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算法设计与分析复习–回溯法#xff08;二#xff09;
分支界限法性质
分支界限法是按广度优先策略或最小耗费优先遍历问题的解空间树。
搜索解空间#xff1a;
子集树排列树 … 文章目录 上一篇分支界限法性质装载问题0-1背包问题单源最短路问题最大团问题下一篇 上一篇
算法设计与分析复习–回溯法二
分支界限法性质
分支界限法是按广度优先策略或最小耗费优先遍历问题的解空间树。
搜索解空间
子集树排列树
搜索方式广度优先遍历队列或最小耗费优先堆
方法确定解空间设计合适的限界函数在拓展时删除不必要的孩子结点组织活结点表
但是由于每一层对应的cw, rw是不同的所以需要用一个node的数据结构存储每一个节点的
装载问题
问题描述n个集装箱要装到2艘重量分别 c 1 c_1 c1, c 2 c_2 c2的货轮其中集装箱 i i i的重量为 w i w_i wi器满足集装箱重量之和小于两轮船载重。
最优装载方案将第一艘船尽可能装满将剩余的货箱装到第二搜轮船上。
约束函数所装货物重量小于第一艘船载重 上界函数是已装重量剩余重量上界
使用队列的方式
#include iostream
#include cstring
#include algorithm
#include queueusing namespace std;const int N 110;int a[N], n, c1, sum 0, bw 0;struct node
{int idx; // 层数int cw; // 当前层的重量int rw; // 剩余的重量
};void bfs()
{queuenode q;q.push({0, 0, sum});while (q.size()){auto t q.front();q.pop();bw max(bw, t.cw); // 更新最大重量// 左扩展if (t.idx n t.cw a[t.idx] c1){q.push({t.idx 1, t.cw a[t.idx], t.rw - a[t.idx]});}// 右扩展if (t.idx n t.cw t.rw bw){q.push({t.idx 1, t.cw, t.rw - a[t.idx]});}}
}int main()
{scanf(%d%d, n, c1);for (int i 0; i n; i){scanf(%d, a[i]);sum a[i];}bfs();printf(%d\n, bw);return 0;
}利用优先级进行查找时 我们将利用当前结点的价值上界 c w r w cw rw cwrw 进行堆的构造 重构堆需要
priority_queuenode, vectornode, cmp heap;
cmp为比较函数不过要比较符相反例如greater是返回更大的 而构造小根堆就用greater
#include iostream
#include cstring
#include algorithm
#include queueusing namespace std;const int N 110;int a[N], n, c1, sum 0, bw 0;struct node
{int idx; // 层数int cw; // 当前层的重量int rw; // 剩余的重量
};struct cmp
{bool operator ()(const node x, const node y) const{return (x.cw x.cw) (y.cw y.rw); // 优先队列的优先级按当前上界要用更大排这里就要是小于}
};void bfs()
{priority_queuenode, vectornode, cmp heap;heap.push({0, 0, sum});while (!heap.empty()){auto t heap.top();heap.pop();bw max(bw, t.cw); // 更新最大重量// 左扩展if (t.idx n t.cw a[t.idx] c1){heap.push({t.idx 1, t.cw a[t.idx], t.rw - a[t.idx]});}// 右扩展if (t.idx n t.cw t.rw bw){heap.push({t.idx 1, t.cw, t.rw - a[t.idx]});}}
}int main()
{scanf(%d%d, n, c1);for (int i 0; i n; i){scanf(%d, a[i]);sum a[i];}bfs();printf(%d\n, bw);return 0;
}由于优先队列的方式更难一些所以后面实现都是优先队列的方式
0-1背包问题
求法与装载问题一样不如说装载问题特化成了0-1背包问题
但是在右剪枝的求法上和回溯法一样 但是bound函数用法不同了bound就是求上界的函数并且求得是当前结点的上界
左剪枝不超过背包容量 右剪枝cv rv bv rv是利用贪心背包的方式求得的
#include iostream
#include vector
#include algorithm
#include queueusing namespace std;
typedef pairdouble, double PDD;const int N 110;int n, c;
vectorPDD ob;
double bv 0, sv 0; // 将bv, sv初始化为0struct node
{int idx;double cw;double cv;double ub;bool operator (const node x) const{return ub x.ub;//利用ub堆排序}
};bool cmp(PDD x, PDD y)
{return (x.second / x.first) (y.second / y.first);//贪心排序
}double bound(node x)
{double rcv x.cv, rw c - x.cw;int i x.idx;//不同于回溯法在输入时改变i的值因为要计算当前结点的上界while (i n ob[i].first rw){rw - ob[i].first;rcv ob[i].second;i;}if (i n)rcv rw * (ob[i].second / ob[i].first);return rcv;
}void bfs()
{priority_queuenode heap;heap.push({0, 0, 0, bound({0, 0, 0, 0})}); // 初始节点的上界需要计算while (heap.size()){auto t heap.top();heap.pop();printf({%d, %d, %.1lf}\n, (int)t.cw, (int)t.cv, t.ub);//搜索顺序可视化if (t.idx n)//到达叶子结点{if (t.cv bv){bv t.cv;}continue; }if (t.cw ob[t.idx].first c) // 向左走heap.push({t.idx 1, t.cw ob[t.idx].first, t.cv ob[t.idx].second, t.ub}); node tmp {t.idx 1, t.cw, t.cv, bound({t.idx 1, t.cw, t.cv, 0})};//需要填两次定义临时变量if (bound(tmp) bv)heap.push(tmp); // 向右走}
}int main()
{scanf(%d%d, n, c);for (int i 0; i n; i){double w, v;scanf(%lf%lf, w, v);sv v;ob.push_back({w, v});}sort(ob.begin(), ob.end(), cmp);bfs();printf(%d\n, (int)bv);return 0;
}单源最短路问题
问题描述给定一个带权有向图G (V, E), 每条边的权值是一个正整数, 给定V中的一个顶点S称作源点。要求计算从源点到其他所有顶点的最短路径长度。 AcWing 850. Dijkstra求最短路 II #include iostream
#include cstring
#include algorithm
#include queueusing namespace std;typedef pairint, int PII;const int N 1e6 10;int h[N], e[N], w[N], ne[N], idx 0;
int dist[N], pre[N];
vectorint ans;
bool st[N];
int n, m;void add (int a, int b, int c)
{e[idx] b, w[idx] c, ne[idx] h[a], h[a] idx ;
}void traceback(int k)
{if (k 0) return;ans.push_back(k);traceback(pre[k]);
}int dijkstra()
{memset(dist, 0x3f, sizeof dist);dist[1] 0;priority_queuePII, vectorPII, greaterPII heap;heap.push({0, 1});// first表示距离 second表示节点编号这是因为在优先队列中是优先按元祖第一个元素进行排序while (heap.size()){auto t heap.top();heap.pop();int ver t.second, distance t.first;// ver表示节点编号if (st[ver])continue;st[ver] true;for (int i h[ver]; ~i; i ne[i]){int j e[i];if (dist[j] distance w[i])// 因为要遍历Ver相连的所有边i所以提前将源点到ver的最短距离记作distance, 而w[i]记录的是第i个节点到j的距离权重i是与ver相连的边 // 将与ver相连的边更新为最短路径值j是i的下一条边是一个指针关系{dist[j] distance w[i];pre[j] ver;heap.push({dist[j], j});}}}if (dist[n] 0x3f3f3f3f) return -1;else {traceback(n);reverse(ans.begin(), ans.end());puts(最短路径为);for (auto i : ans)printf(%d , i);puts();return dist[n];}
}int main ()
{cin n m;memset(h, -1, sizeof h);for (int i 0; i m; i ){int a, b, c;scanf(%d%d%d, a, b, c);add (a, b, c);}printf(路径长度为%d, dijkstra());return 0;
}最大团问题
问题描述给定无向图G (V, E)。如果 U ⊆ V U\subseteq V U⊆V 求对任意 u , v ∈ U u, v \in U u,v∈U有 ( u , v ) ∈ E (u, v) \in E (u,v)∈E, 则称U是G的完全子图。 最大团就是一个图含顶点数最大的完全图且要是这个图的子集。
#include iostream
#include cstring
#include algorithm
#include queue
#include vectorusing namespace std;const int N 110;int g[N][N], n, m, bn;
vectorint ans;struct node
{int idx;int cn;vectorint x;int un;bool operator (const node p) const{return un p.un;}
};bool constrain(node c)
{for (int i 0; i c.idx - 1; i )//这里i不能到c.idx不然就会有它自身到自身为0会返回false,{if (c.x[i] 1 g[c.idx][i 1] 0)//x的下标是从0开始而g[i][j]的下标是从1开始所以要进行调整return false;}return true;
}void bfs()
{priority_queuenode heap;heap.push({0, 0, {}, n});while (heap.size()){auto t heap.top();heap.pop();if (t.idx n){if (t.cn bn){ans t.x;bn t.cn;}continue;}node tmp {t.idx 1, t.cn 1, t.x, t.un};tmp.x.push_back(1);//要提前加入否则判断是少条件if (constrain(tmp))heap.push(tmp);tmp {t.idx 1, t.cn, t.x, t.un - 1};tmp.x.push_back(0);if (tmp.un bn)heap.push(tmp);}
}int main()
{scanf(%d%d, n, m);for (int i 0; i m; i ){int a, b;scanf(%d%d, a, b);g[a][b] g[b][a] 1;}bfs();printf(%d\n, bn);for (auto val : ans) {printf(%d , val);}return 0;
}下一篇
未完待续
