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走的人多了就成了路 中国清代数学家李善兰#xff08;1811—1882#xff09; 凡此变数中函彼变数者#xff0c;则此为彼之函数 自然对数底也是使用习惯 #x1f349; 李善兰把function翻译为函数#xff0c;函就是包含#xff0c;含有变量#xff…自然对数底e的一些事
走的人多了就成了路 中国清代数学家李善兰1811—1882 凡此变数中函彼变数者则此为彼之函数 自然对数底也是使用习惯 李善兰把function翻译为函数函就是包含含有变量自此沿用至今同时函数又以f开头所以f g h 三个字母又常用于函数名而 a b c d 常代表任意常数。而e因为欧拉指代自然对数的底也就成了今天这个样子。 莱布尼茨(Leibniz)研究此领域时使用字母b 欧拉研究此领域用了字母e并非欧拉 (Euler. leonhard) 首字母。自此一个伟大的极限就诞生了。 e lim n → ∞ ( 1 1 n ) n \LARGE \begin{aligned} e\lim\limits_{n\rightarrow \infty}(1\dfrac{1}{n})^{n} \end{aligned} en→∞lim(1n1)n
如果发现一处通用的模块或者功能我们就为它起个名字这就是伟大发现或者发明。 高斯 当一幢建筑物完成时应该把脚手架拆除干净 有时候就因为这个习惯感觉就像是天才的傀儡他们为啥有这样的天才想法书本里也从来不说甚至连过程都没有。
如下是实数也成立的证明 应用拉格朗日的夹逼准则 设 n ⩽ x n 1 n\leqslant x \lt {n1} n⩽xn1 那么 ( 1 1 x ) n ⩽ ( 1 1 x ) x ( 1 1 x ) n 1 (步骤A) \large (1\dfrac{1}{x})^n \leqslant (1\dfrac{1}{x})^x \lt (1\dfrac{1}{x})^{n1}\tag{步骤A} (1x1)n⩽(1x1)x(1x1)n1(步骤A)
上式左侧缩小就可以去除等号右侧放大也依然成立 ( 1 1 x ) n ⇒ 用 n 1 替换 x ( 1 1 n 1 ) n ( 1 1 x ) n 1 ⇒ 用 n 替换 x ( 1 1 n ) n 1 \LARGE \begin{aligned} \boxed{(1\dfrac{1}{x})^n }\xRightarrow{用n1替换x}\boxed{(1\dfrac{1}{n1})^n } \\ \boxed{(1\dfrac{1}{x})^{n1} }\xRightarrow{用n替换x}\boxed{(1\dfrac{1}{n})^{n1} } \end{aligned} (1x1)n用n1替换x (1n11)n(1x1)n1用n替换x (1n1)n1
那么步骤A变成了 ( 1 1 n 1 ) n ( 1 1 x ) x ( 1 1 n ) n 1 (步骤B) \large (1\dfrac{1}{n1})^n \lt (1\dfrac{1}{x})^x \lt (1\dfrac{1}{n})^{n1}\tag{步骤B} (1n11)n(1x1)x(1n1)n1(步骤B)
左右两侧如果都是e通过拉格朗日夹逼准则就证明了正实数也是e lim n → ∞ ( 1 1 n 1 ) n lim n → ∞ ( 1 1 n 1 ) n 1 1 1 n 1 e lim n → ∞ ( 1 1 n ) n 1 lim n → ∞ ( 1 1 n ) n ( 1 1 n ) e \LARGE \begin{aligned} \lim\limits_{n\rightarrow \infty}(1\dfrac{1}{n1})^n \lim\limits_{n\rightarrow \infty}\dfrac{(1\dfrac{1}{n1})^{n1}}{1\dfrac{1}{n1}}e\\ \lim\limits_{n\rightarrow \infty}(1\dfrac{1}{n})^{n1} \lim\limits_{n\rightarrow \infty}(1\dfrac{1}{n})^{n} (1\dfrac{1}{n})e \end{aligned} n→∞lim(1n11)nn→∞lim(1n1)n1n→∞lim1n11(1n11)n1n→∞lim(1n1)n(1n1)ee
x趋向于正无穷得证 e lim x → ∞ ( 1 1 x ) x \LARGE \begin{aligned} \boxed{e\lim\limits_{x\rightarrow \infty}(1\dfrac{1}{x})^{x}} \end{aligned} ex→∞lim(1x1)x
设 x − ( t 1 ) , 那么 x → − ∞ , 则 t → ∞ x-(t1),那么x\rightarrow -\infty,则\, t\rightarrow\infty x−(t1),那么x→−∞,则t→∞ lim x → − ∞ ( 1 1 x ) x lim t → ∞ ( 1 − 1 t 1 ) − ( t 1 ) lim t → ∞ ( t t 1 ) − ( t 1 ) lim t → ∞ ( t 1 t ) ( t 1 ) lim t → ∞ ( 1 1 t ) ( t 1 ) lim t → ∞ ( 1 1 t ) t ( 1 1 t ) e \LARGE \begin{aligned} \\ \lim\limits_{x\rightarrow -\infty}(1\dfrac{1}{x})^x \lim\limits_{t\rightarrow \infty}(1-\dfrac{1}{t1})^{-(t1)} \lim\limits_{t\rightarrow \infty}(\dfrac{t}{t1})^{-(t1)}\\ \lim\limits_{t\rightarrow \infty}(\dfrac{t1}{t})^{(t1)}\lim\limits_{t\rightarrow \infty}(1\dfrac{1}{t})^{(t1)}\\ \lim\limits_{t\rightarrow \infty}(1\dfrac{1}{t})^t(1\dfrac{1}{t})\\ e \end{aligned} x→−∞lim(1x1)xt→∞lim(1−t11)−(t1)t→∞lim(t1t)−(t1)t→∞lim(tt1)(t1)t→∞lim(1t1)(t1)t→∞lim(1t1)t(1t1)e
至此实数公式得证 e lim x → ∞ ( 1 1 x ) x \LARGE \begin{aligned} \fcolorbox{#ffae42}{#2E8B57}{\textcolor{White}{$e\lim\limits_{x\rightarrow \infty}(1\dfrac{1}{x})^{x}$}} \end{aligned} ex→∞lim(1x1)x
为什么要创造 l n ln ln函数 l o g a x log_ax logax 如果进行抽象就是算子[自变量]算子就是 l o g a [ ] log_a[\quad] loga[] 那么a代表任意常数如果用一个确定的 e e e似乎曲解了原意 l o g e [ ] e log_e[\quad] \quad e loge[]e 并不是代表任意常数。 l o g e [ ] log_e[\quad] loge[] 也不够简洁 l n ln ln 就制造出来了通用功能给起个名字就是创造。
logarithm 与 nature 各取首字母就成了新的算子 l n [ ] ln[\quad] ln[]
