∨ r)∧\wedge∧( ¬\neg¬t∨\vee∨p)∧\wedge∧(¬\neg¬t∨\vee∨q)∧\wedge∧((q∧\wedge∧¬\neg¬r)∨\vee∨(¬\neg¬q∧\wedge∧r)) (蕴含等值式 分配律)
⇔\Leftrightarrow⇔(¬\neg¬p∨\vee∨q)∧\wedge∧ (s∨\vee∨t)∧\wedge∧(¬\neg¬r∨\vee∨s)∧\wedge∧(¬\neg¬s∨\vee∨ r)∧\wedge∧( ¬\neg¬t∨\vee∨p)∧\wedge∧(¬\neg¬t∨\vee∨q)∧\wedge∧ ((q∧\wedge∧¬\neg¬r)∨\vee∨¬\neg¬q)∧\wedge∧((q∧\wedge∧¬\neg¬r)∨\vee∨r) (分配律)
⇔\Leftrightarrow⇔(¬\neg¬p∨\vee∨q)∧\wedge∧ (s∨\vee∨t)∧\wedge∧(¬\neg¬r∨\vee∨s)∧\wedge∧(¬\neg¬s∨\vee∨ r)∧\wedge∧( ¬\neg¬t∨\vee∨p)∧\wedge∧(¬\neg¬t∨\vee∨q)∧\wedge∧(¬\neg¬q∨\vee∨q)∧\wedge∧(¬\neg¬q∨\vee∨¬\neg¬r)∧\wedge∧(r∨\vee∨q)∧\wedge∧(r∨\vee∨¬\neg¬r) (分配律)
⇔\Leftrightarrow⇔ (¬\neg¬p∨\vee∨q)∧\wedge∧ (s∨\vee∨t)∧\wedge∧(¬\neg¬r∨\vee∨s)∧\wedge∧(¬\neg¬s∨\vee∨ r)∧\wedge∧( ¬\neg¬t∨\vee∨p)∧\wedge∧(¬\neg¬t∨\vee∨q)∧\wedge∧(¬\neg¬q∨\vee∨¬\neg¬r)∧\wedge∧(r∨\vee∨q) (排中律)
1变8.。。。8*864个式子
24
(3)
p:今天是1号 q:明天是5号
前提p→\rightarrow→q¬\neg¬q
结论:¬\neg¬p
((p→\rightarrow→q)∧\wedge∧¬\neg¬q)⇒\Rightarrow⇒¬\neg¬p (拒取式)
推理正确
26
(1)归谬法
前提:¬\neg¬(p∧\wedge∧¬\neg¬q),¬\neg¬q∨\vee∨r,¬\neg¬r
结论:¬\neg¬p
¬\neg¬(p∧\wedge∧¬\neg¬q)∧\wedge∧ (¬\neg¬q∨\vee∨r)∧\wedge∧¬\neg¬r∧\wedge∧p
⇔\Leftrightarrow⇔(¬\neg¬p∨\vee∨q)∧\wedge∧(¬\neg¬q∨\vee∨r)∧\wedge∧¬\neg¬r∧\wedge∧p (德摩根律)
⇔\Leftrightarrow⇔(¬\neg¬p∨\vee∨q∨\vee∨r)∧\wedge∧(¬\neg¬p∨\vee∨q∨\vee∨¬\neg¬r)∧\wedge∧(p∨\vee∨¬\neg¬q∨\vee∨r)∧\wedge∧(¬\neg¬p∨\vee∨¬\neg¬q∨\vee∨r)∧\wedge∧(q∨\vee∨¬\neg¬r)∧\wedge∧(¬\neg¬q∨\vee∨¬\neg¬r)∧\wedge∧(p∨\vee∨q)∧\wedge∧(p∨\vee∨¬\neg¬q)
⇔\Leftrightarrow⇔(¬\neg¬p∨\vee∨q∨\vee∨r)∧\wedge∧(¬\neg¬p∨\vee∨q∨\vee∨¬\neg¬r)∧\wedge∧(p∨\vee∨¬\neg¬q∨\vee∨r)∧\wedge∧(¬\neg¬p∨\vee∨¬\neg¬q∨\vee∨r)∧\wedge∧(p∨\vee∨q∨\vee∨¬\neg¬r)∧\wedge∧(¬\neg¬p∨\vee∨q∨\vee∨¬\neg¬r)∧\wedge∧(p∨\vee∨¬\neg¬q∨\vee∨¬\neg¬r)∧\wedge∧(¬\neg¬p∨\vee∨¬\neg¬q∨\vee∨¬\neg¬r)∧\wedge∧(p∨\vee∨q∨\vee∨r)∧\wedge∧(p∨\vee∨q∨\vee∨¬\neg¬r)∧\wedge∧(p∨\vee∨¬\neg¬q∨\vee∨r)∧\wedge∧(p∨\vee∨¬\neg¬q∨\vee∨¬\neg¬r)
⇔\Leftrightarrow⇔m100_{100}100∧\wedge∧m101_{101}101∧\wedge∧m010_{010}010∧\wedge∧m110_{110}110∧\wedge∧m001_{001}001∧\wedge∧m101_{101}101∧\wedge∧m011_{011}011∧\wedge∧m111_{111}111∧\wedge∧m000_{000}000∧\wedge∧m001_{001}001∧\wedge∧m010_{010}010∧\wedge∧m011_{011}011
⇔\Leftrightarrow⇔m4_{4}4∧\wedge∧m5_{5}5∧\wedge∧m2_{2}2∧\wedge∧m6_{6}6∧\wedge∧m1_{1}1∧\wedge∧m5_{5}5∧\wedge∧m3_{3}3∧\wedge∧m7_{7}7∧\wedge∧m0_{0}0∧\wedge∧m1_{1}1∧\wedge∧m2_{2}2∧\wedge∧m3_{3}3
$\Leftrightarrow1故为矛盾式于是证明了推理的正确性(2)附加前提证明法前提:p1 故为矛盾式于是证明了推理的正确性 (2)附加前提证明法 前提:p1故为矛盾式于是证明了推理的正确性(2)附加前提证明法前提:p\rightarrow(q(q(q\rightarrows),q,ps),q,ps),q,p\veeKaTeX parse error: Cant use function $ in math mode at position 5: \neg$̲ r 结论r$\righta…\negr(前提引入)r(附加前提引入)p(析取三段论)pr(前提引入) r (附加前提引入) p (析取三段论) pr(前提引入)r(附加前提引入)p(析取三段论)p\rightarrow(q(q(q\rightarrows)(前提引入)qs) (前提引入) qs)(前提引入)q\rightarrow$s (假言推理) q (前提引入) s (假言推理)
(3)附加前提证明法 前提:p→\rightarrow→q 结论:p→\rightarrow→(p∧\wedge∧q) p→\rightarrow→q (前提引入) p (附加前提引入) q (假言推理) q∧\wedge∧p
27
p:他是理科生 q:他学好数学 r:他是文科生 前提:p→\rightarrow→q,¬\neg¬r→\rightarrow→p,¬\neg¬q 结论:p p→\rightarrow→q (前提引入) ¬\neg¬q (前提引入) ¬\neg¬p (拒取式) ¬\neg¬r→\rightarrow→p (前提引入) ¬\neg¬¬\neg¬r (拒取式)
第二章 一阶逻辑
1.
(4)每列火车都比某些汽车要快
F(x):x 是火车 G(x):x是汽车 H(x,y):x比y快
∀\forall∀x(F(x)→\rightarrow→ ∃\exists∃y(G(y)∧\wedge∧H(x,y)))
(5)某些汽车比所有火车都慢
F(x):x 是火车 G(x):x是汽车 H(x,y):x比y慢
∃\exists∃x(G(x)∧\wedge∧∀\forall∀y(F(y)→\rightarrow→H(x,y)))
(6)每位父亲都喜爱自己的孩子
F(x):x是父亲 G(x):x是孩子 H(x,y):x喜爱y L(x,y):y是x的孩子
∀\forall∀x∀\forall∀y(F(x)∧\wedge∧G(y)∧\wedge∧L(x,y)→\rightarrow→H(x,y))
(7)对于任意给定的正实数都存在比它大的实数
F(x):x是实数 G(x,y):xy
∀\forall∀x(F(x)∧\wedge∧G(x,0)→\rightarrow→∃\exists∃y(F(y)∧\wedge∧(y,x)))
课本例题2.5
(1)所有的兔子比所有的乌龟跑得快
F(x):x是兔子 G(x):x是乌龟 H(x,y):x比y跑的快
∀\forall∀x∀\forall∀y(F(x)∧\wedge∧G(y)→\rightarrow→H(x,y))
(2)有的兔子比所有的乌龟跑得快
∃\exists∃x(F(x)∧\wedge∧∀\forall∀y(G(y)→\rightarrow→H(x,y)))
(3)不存在同样高的两个人
F(x):x是人 G(x,y):x y同样高 H(x,y):x!y
∀\forall∀x∀\forall∀y(F(x)∧\wedge∧F(y)∧\wedge∧H(x,y)→\rightarrow→ ¬\neg¬G(x,y))
2.
(4)∀\forall∀x∀\forall∀y∃\exists∃z(x-yz)
对于任意的x,y存在z可满足x-yz成立
为真
(8)∃\exists∃x∀\forall∀y(xy2y)
有的x等于任意的y
3.
(3)F(z)→\rightarrow→(¬\neg¬∀\forall∀x∀\forall∀yG(x,y,z))
指导变项为x,y
G(x,y,z)中的x是约束的
G(x,y,z)中的y是约束的
F(z)和G(x,y,z)中的z是自由的
6.
给定解释I如下:
个体域D{2,3},f(2)3,f(3)2,F(2,2)0,F(2,3)0,F(3,2)1,F(3,3)1
求下列各式在I下的真值
∀\forall∀x∀\forall∀y(F(x,y)→\rightarrow→F(f(x),f(y)))
x2,y2时,F(2,2)0蕴含式前件为假整体为真
x2,y3时,同理为真
x3,y2时F(3,2)1, f(x)2,f(y)3,F(f(x),f(y))F(2,3)0 为假
故∀\forall∀x∀\forall∀y(F(x,y)→\rightarrow→F(f(x),f(y)))为假
9.
设个体域D{a,b,c}消去下列各式中的量词
在有限个体域时中消去量词等值式
(2)∀\forall∀x(F(x)∧\wedge∧∃\exists∃yG(y))
⇔\Leftrightarrow⇔ ∀\forall∀xF(x)∧\wedge∧∃\exists∃yG(y) (∃\exists∃yG(y)中不含约束变项x)
⇔\Leftrightarrow⇔ ∀\forall∀xF(x)∧\wedge∧(G(a)∨\vee∨G(b)∨\vee∨G©) (存在量词的消去量词等值式)
⇔\Leftrightarrow⇔ (F(a)∧\wedge∧F(b)∧\wedge∧F©)∧\wedge∧(G(a)∨\vee∨G(b)∨\vee∨G©) (全称量词的消去量词等值式)
(4)∃\exists∃x∃\exists∃y(F(x)→\rightarrow→G(y))
⇔\Leftrightarrow⇔ ∃\exists∃x∃\exists∃y(¬\neg¬F(x)∨\vee∨G(y)) (蕴含等值式)
⇔\Leftrightarrow⇔ ∃\exists∃x(¬\neg¬F(x)∨\vee∨ ∃\exists∃yG(y)) (¬\neg¬F(x)中不含约束变项y)
⇔\Leftrightarrow⇔ ∃\exists∃x¬\neg¬F(x)∨\vee∨ ∃\exists∃yG(y) (∃\exists∃yG(y)中不含约束变项x)
⇔\Leftrightarrow⇔ ¬\neg¬ ∀\forall∀xF(x)∨\vee∨ ∃\exists∃yG(y) (量词否定等值式)
⇔\Leftrightarrow⇔ ¬\neg¬(F(a)∧\wedge∧F(b)∧\wedge∧f©)∨\vee∨(G(a)∨\vee∨G(b)∨\vee∨G©) (消去量词等值式)
10.
给出下列公式的类型
(4)¬\neg¬F(x)→\rightarrow→(F(x)→\rightarrow→∀\forall∀yG(x,y))
pF(x) q∀\forall∀yG(x,y)
运用代换实例可转换为
⇔\Leftrightarrow⇔ ¬\neg¬p→\rightarrow→(p→\rightarrow→q)
⇔\Leftrightarrow⇔ ¬\neg¬p→\rightarrow→(¬\neg¬p∨\vee∨q)
⇔\Leftrightarrow⇔p∨\vee∨¬\neg¬p∨\vee∨q
⇔\Leftrightarrow⇔ 1
12.
证明F(x)→\rightarrow→∀\forall∀xF(x)不是永真式
个体域为1,2,3
F(x):x为奇数
⇔\Leftrightarrow⇔ F(x)→\rightarrow→(F(1)∧\wedge∧F(2)∧\wedge∧F(3)) (量词消去等值式)
当x1时蕴含式前件为真后件为假
公式为假故不是永真式
13.
求下列各式的前束范式
(1)(¬\neg¬ ∃\exists∃xF(x)∨\vee∨ ∀\forall∀yG(y)) ∧\wedge∧ ∀\forall∀zH(z)
⇔\Leftrightarrow⇔ (∀\forall∀x¬\neg¬F(x)∨\vee∨∀\forall∀yG(y))∧\wedge∧∀\forall∀zH(z)
⇔\Leftrightarrow⇔ (∀\forall∀x(¬\neg¬F(x)∨\vee∨∀\forall∀yG(y)))∧\wedge∧ ∀\forall∀zH(z) (辖域扩张)
⇔\Leftrightarrow⇔ ∀\forall∀x∀\forall∀y(¬\neg¬F(x)∨\vee∨G(y))∧\wedge∧∀\forall∀zH(z) (辖域扩张)
⇔\Leftrightarrow⇔∀\forall∀z (∀\forall∀x∀\forall∀y(¬\neg¬F(x)∨\vee∨G(y))∧\wedge∧H(z)) (辖域扩张)
⇔\Leftrightarrow⇔ ∀\forall∀z ∀\forall∀x(∀\forall∀y(¬\neg¬F(x)∨\vee∨G(y)∧\wedge∧H(z)) (辖域扩张)
⇔\Leftrightarrow⇔ ∀\forall∀z ∀\forall∀x∀\forall∀y((¬\neg¬F(x)∨\vee∨G(y))∧\wedge∧H(z)) (辖域扩张)
(2)∃\exists∃xF(x)∨\vee∨ ∀\forall∀xG(x)→\rightarrow→∀\forall∀x∃\exists∃yH(x,y)
∃\exists∃xF(x)∨\vee∨ ∀\forall∀zG(z)→\rightarrow→∀\forall∀m∃\exists∃yH(m,y) (换名规则)
⇔\Leftrightarrow⇔ ∃\exists∃x∃\exists∃z(G(z)∨\vee∨F(x))→\rightarrow→ ∀\forall∀m∃\exists∃yH(m,y) (两次辖域扩张)
⇔\Leftrightarrow⇔ ∀\forall∀x(∃\exists∃z(G(z)∨\vee∨F(x))→\rightarrow→∀\forall∀m∃\exists∃yH(m,y))
⇔\Leftrightarrow⇔ ∀\forall∀x ∀\forall∀y(G(z)∨\vee∨F(x)→\rightarrow→∀\forall∀m∃\exists∃yH(m,y))
⇔\Leftrightarrow⇔ ∀\forall∀x ∀\forall∀y(¬\neg¬ ∀\forall∀m∃\exists∃yH(m,y)→\rightarrow→¬\neg¬(G(z)∨\vee∨F(x))) (假言易位)
⇔\Leftrightarrow⇔ ∀\forall∀x ∀\forall∀y(∃\exists∃m¬\neg¬∃\exists∃yH(m,y)→\rightarrow→¬\neg¬(G(z)∨\vee∨F(x)))
⇔\Leftrightarrow⇔ ∀\forall∀x ∀\forall∀y(∃\exists∃m∀\forall∀ y¬\neg¬ H(m,y)→\rightarrow→¬\neg¬(G(z)∨\vee∨F(x))) (量词否定等值式)
⇔\Leftrightarrow⇔ ∀\forall∀x∀\forall∀y∀\forall∀m∃\exists∃y(¬\neg¬H(m,y)→\rightarrow→ ¬\neg¬(G(z)∨\vee∨F(x))) (两次辖域扩张)
⇔\Leftrightarrow⇔ ∀\forall∀x∀\forall∀y∀\forall∀m∃\exists∃y(G(z)∨\vee∨F(x)→\rightarrow→H(m,y)) (假言易位)
一阶逻辑推理理论
12.
指出下面推理中的错误
(6)
5.使F(x)∧\wedge∧G(x)成真的x不一定使H(x)∧\wedge∧R(x)成真
13.
(1)
前提:∃\exists∃xF(x)→\rightarrow→∀\forall∀y((F(y)∨\vee∨G(y))→\rightarrow→R(y)), ∃\exists∃xF(x)
结论:∃\exists∃xR(x)
(1) ∃\exists∃xF(x) (前提引入)
(2)F© (EI规则)
(3)∃\exists∃xF(x)→\rightarrow→∀\forall∀y((F(y)∨\vee∨G(y))→\rightarrow→R(y)) (前提引入)
(4)∀\forall∀y((F(y)∨\vee∨G(y))→\rightarrow→R(y)) (假言推理)
(5)F©∨\vee∨G©→\rightarrow→R© (UI规则)
(6)F©∨\vee∨ G© (2附加)
(7)R© (5假言推理)
(8)∃\exists∃xF(x) (EG规则)
15.
每个在银行存款的人都能得到利息所以若没有人得到利息则没有人在银行存款
F(x):x在银行存款 G(x):x得到利息
前提: ∀\forall∀x(F(x)→\rightarrow→G(x))
结论:¬\neg¬∀\forall∀xG(x)→\rightarrow→¬\neg¬∀\forall∀xF(x)
(1)¬\neg¬∀\forall∀xG(x) (附加前提引入)
(2)∃\exists∃x¬\neg¬G(x) (量词否定等值式)
(3)¬\neg¬G© (EI规则)
(4)∀\forall∀x(F(x)→\rightarrow→G(x)) (前提引入)
(5) ∀\forall∀x(¬\neg¬G(x)→\rightarrow→¬\neg¬F(x)) (假言易位)
(6)¬\neg¬G©→\rightarrow→ ¬\neg¬F© (UI规则)
(7)¬\neg¬ F© (假言推理)
(8)∃\exists∃x¬\neg¬F(x) (EG规则)
(9)¬\neg¬ ∀\forall∀xF(x) (量词否定等值式)
第三章 集合
2
(2)S2S_2S2{2,5}
4
(2)P(A){{∅\emptyset∅}{1},{{2,3}},{1,{2,3}}
7
2 ((A∪\cup∪B∪\cup∪C)-(B∪\cup∪C))∪\cup∪A ((A∪\cup∪B∪\cup∪C)∩\cap∩~(B∪\cup∪C))∪\cup∪A
(A∪\cup∪B∪\cup∪C∪\cup∪A)∩\cap∩((~B ∩\cap∩~ C)∪\cup∪A)
(A∪\cup∪B∪\cup∪C)∩\cap∩((~B∪\cup∪A)∩\cap∩( ~C∪\cup∪A))
(A∪\cup∪((B∪\cup∪C)∩\cap∩~B))∩\cap∩( ~C∪\cup∪A)
(A∪\cup∪((B∩\cap∩~B)∪\cup∪(C∩\cap∩ ~B)))∩\cap∩( ~C∪\cup∪A)
(A∪\cup∪(C∩\cap∩~B))∩\cap∩( ~C∪\cup∪A)
A∪\cup∪((C∩\cap∩~B)∩\cap∩ ~C)
A
8
(3)A∩\cap∩(~B∪\cup∪C)
[外链图片转存失败,源站可能有防盗链机制,建议将图片保存下来直接上传(img-TqL7GdUx-1678010764001)(课外学习资料/所需图片/QQ截图20221014232149.png)]
10
A{x|读《每周新闻》的人} B{x|读《时代》杂志的人} C{x|读《幸运》杂志的人}
E{x|所有被调查的人}
已知:
|E|60;|A|25;|B|26;|C|26;|A∩\cap∩C|9;|A∩\cap∩B|11;|B∩\cap∩C|8|E-(A∪\cup∪B∪\cup∪C)|8;
(1)求全部阅读三种杂志的人|A∩\cap∩B∩\cap∩C|
已知:|A∪\cup∪B∪\cup∪C||A||B||C|-|A∩\cap∩B|-|A∩\cap∩C|-|B∩\cap∩C||A∪\cup∪B∪\cup∪C|252626-9-11-8|A∩\cap∩B∩\cap∩C|60-8
|A∩\cap∩B∩\cap∩C|3
(2)求仅阅读…的人数
|A-B-C||A∩\cap∩~B∩\cap∩ ~C||A∩\cap∩(E-(B∪\cup∪C))||(A∩\cap∩E)-(A∩\cap∩(B∪\cup∪C))||A-(A∩\cap∩B)∪\cup∪(A∩\cap∩C)||A|-|(A∩\cap∩B)∪\cup∪(A∩\cap∩C))||A|-(|A∩\cap∩B||A∩\cap∩C|-|A∩\cap∩B∩\cap∩A∩\cap∩C|)25-(119-3)8
同理
|B-A-C||B|-(|A∩\cap∩B||B∩\cap∩C|-|A∩\cap∩B∩\cap∩C|)26-(118-3)10
|C-B-A||C|-(|A∩\cap∩C||B∩\cap∩C|-|A∩\cap∩B∩\cap∩C|)26-(98-3)12
12
(2)证明:(A-B)-C(A-C)-(B-C) 公式法 (A∩\cap∩~C)∩\cap∩ ~(B∩\cap∩ ~C) (A∩\cap∩~C)∩\cap∩( ~B∪\cup∪C) (德摩根律) ((A∩\cap∩~C)∩\cap∩C)∪\cup∪((A∩\cap∩ ~C)∩\cap∩ ~B) (∪\cup∪ ∩\cap∩ 的分配律) ∅\emptyset∅ ∪\cup∪((A∩\cap∩ ~C)∩\cap∩ ~B) (零律) (A∩\cap∩ ~B∩\cap∩ ~C) (A-B)-C 基本定义法 x∈\in∈ (A-C) ∧\wedge∧ x∉\notin∈/(B-C) ⇔\Leftrightarrow⇔ x∈\in∈A∧\wedge∧x∉\notin∈/C∧\wedge∧ ¬\neg¬ (x∈\in∈B∧\wedge∧x∉\notin∈/C) ⇔\Leftrightarrow⇔ x∈\in∈A∧\wedge∧x∉\notin∈/C∧\wedge∧ (x∉\notin∈/B∨\vee∨ x∈\in∈C) (德摩根律) ⇔\Leftrightarrow⇔ (x∈\in∈A∧\wedge∧ x∉\notin∈/C∧\wedge∧ x∉\notin∈/B)∨\vee∨(x∈\in∈A∧\wedge∧ x∉\notin∈/C∧\wedge∧x∈\in∈C) (∨\vee∨ ∧\wedge∧ 的分配律) ⇔\Leftrightarrow⇔ (x∈\in∈A∧\wedge∧ x∉\notin∈/C∧\wedge∧ x∉\notin∈/B)∨\vee∨ ∅\emptyset∅ (零律) ⇔\Leftrightarrow⇔ (x∈\in∈A∧\wedge∧ x∉\notin∈/B)∧\wedge∧x∉\notin∈/C (∧\wedge∧ 的结合律) ⇔\Leftrightarrow⇔ x∈\in∈(A∩\cap∩ ~B)∧\wedge∧ x∉\notin∈/C ⇔\Leftrightarrow⇔ x∈\in∈((A∩\cap∩~B)∩\cap∩ ~C) ⇔\Leftrightarrow⇔ x属于(A-B)-C
13.
证明C⊆\subseteq⊆A∧\wedge∧ C⊆\subseteq⊆B ⇔\Leftrightarrow⇔ C⊆\subseteq⊆A∩\cap∩ B
∀\forall∀ x(x∈\in∈C→\rightarrow→x∈\in∈A)∧\wedge∧ ∀\forall∀x(x∈\in∈C→\rightarrow→x∈\in∈B) (根据基本定义)
⇔\Leftrightarrow⇔ ∀\forall∀x((x∈\in∈C→\rightarrow→x∈\in∈A)∧\wedge∧(x∈\in∈C→\rightarrow→x∈\in∈B)) (量词分配等值式)
⇔\Leftrightarrow⇔ ∀\forall∀x((¬\neg¬x∈\in∈C∨\vee∨x∈\in∈A)∧\wedge∧ (¬\neg¬ x∈\in∈C∨\vee∨x∈\in∈B)) (蕴含等值式)
⇔\Leftrightarrow⇔ ∀\forall∀x(¬\neg¬x∈\in∈C∨\vee∨(x∈\in∈ A∧\wedge∧x∈\in∈B)) (∨\vee∨ ∧\wedge∧ 的分配律)
⇔\Leftrightarrow⇔∀\forall∀x(¬\neg¬x∈\in∈C∨\vee∨x∈\in∈(A∩\cap∩B)) (交集的基本定义)
⇔\Leftrightarrow⇔ ∀\forall∀x(x∈\in∈C→\rightarrow→x∈\in∈(A∩\cap∩B)) (蕴含等值式)
⇔\Leftrightarrow⇔ C⊆\subseteq⊆ (A∩\cap∩B) (子集的基本定义)
