官方网站下载手电筒,互联网营销师怎么报考,上海智能网站建设公司,flash网站收录文章目录 Ch4. 随机变量的数字特征1. 数学期望E(X)(1)数学期望的概念1.离散型①一维离散型随机变量X的数学期望#xff1a; E X EX EX②一维离散型随机变量的函数的期望#xff1a; E [ g ( X ) ] E[g(X)] E[g(X)]③二维离散型随机变量的函数的期望#xff1a; E [ g ( X , … 文章目录 Ch4. 随机变量的数字特征1. 数学期望E(X)(1)数学期望的概念1.离散型①一维离散型随机变量X的数学期望 E X EX EX②一维离散型随机变量的函数的期望 E [ g ( X ) ] E[g(X)] E[g(X)]③二维离散型随机变量的函数的期望 E [ g ( X , Y ) ] E[g(X,Y)] E[g(X,Y)] 2.连续型①一维连续型随机变量X的数学期望 E X EX EX②一维连续型随机变量的函数的数学期望 E [ g ( X ) ] E[g(X)] E[g(X)]③二维连续型随机变量的函数的数学期望 E [ g ( X , Y ) ] E[g(X,Y)] E[g(X,Y)] (2)数学期望的性质(3)求E(X)的三种方法 2. 方差D(X)(1)方差的定义及公式(2)方差的性质 3. 协方差Cov(X,Y)(1)协方差定义及公式(2)协方差性质(3)两种思路求解 C o v ( f , g ) Cov(f,g) Cov(f,g) 4. 相关系数 ρ X Y ρ_{XY} ρXY(1)ρ的公式(2)ρ的性质 5.独立性与不相关性(1)含义(2)判定(3)独立性的应用①X,Y独立则f(X)与g(Y)也独立。②X,Y独立Cov(X,Y)0 6.切比雪夫不等式7.常见分布的数值特征8.确定未知数的值 Ch4. 随机变量的数字特征
一维随机变量的数字特征数学期望、方差 二维随机变量的数字特征协方差、相关系数 1. 数学期望E(X)
(1)数学期望的概念
数学期望又称均值
1.离散型
①一维离散型随机变量X的数学期望 E X EX EX E X ∑ i 1 ∞ x i p i EX\sum\limits_{i1}^∞x_ip_i EXi1∑∞xipi ②一维离散型随机变量的函数的期望 E [ g ( X ) ] E[g(X)] E[g(X)] E [ g ( X ) ] ∑ i 1 ∞ g ( x i ) p i E[g(X)]\sum\limits_{i1}^∞g(x_i)p_i E[g(X)]i1∑∞g(xi)pi E ( X 2 ) ∑ i 1 ∞ x i 2 p i E(X^2)\sum\limits_{i1}^∞x_i^2p_i E(X2)i1∑∞xi2pi ③二维离散型随机变量的函数的期望 E [ g ( X , Y ) ] E[g(X,Y)] E[g(X,Y)] 例题116年08. 求E(XY)
分析
X012 p p p 4 9 \dfrac{4}{9} 94 4 9 \dfrac{4}{9} 94 1 9 \dfrac{1}{9} 91
Y012 p p p 4 9 \dfrac{4}{9} 94 4 9 \dfrac{4}{9} 94 1 9 \dfrac{1}{9} 91 E ( X ) 1 × 4 9 2 × 1 9 2 3 E ( Y ) \rm E(X)1×\dfrac{4}{9}2×\dfrac{1}{9}\dfrac{2}{3}E(Y) E(X)1×942×9132E(Y) E ( X 2 ) 4 9 2 2 × 1 9 8 9 E ( Y 2 ) \rm E(X^2)\dfrac{4}{9}2^2×\dfrac{1}{9}\dfrac{8}{9}E(Y^2) E(X2)9422×9198E(Y2) D ( X ) E ( X 2 ) − E 2 ( X ) 8 9 − 4 9 4 9 D ( Y ) \rm D(X)E(X^2)-E^2(X)\dfrac{8}{9}-\dfrac{4}{9}\dfrac{4}{9}D(Y) D(X)E(X2)−E2(X)98−9494D(Y)
难点、易错点在求E(XY) P{XY4}P{X2,Y2}0 P{XY2}P{X2,Y1}P{X1,Y2}0 P{XY1}P{X1,Y1} 2 × 1 3 × 1 3 2 9 2×\dfrac{1}{3}×\dfrac{1}{3}\dfrac{2}{9} 2×31×3192 P{XY0} 1 − 2 9 7 9 1-\dfrac{2}{9}\dfrac{7}{9} 1−9297
XY0124 p p p 7 9 \dfrac{7}{9} 97 2 9 \dfrac{2}{9} 9200
∴ E ( X Y ) 2 9 E(XY)\dfrac{2}{9} E(XY)92 ρ X Y C o v ( X Y ) D ( X ) D ( Y ) E ( X Y ) − E ( X ) ⋅ E ( Y ) D ( X ) ⋅ D ( Y ) 2 9 − 4 9 4 9 − 1 2 \rm ρ_{XY}\dfrac{Cov(XY)}{\sqrt{D(X)D(Y)}}\dfrac{E(XY)-E(X)·E(Y)}{\sqrt{D(X)·D(Y)}}\dfrac{\dfrac{2}{9}-\dfrac{4}{9}}{\dfrac{4}{9}}-\dfrac{1}{2} ρXYD(X)D(Y) Cov(XY)D(X)⋅D(Y) E(XY)−E(X)⋅E(Y)9492−94−21
答案A 2.连续型
①一维连续型随机变量X的数学期望 E X EX EX E ( X ) ∫ − ∞ ∞ x f ( x ) d x E(X)\int_{-∞}^{∞}xf(x)dx E(X)∫−∞∞xf(x)dx ②一维连续型随机变量的函数的数学期望 E [ g ( X ) ] E[g(X)] E[g(X)] E ( Y ) E [ g ( X ) ] ∫ − ∞ ∞ g ( x ) f ( x ) d x E(Y)E[g(X)]\int_{-∞}^{∞}g(x)f(x)\rm dx E(Y)E[g(X)]∫−∞∞g(x)f(x)dx 注 ① E ( X 2 ) ∫ − ∞ ∞ x 2 f ( x ) d x E(X^2)\int_{-∞}^{∞}x^2f(x)dx E(X2)∫−∞∞x2f(x)dx
②若概率密度函数 f ( x ) f(x) f(x)为偶函数则 E ( 奇函数 ) 0 E(奇函数)0 E(奇函数)0。 例如X~N(0,1)φ(x)为偶函数则E(X的奇函数)如E(X³)0。 ③二维连续型随机变量的函数的数学期望 E [ g ( X , Y ) ] E[g(X,Y)] E[g(X,Y)]
(X,Y)为连续型随机变量概率密度为f(x,y)且 ∫ − ∞ ∞ g ( x , y ) f ( x , y ) d x d y \int_{-∞}^{∞}g(x,y)f(x,y)dxdy ∫−∞∞g(x,y)f(x,y)dxdy绝对收敛
则(X,Y)的数学期望为 E [ g ( X , Y ) ] ∫ − ∞ ∞ g ( x , y ) f ( x , y ) d x d y E[g(X,Y)]\int_{-∞}^{∞}g(x,y)f(x,y)dxdy E[g(X,Y)]∫−∞∞g(x,y)f(x,y)dxdy (2)数学期望的性质
1.线性性质 ① E C C ECC ECC ② E ( a X C ) a E X C E(aXC)aEXC E(aXC)aEXC ③ E ( X ± Y ) E X ± E Y E(X±Y)EX±EY E(X±Y)EX±EY 2.若X,Y独立则 ① E ( X Y ) E X ⋅ E Y E(XY)EX·EY E(XY)EX⋅EY ② E [ f ( X ) g ( Y ) ] E [ f ( X ) ] ⋅ E [ g ( Y ) ] E[f(X)g(Y)]E[f(X)]·E[g(Y)] E[f(X)g(Y)]E[f(X)]⋅E[g(Y)] 例题120年14.
分析只要随机变量相同其函数的概率密度仍不变。求E(XsinX)时的概率密度仍为f(x) E ( X ) ∫ − ∞ ∞ x f ( x ) d x E(X)\int_{-∞}^{∞}xf(x)dx E(X)∫−∞∞xf(x)dx E [ g ( X ) ] ∫ − ∞ ∞ g ( x ) f ( x ) d x E[g(X)]\int_{-∞}^{∞}g(x)f(x)\rm dx E[g(X)]∫−∞∞g(x)f(x)dx
答案 2 π \dfrac{2}{π} π2 例题218年23(2) (3)求E(X)的三种方法
1.先用数学期望的性质化简目标数学期望 如 E ( X Y ) E X E Y E(XY)EXEY E(XY)EXEY
2.特殊分布的数字特征 X是否满足某一特殊分布若满足根据其数字特征直接得出EX
3.定义法 若上述两项都不能再使用后别无选择只能用定义。如连续型随机变量的数学期望为 E ( X ) ∫ − ∞ ∞ x f ( x ) d x E(X)\int_{-∞}^{∞}xf(x)dx E(X)∫−∞∞xf(x)dx
(1)定义法求解 E ( X ) ∫ − ∞ ∞ x f ( x ) d x E(X)\int_{-∞}^{∞}xf(x)dx E(X)∫−∞∞xf(x)dx时若 x f ( x ) xf(x) xf(x)为偶函数则可化为两倍正区间的积分 E ( X ) 2 ∫ 0 ∞ x f ( x ) d x E(X)2\int_0^{∞}xf(x)dx E(X)2∫0∞xf(x)dx
(2)伽马函数 ∫ 0 ∞ x n ⋅ e − x d x n ! \int_0^{∞}x^n·e^{-x}dxn! ∫0∞xn⋅e−xdxn! 例题124基础30讲 4.9
分析
答案 2. 方差D(X)
(1)方差的定义及公式 D ( X ) E [ ( X − E X ) 2 ] E ( X 2 ) − E 2 ( X ) D(X)E[(X-EX)^2]E(X^2)- E^2(X) D(X)E[(X−EX)2]E(X2)−E2(X) E ( X 2 ) D ( X ) E 2 ( X ) E(X²)D(X)E²(X) E(X2)D(X)E2(X) (2)方差的性质
① D C 0 DC0 DC0 ② D ( C X ) C 2 D X D(CX)C²DX D(CX)C2DX ③ D ( a X C ) a 2 D X D(aXC)a^2DX D(aXC)a2DX ④ D ( X ± Y ) D X D Y ± 2 C o v ( X , Y ) D(X±Y)DXDY±2{\rm Cov}(X,Y) D(X±Y)DXDY±2Cov(X,Y) ⑤ D ( a X ± b Y ) a 2 D X b 2 D Y ± 2 a b C o v ( X , Y ) D(aX±bY)a²DXb²DY±2ab{\rm Cov}(X,Y) D(aX±bY)a2DXb2DY±2abCov(X,Y) 若X与Y独立则Cov(X,Y)0 ⑥ C o v ( X , X ) D ( X ) {\rm Cov}(X,X)D(X) Cov(X,X)D(X)
补充⑦当X,Y独立时 D ( X Y ) D X ⋅ D Y ( E X ) 2 D Y ( E Y ) 2 D X D(XY)DX·DY(EX)²DY(EY)²DX D(XY)DX⋅DY(EX)2DY(EY)2DX
补充⑧当 X 1 , X 2 , . . . , X n X_1,X_2,...,X_n X1,X2,...,Xn相互独立且有相同的方差 σ 2 σ^2 σ2时记 X ‾ 1 n ∑ i 1 n X i \overline{X}\dfrac{1}{n}\sum\limits_{i1}^nX_i Xn1i1∑nXi则 D ( X i − X ‾ ) n − 1 n σ 2 D(X_i-\overline{X})\dfrac{n-1}{n}σ^2 D(Xi−X)nn−1σ2 例题122年8. 方差的性质
分析注意X与Y没说独立就是不独立不要误选了5 X~U(0,3)D(X) ( 3 − 0 ) 2 12 3 4 \frac{(3-0)²}{12}\frac{3}{4} 12(3−0)243 Y~P(2)D(Y)2 D(2X-Y1)D(2X-Y)4D(X)D(Y)-4Cov(X,Y) 4 × 3 4 2 − 4 × ( − 1 ) 4×\frac{3}{4}2-4×(-1) 4×432−4×(−1)3249
答案9 例题211年14. E ( X 2 ) D ( X ) E 2 ( X ) \rm E(X²)D(X)E²(X) E(X2)D(X)E2(X)
分析 ∵ρ0∴X与Y不相关 又∵(X,Y)服从正态分布∴X与Y独立 E ( X Y 2 ) X 与 Y 独立 E ( X ) ⋅ E ( Y 2 ) E ( X ) ⋅ [ D ( Y ) E 2 ( Y ) ] μ ( σ 2 μ 2 ) \rm E(XY²)\xlongequal[]{X与Y独立}E(X)·E(Y²)E(X)·[D(Y)E²(Y)]μ(σ²μ²) E(XY2)X与Y独立 E(X)⋅E(Y2)E(X)⋅[D(Y)E2(Y)]μ(σ2μ2)
答案μ(σ²μ²) 例题318年23(2) 3. 协方差Cov(X,Y)
(1)协方差定义及公式 C o v ( X , Y ) E [ ( X − E X ) ( Y − E Y ) ] E ( X Y ) − E ( X ) ⋅ E ( Y ) {\rm Cov}(X,Y) E[(X-EX)(Y-EY)]{\rm E}(XY)-{\rm E}(X)·{\rm E}(Y) Cov(X,Y)E[(X−EX)(Y−EY)]E(XY)−E(X)⋅E(Y) 计算Cov(X,Y)EXY-EX·EY时简化计算 ①若有EX0则EY不用算了若有EY0则EX不用算了。 ②若E(XY)用定义发现是奇函数则在对称区间上积分为0 (2)协方差性质
① C o v ( X , C ) 0 {\rm Cov}(X,C)0 Cov(X,C)0 ② C o v ( X , Y ) C o v ( Y , X ) {\rm Cov}(X,Y){\rm Cov}(Y,X) Cov(X,Y)Cov(Y,X) 【 ρ X Y ρ Y X ρ_{XY}ρ_{YX} ρXYρYX】 ③ C o v ( X , X ) D ( X ) {\rm Cov}(X,X) {\rm D}(X) Cov(X,X)D(X) 【 ρ X X 1 ρ_{XX}1 ρXX1】 ④ C o v ( X 1 X 2 , Y ) C o v ( X 1 , Y ) C o v ( X 2 , Y ) {\rm Cov}(X₁X₂,Y) {\rm Cov}(X₁,Y) {\rm Cov}(X₂,Y) Cov(X1X2,Y)Cov(X1,Y)Cov(X2,Y) ⑤ C o v ( a X c , b Y d ) a b C o v ( X , Y ) {\rm Cov}(aXc,bYd) ab\ {\rm Cov}(X,Y) Cov(aXc,bYd)ab Cov(X,Y) 【Cov中有常数可以直接抹去系数可以直接提出来】 ⑥若X与Y独立则Cov(X,Y)0 (独立是充分不必要条件不相关是充要条件) 1.②证明 C o v ( X , X ) E ( X ⋅ X ) − E X ⋅ E X E ( X 2 ) − E 2 ( X ) D ( X ) {\rm Cov}(X,X) E(X·X)-EX·EXE(X^2)-E^2(X){\rm D}(X) Cov(X,X)E(X⋅X)−EX⋅EXE(X2)−E2(X)D(X) 2.性质应用举例 C o v ( X , − X n ) C o v ( X , − X ) C o v ( X , n ) − C o v ( X , X ) 0 − D ( x ) {\rm Cov}(X,-Xn){\rm Cov}(X,-X){\rm Cov}(X,n)-{\rm Cov}(X,X)0-D(x) Cov(X,−Xn)Cov(X,−X)Cov(X,n)−Cov(X,X)0−D(x) 例题123李林六套卷(一) 9.
分析用协方差的性质求Cov 求Cov ①协方差的定义(公式)Cov(XY)E(XY)-E(X)E(Y) ②协方差的性质 答案A 例题2:01年10.
分析 X Y n ∴ Y − X n XYn∴Y-Xn XYn∴Y−Xn
① ρ X Y C o v ( X , Y ) D ( X ) D ( Y ) C o v ( X , − X n ) D ( X ) D ( − X n ) − D ( X ) D ( X ) ρ_{XY}\dfrac{Cov(X,Y)}{\sqrt{D(X)D(Y)}}\dfrac{Cov(X,-Xn)}{\sqrt{D(X)D(-Xn)}}\dfrac{-D(X)}{D(X)} ρXYD(X)D(Y) Cov(X,Y)D(X)D(−Xn) Cov(X,−Xn)D(X)−D(X)
② P { Y − X n } 1 a − 1 0 P\{Y-Xn\}1a-10 P{Y−Xn}1a−10∴负相关 ρ X Y − 1 ρ_{XY}-1 ρXY−1
答案A (3)两种思路求解 C o v ( f , g ) Cov(f,g) Cov(f,g)
1.先用Cov的性质 f 3 X Y 2 , g X − 2 Y 3 f\dfrac{3XY}{2},g\dfrac{X-2Y}{3} f23XY,g3X−2Y 2.先用Cov的定义先不要代入fg 4. 相关系数 ρ X Y ρ_{XY} ρXY
(1)ρ的公式 ρ C o v ( X , Y ) D X D Y ρ\dfrac{Cov(X,Y)}{\sqrt{DX}\sqrt{DY}} ρDX DY Cov(X,Y)称为随机变量X与Y的相关系数。 ρ X Y ρ_{XY} ρXY是否为正负零只需要看 C o v ( X , Y ) Cov(X,Y) Cov(X,Y)是否为正负零 (2)ρ的性质
1.对称性 ① ρ X Y ρ Y X ρ_{XY}ρ_{YX} ρXYρYX ② ρ X X 1 ρ_{XX}1 ρXX1 2.有界性 − 1 ≤ ρ X Y ≤ 1 -1≤ρ_{XY}≤1 −1≤ρXY≤1 3.正相关、负相关、不相关 P { Y a X b } 1 ⇔ ∣ ρ X Y 1 ∣ { a 0 ρ 1 ( 正相关 ) a 0 ρ − 1 ( 负相关 ) P\{YaXb\}1\Leftrightarrow |ρ_{XY}1|\left\{\begin{aligned} a0ρ1 (正相关)\\ a0ρ-1 (负相关) \end{aligned}\right. P{YaXb}1⇔∣ρXY1∣{a0a0ρ1ρ−1(正相关)(负相关) P { Y a X b } 0 ⇔ ρ X Y 0 ( 不相关 ) P\{YaXb\}0\Leftrightarrow ρ_{XY}0 \quad(不相关) P{YaXb}0⇔ρXY0(不相关) ρ X Y 0 ρ_{XY}0 ρXY0称为X与Y不相关即 无线性相关性。 ρ X Y ≠ 0 ρ_{XY}≠0 ρXY0则称为X与Y相关。即 有线性相依性。 例题116年8. 答案A 例题201年10. 5.独立性与不相关性
(1)含义
独立/相关含义不独立有任意函数关系独立无任何函数关系相关有线性函数关系不相关ρXY 0X与Y无线性函数关系但有可能有其他非线性函数关系 ①独立一定不相关没有任何函数关系自然也没有线性函数关系 ②相关一定不独立有线性函数关系算是X与Y有一种函数关系了不独立。 ③不相关不一定独立没有线性函数关系但可能有非线性函数关系 注仅当(X,Y)服从二维正态分布时独立与不相关是等价的。其他时候独立是不相关的充分条件。 (2)判定
1.相关性用数字特征判定相关性 (5个不相关的等价条件) \quad ①X与Y不相关 ⇔ \Leftrightarrow ⇔ ② ρ X Y 0 ρ_{XY}0 ρXY0 ⇔ \Leftrightarrow ⇔ ③ C o v ( X , Y ) 0 Cov(X,Y)0 Cov(X,Y)0 ⇔ \Leftrightarrow ⇔ ④ E ( X Y ) E X ⋅ E Y E(XY)EX·EY E(XY)EX⋅EY ⇔ \Leftrightarrow ⇔ ⑤ D ( X ± Y ) D X D Y D(X±Y)DXDY D(X±Y)DXDY 2.独立性用分布判断独立性构造事件 \quad ①X与Y不独立 ⇔ \Leftrightarrow ⇔ ② P { X ≤ a , Y ≤ a } ≠ P { X ≤ a } ⋅ P { Y ≤ a } P\{X≤a,Y≤a\}≠P\{X≤a\}·P\{Y≤a\} P{X≤a,Y≤a}P{X≤a}⋅P{Y≤a} ⇔ \Leftrightarrow ⇔ ③ ョ x 0 , y 0 ョx_0,y_0 ョx0,y0使得 F ( x 0 , y 0 ) ≠ F X ( x 0 ) ⋅ F Y ( y 0 ) F(x_0,y_0)≠F_X(x_0)·F_Y(y_0) F(x0,y0)FX(x0)⋅FY(y0) 联合分布≠边缘分布的乘积 3.判断顺序 先判断相关性(Cov(x,y))再判断独立性(看分布) 相关性与独立性的关系详解见此篇 (3)独立性的应用
①X,Y独立则f(X)与g(Y)也独立。
如X,Y独立则X²与Y²也独立E(X²Y²)E(X²)E(Y²)
②X,Y独立Cov(X,Y)0 X i X_i Xi独立同分布则 C o v ( X i , X j ) 0 ( i ≠ j ) Cov(X_i,X_j)0 \quad (i≠j) Cov(Xi,Xj)0(ij) 6.切比雪夫不等式
①距离均值偏差较大的概率是很小的 P { ∣ X − E ( X ) ∣ ≥ ε } ≤ D ( X ) ε 2 P\{|X-E(X)|≥ε\}≤\dfrac{D(X)}{ε^2} P{∣X−E(X)∣≥ε}≤ε2D(X) ②距离均值偏差较小的概率是比较大的 P { ∣ X − E ( X ) ∣ ε } ≥ 1 − D ( X ) ε 2 P\{|X-E(X)|ε\}≥1-\dfrac{D(X)}{ε^2} P{∣X−E(X)∣ε}≥1−ε2D(X) ①切比雪夫不等式描述的是随机变量X偏离均值一定范围的概率给的是一个保守的概率。 例如正态分布 X~N(μ,σ²) P { ∣ X − μ ∣ 2 σ } ≥ 1 − σ 2 4 σ 2 75 % P\{|X-μ|2σ\}≥1-\dfrac{σ^2}{4σ^2}75\% P{∣X−μ∣2σ}≥1−4σ2σ275%而实际上2σ区间内的概率应为95% ②切比雪夫不等式需要求三个值E(X)、D(X)、ε。由 ∣ X − E ( X ) ∣ |X-E(X)| ∣X−E(X)∣得出ε大小 例题101年5. 切比雪夫不等式
分析 由切比雪夫不等式 P { ∣ X − E ( X ) ∣ ≥ ε } ≤ D ( X ) ε 2 P\{|X-E(X)|≥ε\}≤\dfrac{D(X)}{ε²} P{∣X−E(X)∣≥ε}≤ε2D(X)得此题 ε 2 , D ( X ) 2 ε2,D(X)2 ε2,D(X)2 代入得 P { ∣ X − E ( X ) ∣ ≥ 2 } ≤ 2 2 2 1 2 P\{|X-E(X)|≥2\}≤\dfrac{2}{2²}\dfrac{1}{2} P{∣X−E(X)∣≥2}≤22221
答案 1 2 \dfrac{1}{2} 21 例题224基础30讲 4.15
分析
答案 1 12 \dfrac{1}{12} 121 习题223李林六套卷(五)16.
分析切比雪夫不等式需要求三个值E(X)、D(X)、ε 由 ∣ X − E ( X ) ∣ |X-E(X)| ∣X−E(X)∣得出ε大小。
答案 n n 1 \dfrac{n}{n1} n1n 7.常见分布的数值特征
分布分布律或概率密度数学期望E(X)方差D(X)0-1分布 P { X k } p k ( 1 − p ) 1 − k k 0 , 1 P\{Xk\}p^k(1-p)^{1-k}k0,1 P{Xk}pk(1−p)1−kk0,1 p p p p ( 1 − p ) p(1-p) p(1−p)二项分布 B ( n , p ) B(n,p) B(n,p) P { X k } C n k p k ( 1 − p ) n − k P\{Xk\}{\rm C}_n^kp^k(1-p)^{n-k} P{Xk}Cnkpk(1−p)n−k k 0 , 1 , 2 , . . . , n k0,1,2,...,n k0,1,2,...,n n p np np n p ( 1 − p ) np(1-p) np(1−p)泊松分布 P ( λ ) P(λ) P(λ) P { X k } λ k k ! e − λ P\{Xk\} \dfrac{λ^k}{k!}e^{-λ} P{Xk}k!λke−λ k 0 , 1 , 2 , . . . k0,1,2,... k0,1,2,... λ λ λ λ λ λ几何分布 G ( p ) G(p) G(p) P { X k } ( 1 − p ) k − 1 p P\{Xk\}(1-p)^{k-1}p P{Xk}(1−p)k−1p k 1 , 2 , . . . k1,2,... k1,2,... 1 p \dfrac{1}{p} p1 1 − p p 2 \dfrac{1-p}{p^2} p21−p均匀分布 U ( a , b ) U(a,b) U(a,b) f ( x ) { 1 b − a a x b 0 其他 f(x)\begin{cases} \dfrac{1}{b-a}axb\\ 0\qquad其他 \end{cases} f(x)⎩ ⎨ ⎧b−a1axb0其他 a b 2 \dfrac{ab}{2} 2ab ( b − a ) 2 12 \dfrac{(b-a)^2}{12} 12(b−a)2指数分布 E ( λ ) E(λ) E(λ) f ( x ) { λ e − λ x x 0 0 x ≤ 0 f(x)\begin{cases} λe^{-λx}x0\\ 0\qquadx≤0 \end{cases} f(x){λe−λxx00x≤0 1 λ \dfrac{1}{λ} λ1 1 λ 2 \dfrac{1}{λ^2} λ21正态分布 N ( μ , σ 2 ) N(μ,σ^2) N(μ,σ2) f ( x ) 1 2 π σ e − ( x − μ ) 2 2 σ 2 ( − ∞ x ∞ ) f(x)\dfrac{1}{\sqrt{2π}σ}e^{-\frac{{(x-μ^)}^2}{2σ^2}} \quad(-∞x∞) f(x)2π σ1e−2σ2(x−μ)2(−∞x∞) μ μ μ σ 2 σ^2 σ2卡方分布 χ 2 χ^2 χ2 E ( χ 2 ) n E(χ^2)n E(χ2)n D ( χ 2 ) 2 n D(χ^2)2n D(χ2)2n 例题124基础30讲 4.8 分析
答案 例题211年23.(2) 卡方分布
分析估计量服从卡方分布用卡方分布的数字特征来求估计量的期望与方差 8.确定未知数的值
1.概率密度的归一性 ∫ − ∞ ∞ f ( x ) d x 1 \int_{-∞}^{∞}f(x)dx1 ∫−∞∞f(x)dx1 2.对比特殊分布
